對(duì)畢奧-薩伐爾定律建立過程中的一種分析方法

楊勝云 蘇立波

(興義民族師范學(xué)院物理與工程技術(shù)學(xué)院 貴州 黔西南 562400)

1 引言

1820年奧斯特發(fā)現(xiàn)電流的磁效應(yīng)[1]，開辟了電與磁之間的聯(lián)系，促進(jìn)了電磁學(xué)的開端.奧斯特本人對(duì)他的發(fā)現(xiàn)只做了定性的研究，定量規(guī)律則是由畢奧與薩伐爾師生兩人建立的.他們?yōu)榱说玫诫娏鞔判?yīng)的定量表達(dá)式，設(shè)計(jì)了兩個(gè)精巧實(shí)驗(yàn)[2，3]，實(shí)驗(yàn)的最終目的是得到電流元對(duì)某點(diǎn)磁極的作用力，由于不存在孤立的電流元，使得實(shí)驗(yàn)無法直接測量，于是他們請(qǐng)來拉普拉斯做數(shù)學(xué)分析[4].對(duì)于畢奧-薩伐爾定律建立過程中的實(shí)驗(yàn)以及數(shù)學(xué)分析，教材中基本不做介紹，文獻(xiàn)[5，6]給出了證明方法，但這種證明方法不太適合初學(xué)者了解.在文獻(xiàn)[7]中給出類似于拉普拉斯的分析方法，該分析過程比較繁雜，為此本文將給出另一種分析方法，以較為簡潔的過程得到此定律.

2 畢奧-薩伐爾定律建立的分析過程

畢奧與薩伐爾設(shè)計(jì)的第二個(gè)實(shí)驗(yàn)中，已經(jīng)得到彎折載流導(dǎo)線對(duì)導(dǎo)線外P點(diǎn)的磁極作用力表達(dá)式，實(shí)驗(yàn)原理如圖1所示.

圖1 畢奧與薩伐爾的第二個(gè)實(shí)驗(yàn)示意圖

按照?qǐng)D1的實(shí)驗(yàn)，畢奧得到彎折載流導(dǎo)線對(duì)P點(diǎn)的磁極作用力的表達(dá)式為

(1)

式(1)中I為電流，k為比例系數(shù)，由于整條彎折載流導(dǎo)線對(duì)P點(diǎn)的磁極作用力垂直紙面向里，所以理所當(dāng)然地假定每個(gè)電流元Idl對(duì)P點(diǎn)的磁極作用力也垂直紙面向里，則載流導(dǎo)線對(duì)P點(diǎn)的作用力應(yīng)為電流元對(duì)P點(diǎn)作用力在導(dǎo)線上的積分，即

(2)

式(2)中的L為彎折載流導(dǎo)線，由于彎折導(dǎo)線關(guān)于虛線對(duì)稱，所以式(2)等號(hào)左邊的積分可以分解為虛線上半部分積分的兩倍，即

(3)

圖1中的幾何分析如圖2所示.

圖2 彎折載流導(dǎo)線對(duì)P點(diǎn)磁極作用力分析圖

圖2中，電流元Idl的尾端所在位置設(shè)為A點(diǎn)，B點(diǎn)為電流元Idl的反向延長線上的一點(diǎn)，PB⊥AB,△ABP為直角三角形，設(shè)AB邊長為l.由圖2中r與θ確定了電流元Idl與P點(diǎn)的位置關(guān)系，則每個(gè)電流元對(duì)P點(diǎn)貢獻(xiàn)的磁極作用力dF必然是r與θ的函數(shù)，令dF中r,θ的函數(shù)為H(r,θ)，由等式(2)的關(guān)系可得dF正比于電流I，據(jù)磁場和力的疊加原理，dF還與電流元長度dl成正比，則

dF=H(r,θ)Idl

(4)

將式(4)代入式(3)中得

(5)

式(5)中只含有未知函數(shù)H(r,θ)，r,θ都是變量，需要統(tǒng)一積分變量，由圖2中的幾何關(guān)系得

(6)

由式(6)得

dl=l0csc2θdθ

(7)

將式(6)和式(7)代入式(5)得

(8)

由于較遠(yuǎn)處的電流元對(duì)P點(diǎn)的影響非常小，假定導(dǎo)線兩端無限長，所以θ的積分區(qū)間為(π-α)→π.由圖2和式(6)可得θ取(π-α)時(shí)r′=r，把r代入式(8)得

(9)

式(9)等號(hào)兩邊中的l0，嚴(yán)格意義上它是α和r′的函數(shù)，這里為了方便運(yùn)算，令l0為定值，這樣規(guī)定并不影響結(jié)果.則式(9)的等號(hào)兩邊只是α的函數(shù)，等號(hào)兩邊同時(shí)對(duì)α求導(dǎo)得

(10)

式(10)中將等號(hào)左邊的未知函數(shù)的兩個(gè)變量分別用r,θ代換，即

(11)

將式(11)代入式(10)得

(12)

將式(12)的H(r,θ)函數(shù)代入式(4)得

(13)

再考慮矢量因素，則式(13)改為

(14)

3 總結(jié)

畢奧與薩伐爾設(shè)計(jì)了兩個(gè)特殊實(shí)驗(yàn)，卻能夠在從中經(jīng)過以上嚴(yán)格數(shù)學(xué)分析得到一般結(jié)論，可見畢奧與薩伐爾設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)的巧妙性.但分析過程并非很容易就可以得到，單從數(shù)學(xué)的角度看，只是從積分的結(jié)果求解微分的過程，由于幾何關(guān)系的繁雜，增加了分析過程的難度.為此本文給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)分析方法，并在分析過程中追求方法的簡潔，最終以較為簡潔的方法得到此定律，由此可見數(shù)學(xué)分析對(duì)物理定律建立過程中的重要意義.