朗伯雙球的激光后向二維散射成像仿真

宮彥軍 陳意強(qiáng) 史小飛

（1.湖南科技學(xué)院 電子與信息工程學(xué)院，湖南 永州 425199；2.湖南科技學(xué)院 圖書館，湖南 永州 425199）

蔡能斌等利用紫外激光成像技術(shù)，設(shè)計(jì)提取現(xiàn)場可能存在指紋的方案，并對方案并進(jìn)行驗(yàn)證[1]。通過激光成像雷達(dá)的距離像可以實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的識別[2]。本文研究的是目標(biāo)激光后向二維散射成像仿真，閆小偉等研究三維激光成像技術(shù)[3]。激光可用于空間碎片的高分辨二維成像，用于觀測空間碎片[4]。激光成像制導(dǎo)是一種精確的制導(dǎo)方式[5]。宮彥軍等研究朗伯圓錐和朗伯錐柱的激光后向二維散射成像仿真，計(jì)算的目標(biāo)都是凸體[6-7]。本文研究朗伯雙球激光后向二維散射成像仿真，雙球作為一個(gè)整體目標(biāo)，不是凸體，激光從有的方向入射時(shí)，2 個(gè)球之間存在遮擋。本文在笛卡兒直角坐標(biāo)系下進(jìn)行激光后向二維散射成像仿真的計(jì)算，利用射線跟蹤判斷2 個(gè)球之間是否存在遮擋，判斷一個(gè)球上的面元是否被另外一個(gè)球遮擋。

1 雙球激光后向二維散射強(qiáng)度像的計(jì)算公式

1.1 坐標(biāo)系

1.1.1 本地坐標(biāo)系

本文研究朗伯雙球的激光后向二維散射成像的仿真，這里的激光后向方向就是激光入射方向的反方向。設(shè)球1 的半徑為R1，球2 的半徑為R2。設(shè)球之間的距離為S，是2 個(gè)球上最近的2 個(gè)點(diǎn)之間的距離。選2 個(gè)球上最近的2 個(gè)點(diǎn)的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，用O 表示，2 個(gè)球的球心連線為X 軸，球1 的球心指向球2的球心的方向?yàn)閄 軸正向，即球1 在X 軸的負(fù)半軸。選一個(gè)與X 軸垂直的方向?yàn)閅 軸正向，X 軸和Y 軸確定后，Z 軸也就確定了，這個(gè)笛卡兒直角坐標(biāo)系為本地坐標(biāo)系，是右手坐標(biāo)系。本地坐標(biāo)系的坐標(biāo)用x，y，z 表示。Oxyz 為本地坐標(biāo)系。球1 在本地坐標(biāo)系的位置矢量為(－R1－S/2, 0, 0)，球2 在本地坐標(biāo)系的位置矢量為(R2+S/2, 0, 0)。2 個(gè)球的球心距離為|R1+R2+S|。

1.1.2 成像坐標(biāo)系

1.1.3 目標(biāo)坐標(biāo)系

分別以2 個(gè)球的球心為坐標(biāo)系的原點(diǎn)，坐標(biāo)軸與成像坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸一致，建立2 個(gè)球的目標(biāo)坐標(biāo)系。

1.2 光強(qiáng)公式

1.2.1 激光雷達(dá)方程

一個(gè)激光雷達(dá)接收系統(tǒng)，接收器接收到目標(biāo)激光散射的強(qiáng)度表達(dá)式為

式(2)中的Pt為發(fā)射機(jī)的發(fā)射功率，K0是一個(gè)常數(shù)，σ 為目標(biāo)激光雷達(dá)橫截面。

1.2.2 雙球表面面元的激光后向散射強(qiáng)度

為了計(jì)算雙球的激光后向散射強(qiáng)度，需要計(jì)算雙球表面上的所有可照射面元的后向散射強(qiáng)度之和，目標(biāo)表面面元在激光入射方向的反方向上的激光雷達(dá)橫截面，即后向激光雷達(dá)橫截面為

式(3)中 fr(β )為目標(biāo)表面材料在激光入射方向反方向的雙向反射分布函數(shù)，即激光后向雙向反射分布函數(shù)，依賴于雙球表面的材料，是雙球表面面元的本地入射角β 的函數(shù)，β 是激光入射方向的反方向與雙球表面的面元法線的夾角，雙球表面的面元法線有2 個(gè)方向，一個(gè)指向球的里面，一個(gè)指向球的外面，這里的法線是指向外面的， AΔ 為面元的面積。

本文計(jì)算的激光后向二維散射強(qiáng)度像是平面波激光照射，發(fā)射的激光功率tP 為常數(shù)，用iI 表示。把iI和式(3)代入式(2)得雙球的可照射表面面元的激光后向散射強(qiáng)度公式為

式(4)中 K =K0Ii，K 為常數(shù)。本文研究的是朗伯雙球的激光后向二維散射強(qiáng)度像，雙球表面材料為朗伯表面， fr(β )是一個(gè)常數(shù)， fr(β )= kL。對于凸目標(biāo)，滿足cos β ＞ 0的面元就可以被照射到，否則沒有被照射到。

1.2.3 雙球的激光后向散射強(qiáng)度

本文在每個(gè)球的目標(biāo)坐標(biāo)系下計(jì)算，球的目標(biāo)坐標(biāo)系的原點(diǎn)為每個(gè)球各自的球心，坐標(biāo)軸與成像坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸一致，雙球表面面元的激光后向散射強(qiáng)度為

式(5)中nz為面元法線n 的笛卡兒坐標(biāo)系Z 軸的分量。dX，dY 分別為面元在球的目標(biāo)坐標(biāo)系的XOY平面投影的X 軸、Y 軸投影長度。球在自己的目標(biāo)坐標(biāo)系的方程為

式(6)中的R 為球的半徑。在目標(biāo)坐標(biāo)系下球的法線n 為

激光的入射方向?yàn)槟繕?biāo)坐標(biāo)系的Z 軸正向，其單位方向矢量g，在目標(biāo)坐標(biāo)系下計(jì)算，則 g =（0 ,0,1），cos β =( - g ).n= -Z /R 。 nz=Z/R，代入式(5)，雙球表面面元的激光后向散射強(qiáng)度的計(jì)算公式為

對式(9)在球的表面進(jìn)行積分，球的激光后向散射強(qiáng)度為

1.3 不考慮遮擋的雙球激光后向二維散射強(qiáng)度像的計(jì)算公式

根據(jù)式(10)，球1 的激光后向二維散射強(qiáng)度像的計(jì)算公式為

式(11)中 1X′，1Y′分別為球1 的表面面元位置矢量在成像坐標(biāo)系的X 軸、Y 軸分量。式(11)中d 為成像分辨率。式(11)中i，j 分別為強(qiáng)度所在行、列位置，i=1，2，…，m；j=1，2，…，n。其中，m 為圖像的像素點(diǎn)行數(shù)，n 為圖像的像素點(diǎn)列數(shù)。窗函數(shù)W(x）為

球1 的球心在本地坐標(biāo)系的位置矢量為 (- R1- S/2,0,0)，由式(1)，球1 的球心在成像坐標(biāo)系的位置矢量為

根據(jù)式(13)得式(11)中 1X′，1Y′為

根據(jù)式(10)，球2 的激光后向二維散射強(qiáng)度像的計(jì)算公式為

式(15)中2X′，2Y′為球2 的表面面元位置矢量在成像坐標(biāo)系的X 軸、Y 軸分量。式(15)中d 為成像分辨率。球2 的球心在本地坐標(biāo)系的位置矢量為 ( R2+ S /2,0,0)，由式(1)，球2 的球心在成像坐標(biāo)系的位置矢量為

根據(jù)式(16)得式(15)中 2X′，2Y′為

式(11)和(15)中的xmin，ymin分別由式(18)和(19)給出。

其中min{x，y}，表示取x 和y 中較小的數(shù)。

把式(11)和(15)相加得

式(20)為不考慮遮擋的雙球激光后向二維散射強(qiáng)度像的計(jì)算公式。

1.4 考慮遮擋的雙球激光后向二維散射強(qiáng)度像的計(jì)算公式

如果是凸體，根據(jù)本地入射角的大小可以判斷凸體上的表面面元是否可以被激光照射到，如果本地入射角小于90°，面元被激光照射到，否則沒有被照射到。雙球作為一個(gè)整體，不是凸體，面元是否可照射到不能簡單地通過本地入射角是否小于90°來判斷。面元是否被照射到可以利用射線跟蹤來判斷，從本地入射角小于90°的面元沿著激光的后向方向發(fā)出一條射線，如果這條射線與另外1 個(gè)球相交，則面元被遮擋，不能被激光照射到，否則面元被照射到。本文的計(jì)算是在球的目標(biāo)坐標(biāo)系下進(jìn)行。激光的入射方向沿著目標(biāo)坐標(biāo)系的Z 軸正向，設(shè)面元在目標(biāo)坐標(biāo)系的位置矢量（X0, Y0, Z0），則沿著激光入射方向反方向發(fā)出的射線上的點(diǎn)為（X0, Y0, Z0-l），代入式(6)得

如果式(21)中存在l>0 解，面元被另外1 個(gè)球遮擋。根據(jù)式(21)得

把不考慮遮擋的雙球激光后向二維散射強(qiáng)度像的計(jì)算公式增加遮擋函數(shù)，得到考慮遮擋的雙球激光后向二維散射強(qiáng)度像的計(jì)算公式，根據(jù)式(11)得

式(24)中 X1， Y1， Z1為

根據(jù)式(15)得

式(26)中的 X2， Y2， Z2為

式(24)和(26)相加得

式(28)為考慮遮擋的雙球激光后向二維散射強(qiáng)度像的計(jì)算公式。

2 朗伯雙球的激光后向二維散射成像仿真的結(jié)果與討論

根據(jù)雙球激光后向二維散射強(qiáng)度像的計(jì)算公式，計(jì)算朗伯雙球的激光后向二維散射成像的仿真結(jié)果，本文計(jì)算的球表面是朗伯表面， fr(β )是一個(gè)常數(shù)， fr(β )= kL。本文把朗伯雙球激光后向二維散射成像仿真得到的圖像稱為朗伯雙球的激光后向二維散射仿真圖像。本文的計(jì)算是把計(jì)算圖像的最大強(qiáng)度放大或縮小為255，其他的值等比例放大或縮小，計(jì)算時(shí)kL取值為0.1，計(jì)算結(jié)果與kL取值無關(guān)。

2.1 不考慮遮擋

2.1.1 θ 的影響

當(dāng)R1，R2，S，φ，d 固定，θ 變化時(shí)雙球的圖像隨著變化。R1=1 m，R2=2 m，S=1 m，d=10 mm，φ=0°，θ 從0°增加到180°，間隔30°，不考慮遮擋的朗伯雙球的激光后向二維散射仿真圖像如圖1 所示。

圖1 不考慮遮擋的朗伯雙球不同θ 的激光后向二維散射仿真圖像（R1=1 m，R2=2 m，S=1 m，d=10 mm，φ=0°）

從圖1 可以看出，隨著θ 的變化，激光的入射方向發(fā)生變化，其成像結(jié)果有明顯差異，圖像能反映成像目標(biāo)的各個(gè)方向的姿態(tài)特征。圖1 中的（c），（d），（e）的圖像存在很明顯的重疊，是因?yàn)檎趽醯牟糠忠脖挥?jì)算到成像的結(jié)果里面，重疊部分計(jì)算出來的強(qiáng)度增加，這是因?yàn)檎趽醪糠植粦?yīng)該被累加到成像結(jié)果里，所以遮擋部分的位置成像強(qiáng)度增加。

2.1.2 φ 的影響

當(dāng)R1，R2，S，θ，d 固定，φ 變化時(shí)雙球的圖像隨著變化。R1=1 m，R2=2 m，S=1 m，d=10 mm，θ=0°，φ 從0°增加到180°，間隔30°，不考慮遮擋的朗伯雙球的激光后向二維散射仿真圖像如圖2 所示。

圖2 不考慮遮擋的朗伯雙球不同φ 的激光后向二維散射仿真圖像（R1=1 m，R2=2 m，S=1 m，d=10mm，θ=0°）

圖2 中計(jì)算的圖像，其中θ=0°，是沿著本地坐標(biāo)系的Z 軸正向入射，從圖2 可以看出，圖2(b)～圖2(g)是圖2(a)的圖像分別轉(zhuǎn)動30°，60°，90°，120°，150°，180°。根據(jù)式(15)和式(17)，雖然入射的方向都是沿著本地坐標(biāo)系的Z 軸正向入射，但計(jì)算結(jié)果是與φ 有關(guān)，所以圖像有差別，但只是同一個(gè)圖像的旋轉(zhuǎn)。

2.2 考慮遮擋

2.2.1 θ 的影響

當(dāng)R1，R2，S，φ，d 固定，θ 變化時(shí)雙球的圖像隨著變化。R1=1 m，R2=2 m，S=1 m，d=10 mm，φ=0°，θ 從0°增加到180°，間隔30°，考慮遮擋的朗伯雙球的激光后向二維散射仿真圖像如圖3 所示。

圖3 考慮遮擋的朗伯雙球不同θ 的激光后向二維散射仿真圖像（R1=1 m，R2=2 m，S=1 m，d=10 mm，φ=0°）

圖3 中（c），（d），（e）存在遮擋，通過和圖1 中（c），（d），（e）圖的對比，可以看出：考慮遮擋后，成像結(jié)果體現(xiàn)了遮擋的效果，成像更能體現(xiàn)出成像目標(biāo)的特征，反應(yīng)目標(biāo)的真實(shí)成像特征。

2.2.2 φ 的影響

當(dāng)R1，R2，S，θ，d 固定，φ 變化時(shí)雙球的圖像隨著變化。R1=1 m，R2=2 m，S=1 m，d=10 mm，θ=0°，φ 從0°增加到180°，間隔30°，考慮遮擋的朗伯雙球的激光后向二維散射仿真圖像如圖4 所示。

圖4 考慮遮擋的朗伯雙球不同φ 的激光后向二維散射仿真圖像（R1=1 m，R2=2 m，S=1 m，d=10 mm，θ=0°）

圖4 給出的圖像是雙球之間沒有遮擋的情況，所以同圖2 的結(jié)果是一致的。

3 結(jié) 語

本文研究朗伯雙球激光后向二維散射成像仿真，推導(dǎo)成像計(jì)算公式，根據(jù)射線跟蹤設(shè)計(jì)雙球之間的遮擋剔除算法。本文一共建立4 個(gè)坐標(biāo)系：本地坐標(biāo)系、成像坐標(biāo)系、2 個(gè)球的目標(biāo)坐標(biāo)系。分別在2 個(gè)球的目標(biāo)坐標(biāo)系下計(jì)算，本文只是分析了激光入射方向的影響，驗(yàn)證利用射線跟蹤設(shè)計(jì)的遮擋剔除算法的正確性。