基于多策略融合的混合多目標(biāo)蝗蟲(chóng)優(yōu)化算法

王 博，劉連生，韓紹程，祝世興

（1.中國(guó)民航大學(xué)基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)中心，天津 300300；2.中國(guó)民航大學(xué)航空工程學(xué)院，天津 300300）

0 引言

工程實(shí)踐和科學(xué)研究中很多決策及設(shè)計(jì)問(wèn)題同時(shí)涉及兩個(gè)或以上的目標(biāo)，這些問(wèn)題稱為多目標(biāo)優(yōu)化（Multi-Objective Optimization，MOO）［1］。由于MOO 問(wèn)題中各目標(biāo)函數(shù)之間一般存在內(nèi)在沖突，很難得到使所有目標(biāo)同時(shí)達(dá)到最佳狀態(tài)的解決方案，求解過(guò)程中通常需要經(jīng)過(guò)權(quán)衡得到一組相互折中的解集［2］。

近幾十年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)MOO 問(wèn)題開(kāi)展了大量研究工作，涌現(xiàn)了眾多優(yōu)化算法，主要可以分為兩類：基于偏好信息的方法和Pareto 最優(yōu)解法［3］。第一類優(yōu)化方法根據(jù)每個(gè)目標(biāo)函數(shù)的重要性設(shè)定權(quán)重系數(shù)并計(jì)算它們的加權(quán)和，從而將MOO 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。此類方法較為簡(jiǎn)單，但權(quán)重系數(shù)的選擇直接影響最終優(yōu)化結(jié)果，實(shí)際應(yīng)用中權(quán)重系數(shù)的設(shè)定帶有一定主觀性、隨機(jī)性，很難得到客觀準(zhǔn)確的優(yōu)化結(jié)果。第二類優(yōu)化方法同時(shí)對(duì)多個(gè)子目標(biāo)優(yōu)化，通過(guò)搜索得到一組不存在優(yōu)劣關(guān)系的非支配最優(yōu)解（即Pareto 最優(yōu)解）。該方法能夠獲得一組較高質(zhì)量的最優(yōu)解集，供決策者從中選擇最合適的解，相較第一類方法應(yīng)用更廣泛［4］。

蝗蟲(chóng)優(yōu)化算法（Grasshopper Optimization Algorithm，GOA）是Saremi 等［5］受蝗蟲(chóng)捕食過(guò)程中種群行為的啟發(fā)，在2016 年提出的一種新型啟發(fā)式智能優(yōu)化算法。GOA 簡(jiǎn)單，計(jì)算復(fù)雜度較低，具有較高的收斂速度。近年來(lái)，為提高GOA的性能眾多學(xué)者做了大量研究工作。Mafarja 等［6］利用動(dòng)態(tài)種群進(jìn)化（Evolutionary Population Dynamics，EPD）策略改進(jìn)了GOA 的種群選擇機(jī)制，有效避免了算法過(guò)早收斂，提高算法的準(zhǔn)確性。Luo 等［7］提出將高斯變異引入GOA 以增強(qiáng)局部搜索能力，利用Levy 飛行策略和反向?qū)W習(xí)機(jī)制（Levy flight and Opposition-Based Learning，LOBL）提高了算法的全局搜索能力和搜索效率。Taher 等［8］改進(jìn)了GOA 的變異機(jī)制和種群更新策略，避免了局部最優(yōu)。Mirjalili等［9］于2017年首次將GOA應(yīng)用于多目標(biāo)問(wèn)題，提出了多目標(biāo)蝗蟲(chóng)優(yōu)化算法（Multi-Objective Grasshopper Optimization Algorithm，MOGOA）。黃超等［10］利用曲線自適應(yīng)策略調(diào)整控制參數(shù)，提高算法收斂速度，提出一種求解移動(dòng)機(jī)器人路徑規(guī)劃問(wèn)題的MOGOA。目前，多目標(biāo)蝗蟲(chóng)優(yōu)化算法由于采用了標(biāo)準(zhǔn)GOA 的基本框架，繼承了蝗蟲(chóng)優(yōu)化算法在復(fù)雜度和收斂速度上的優(yōu)勢(shì)，具有較好的應(yīng)用前景；但由于GOA 的天然缺陷，限制了其優(yōu)化性能。首先，由于種群采用優(yōu)勢(shì)個(gè)體引導(dǎo)的更新機(jī)制，易造成群體進(jìn)化聚集，算法容易陷入局部最優(yōu)；其次，調(diào)整算法搜索能力的重要參數(shù)c只隨迭代次數(shù)被動(dòng)變化，導(dǎo)致算法全局搜索和局部開(kāi)發(fā)的不平衡，降低了收斂效率和解集質(zhì)量。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文提出一種混合多目標(biāo)蝗蟲(chóng)優(yōu)化算法（Hybrid Multi-Objective Grasshopper Optimization Algorithm，HMOGOA）。HMOGOA 利用Halton 序列進(jìn)行種群初始化，增強(qiáng)了初始種群的多樣性以及分布均勻性；由差分變異算子引導(dǎo)種群更新，提高了算法全局搜索能力避免陷入局部最優(yōu)，改善了解集分布特性；加入自適應(yīng)權(quán)重因子，根據(jù)種群優(yōu)化情況動(dòng)態(tài)調(diào)整算法的全局搜索和局部開(kāi)發(fā)能力，提高了算法優(yōu)化效率和解集質(zhì)量。采用ZDT、CEC09 系列函數(shù)對(duì)算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，通過(guò)與多目標(biāo)蝗蟲(chóng)優(yōu)化、多目標(biāo)粒子群（Multi-Objective Particle Swarm Optimization，MOPSO）、基于分解的多目標(biāo)進(jìn)化（Multi-Objective Evolutionary Algorithm based on Decomposition，MOEA/D）、非支配排序遺傳（Non-dominated Sorting Genetic Algorithm Ⅱ，NSGA Ⅱ）等算法對(duì)比，表明HMOGOA具有更好的優(yōu)化性能和穩(wěn)定性。

1 標(biāo)準(zhǔn)多目標(biāo)蝗蟲(chóng)優(yōu)化算法

多目標(biāo)蝗蟲(chóng)優(yōu)化算法是一種求解多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的GOA。它模擬了蝗蟲(chóng)的捕食行為，算法中每個(gè)搜索個(gè)體（即蝗蟲(chóng)個(gè)體）的位置代表了問(wèn)題的一種解決方案。算法通過(guò)判斷不同解之間的支配關(guān)系尋找Pareto解，并借助外部檔案集存儲(chǔ)優(yōu)化過(guò)程中的臨時(shí)解。其優(yōu)化過(guò)程分為探索和開(kāi)發(fā)兩部分。在探索階段，搜索個(gè)體在整個(gè)解空間內(nèi)進(jìn)行快速隨機(jī)移動(dòng)尋找所有可能的解；而在開(kāi)發(fā)階段，搜索個(gè)體根據(jù)已有信息對(duì)部分區(qū)域進(jìn)行精細(xì)搜索尋找最優(yōu)解［11］。這恰好與蝗蟲(chóng)在成蟲(chóng)和幼蟲(chóng)時(shí)期的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)相吻合?；认x(chóng)種群運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型［12］為：

其中：Xi是第i只蝗蟲(chóng)在種群中的位置，Si、Gi、Ai分別代表第i只蝗蟲(chóng)受到的種群間社交作用、重力以及風(fēng)力的影響。種群間的社交作用是影響蝗蟲(chóng)運(yùn)動(dòng)的最主要因素，可通過(guò)下述公式描述：

其中：dij為第i只與第j只蝗蟲(chóng)之間的距離,為第i只與第j只蝗蟲(chóng)之間的單位向量，函數(shù)s（r）為蝗蟲(chóng)間的社會(huì)作用力。由于重力對(duì)蝗蟲(chóng)種群的影響較小可以忽略不計(jì)，同時(shí)假設(shè)風(fēng)向始終指向最佳個(gè)體所處的位置，蝗蟲(chóng)位置的更新模型可表示為：

其中：ubd、lbd分別表示蝗蟲(chóng)在d維度上的位置上界和下界表示當(dāng)前種群中優(yōu)勢(shì)引導(dǎo)個(gè)體的位置；參數(shù)c為線性縮減系數(shù)，它隨著迭代次數(shù)增加減小算法全局搜索能力的同時(shí)提高局部尋優(yōu)能力，計(jì)算公式如下所示：

標(biāo)準(zhǔn)MOGOA流程如圖1所示。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)MOGOA流程Fig.1 Flow chart of standard MOGOA

2 混合多目標(biāo)蝗蟲(chóng)優(yōu)化算法

為提高M(jìn)OGOA 的性能，需解決兩方面問(wèn)題：1）種群更新過(guò)程中，缺少個(gè)體間信息的交換，進(jìn)化容易集中在優(yōu)勢(shì)個(gè)體的鄰域范圍內(nèi)進(jìn)行，導(dǎo)致算法全局搜索能力下降，算法過(guò)早收斂陷入局部最優(yōu)。2）衰減系數(shù)c是GOA 求解MOO 問(wèn)題過(guò)程中的一個(gè)重要參數(shù)，它與迭代次數(shù)呈線性反比關(guān)系，主要限制算法的搜索區(qū)域，平衡全局搜索能力和局部尋優(yōu)能力。優(yōu)化前期，c數(shù)值較大，促進(jìn)個(gè)體在整個(gè)解空間內(nèi)搜索所有可能的優(yōu)勢(shì)解；優(yōu)化后期，其數(shù)值減小，有利于種群在當(dāng)前解的局部區(qū)域?qū)?yōu)，使最優(yōu)解能夠收斂到理想Pareto 解集。通常MOO 的優(yōu)化過(guò)程并不隨迭代次數(shù)線性變化，應(yīng)當(dāng)根據(jù)種群進(jìn)化過(guò)程合理控制算法的搜索能力。

因此，本文從提高初始種群質(zhì)量降低種群進(jìn)化聚集的概率，加強(qiáng)進(jìn)化過(guò)程中個(gè)體信息交換、提高種群多樣性，根據(jù)種群進(jìn)化狀態(tài)平衡算法全局搜索和局部開(kāi)發(fā)能力3個(gè)方面，提高M(jìn)OGOA的優(yōu)化性能，提出一種混合多目標(biāo)蝗蟲(chóng)優(yōu)化算法。

2.1 基于Halton序列初始化

算法初始階段蝗蟲(chóng)種群的位置隨機(jī)產(chǎn)生，極易出現(xiàn)種群分布不均的情況，造成搜索個(gè)體的初始位置集中于局部極值點(diǎn)附近，導(dǎo)致算法陷入局部最優(yōu)。Halton 序列是一種低差異化序列，能夠生成在搜索空間內(nèi)均勻分布的點(diǎn)集［13］。由隨機(jī)法和Halton 序列生成的一組二維個(gè)體分布情況如圖2 所示。圖2（a）、（b）分別為使用兩種方法生成個(gè)體的散點(diǎn)分布圖，圖2（c）、（d）為個(gè)體數(shù)量的分布直方圖。通過(guò)對(duì)比可見(jiàn)，相較于隨機(jī)方法Halton序列產(chǎn)生的個(gè)體在二維空間上分布更均勻，沒(méi)有聚集情況，同時(shí)處于不同數(shù)值區(qū)間的個(gè)體數(shù)量更平均，表明Halton序列能夠生成分布均勻性更好的個(gè)體。為此，本文采用Halton 序列初始化種群，提高初始種群質(zhì)量有效避免局部最優(yōu)。

圖2 隨機(jī)法與Halton序列生成個(gè)體的分布情況Fig.2 Distribution of individuals generated by random method and Halton sequence

2.2 基于差分變異算子的種群更新策略

MOO 需要在優(yōu)化過(guò)程中不斷尋找所有非支配解，組成非支配解集。由于多目標(biāo)問(wèn)題的解空間由多個(gè)分段連續(xù)區(qū)域組成，為使解集能夠逼近真實(shí)Pareto 最優(yōu)前沿且分布更均勻，優(yōu)化過(guò)程中搜索個(gè)體在決策空間中的搜索方向應(yīng)指向真實(shí)Pareto 前沿，且可以在平行于真實(shí)Pareto 前沿的流行區(qū)域移動(dòng)［15-16］。圖3 反映了MOGOA 優(yōu)化過(guò)程中種群進(jìn)化趨勢(shì)。圖中以ZDT1為目標(biāo)函數(shù)，由10個(gè)初始父代解利用MOGOA 產(chǎn)生1 000 個(gè)新的子代解?？梢悦黠@看出搜索個(gè)體由優(yōu)勢(shì)個(gè)體引導(dǎo)沿不同軌跡向著目標(biāo)位置移動(dòng)，最終聚集到真實(shí)Pareto 前沿的部分區(qū)域，表明MOGOA 的種群更新策略易使算法陷入局部最優(yōu)。針對(duì)該問(wèn)題，在單目標(biāo)蝗蟲(chóng)優(yōu)化算法中，文獻(xiàn)［6］中采取了動(dòng)態(tài)種群進(jìn)化策略，文獻(xiàn)［7］中利用了Levy 飛行和反向?qū)W習(xí)策略改進(jìn)個(gè)體的更新機(jī)制［2］。分別將EPD 和LOBL策略應(yīng)用于多目標(biāo)蝗蟲(chóng)優(yōu)化算法，以ZDT1 為測(cè)試函數(shù)，由圖3 中的10 個(gè)父代解出發(fā)，產(chǎn)生1 000 個(gè)子代解，得到的種群進(jìn)化情況如圖4、5 所示。圖4 中EPD 策略一定程度擴(kuò)大了搜索個(gè)體在進(jìn)化過(guò)程中的尋優(yōu)范圍，但依然無(wú)法避免解聚集；而圖5 中LOBL 策略雖然增強(qiáng)了算法的全局搜索能力，但種群搜索范圍過(guò)大影響了算法的收斂性能。由此說(shuō)明，EPD 和LOBL策略對(duì)MOGOA性能的改善有限。

圖3 MOGOA進(jìn)化示意圖Fig.3 Schematic diagram of MOGOA evolution

圖4 基于EPD的MOGOA進(jìn)化示意圖Fig.4 Schematic diagram of MOGOA evolution based on EPD

圖5 基于LOBL的MOGOA進(jìn)化示意圖Fig.5 Schematic diagram of MOGOA evolution based on LOBL

由于差分算子有利于種群間信息交換，促進(jìn)全局探索，改善種群分布和收斂精度，因此本文提出一種基于差分變異算子的種群更新策略。差分變異算子及個(gè)體更新公式如下：

式（9）中，α0、α1為縮放系數(shù)（α0，α1∈(0，2]），r為（0，1）內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，Xsi(t)表示以較大概率在解集稀疏區(qū)域選取的個(gè)體，Xc1i(t)、Xc2i(t)表示以較大概率在解集密集區(qū)域選取的個(gè)體，Xsi(t)表示由當(dāng)前解集隨機(jī)選取的個(gè)體，上述4個(gè)種群個(gè)體互不相同。Xsi(t)、Xc1i(t)、Xc2i(t)組成的差分算子實(shí)現(xiàn)了種群個(gè)體間優(yōu)勢(shì)信息的交換，能夠提高算法的全局尋優(yōu)能力，有助于算法跳出局部最優(yōu)，改善收斂精度。而隨機(jī)個(gè)體Xri(t)可以增加變異的隨機(jī)性，避免過(guò)早收斂。為驗(yàn)證差分變異算子對(duì)MOGOA的改善作用，同樣選取圖3中的父代解作為初始解，以ZDT1為目標(biāo)函數(shù)，利用基于差分變異算子的MOGOA生成1000個(gè)子代解，進(jìn)化結(jié)果如圖6所示。由圖中可見(jiàn)，差分變異算子能夠引導(dǎo)種群在父代解構(gòu)成的帶狀區(qū)域變異，可以改善解空間的整體分布性能。

圖6 基于差分變異算子的MOGOA進(jìn)化示意圖Fig.6 Schematic diagram of MOGOA evolution based on differential evolution operators

2.3 自適應(yīng)權(quán)重因子

多目標(biāo)問(wèn)題的優(yōu)化是一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程具有隨機(jī)性，MOGOA 求解過(guò)程中c是一個(gè)開(kāi)環(huán)參數(shù)，單純通過(guò)它無(wú)法有效平衡全局搜索和局部尋優(yōu)能力［18］。根據(jù)種群進(jìn)化狀態(tài)調(diào)節(jié)參數(shù)c的衰減速度，實(shí)現(xiàn)閉環(huán)控制，有助于提高種群的搜索效率和收斂精度。通常種群進(jìn)化過(guò)程中個(gè)體的分布特性是影響算法性能的一個(gè)重要因素［19］。本文以群體分布均勻性和分散廣度作為進(jìn)化過(guò)程反饋信息，提出種群進(jìn)化狀態(tài)動(dòng)態(tài)評(píng)價(jià)指標(biāo)（Evolution State Metric，ESM）。ESM定義如下：

其中：Ns為當(dāng)前解的數(shù)量，M為目標(biāo)函數(shù)的數(shù)量，表示當(dāng)前Pareto 解集中相鄰解的歐氏距離表示的平均值表示理想Pareto 解集中使第m個(gè)目標(biāo)函數(shù)取得最大值的解（即理想解空間第m維上的極值解）,表示當(dāng)前解集與理想解空間第m維上極值解的最短距離。式（13）中第一項(xiàng)表示當(dāng)前解集相鄰解之間距離的標(biāo)準(zhǔn)差，體現(xiàn)了解集分布的均勻度，數(shù)值越小解集分布越均勻；第二項(xiàng)表示當(dāng)前解集與理想解空間各維度上極值點(diǎn)的最短距離之和，體現(xiàn)了解集分布的廣度，其值越小說(shuō)明解集分布范圍越廣。圖7所示為MOGOA針對(duì)目標(biāo)函數(shù)ZDT4 運(yùn)行三次得到的ESM 數(shù)值隨迭代次數(shù)變化曲線?？梢钥闯鯡SM 是波動(dòng)變化的，算法每次運(yùn)行過(guò)程中其變化幅度與趨勢(shì)不同，說(shuō)明種群進(jìn)化狀態(tài)具有非線性和不確定性，根據(jù)進(jìn)化過(guò)程調(diào)節(jié)算法搜索能力有助于提高算法性能。因此，本文建立基于ESM 的自適應(yīng)權(quán)重因子wa，在種群更新公式中加入自適應(yīng)權(quán)重因子，通過(guò)權(quán)重因子調(diào)整參數(shù)c的衰減速度平衡算法的全局搜索和局部尋優(yōu)能力。

自適權(quán)重因子wa和種群個(gè)體更新公式如下：

其中，wa數(shù)值根據(jù)種群進(jìn)化狀態(tài)變化。種群進(jìn)化狀態(tài)不佳時(shí)ESM 數(shù)值較大，說(shuō)明解分布較集中、均勻性不好，此時(shí)wa數(shù)值增加大可減緩c的衰減速度，促進(jìn)搜索個(gè)體在更大區(qū)域?qū)ふ倚陆?；反之ESM 數(shù)值較小，說(shuō)明搜索個(gè)體在目標(biāo)空間內(nèi)分布均勻且分布范圍廣，wa數(shù)值減小，可以促進(jìn)算法局部尋優(yōu)，提高收斂精度和收斂速度。實(shí)現(xiàn)了根據(jù)算法尋優(yōu)過(guò)程動(dòng)態(tài)調(diào)整全局搜索和局部開(kāi)發(fā)能力，提高了算法的優(yōu)化效率，有效改善了Pareto最優(yōu)解集的質(zhì)量。

圖7 ESM變化曲線Fig.7 Variation curve of ESM

2.4 混合多目標(biāo)蝗蟲(chóng)優(yōu)化算法的流程

混合多目標(biāo)蝗蟲(chóng)優(yōu)化算法的偽代碼流程如下：

3 實(shí)驗(yàn)及分析

3.1 測(cè)試問(wèn)題及實(shí)驗(yàn)設(shè)置

本文為驗(yàn)證HMOGOA的性能，以MOGOA、MOPSO、MOEA/D及NSGA Ⅱ作為對(duì)比算法，選取ZDT、CEC2009系列測(cè)試函數(shù)集中的兩目標(biāo)函數(shù)（ZDT1、ZDT2、ZDT3、ZDT4）和三目標(biāo)函數(shù)（UF8、UF9、UF10），使用軟件Matlab2016a進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)測(cè)試。

實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，所有算法的相關(guān)參數(shù)均設(shè)置一致以保證公平性：種群規(guī)模N=100，外部檔案集規(guī)模NA=100，迭代次數(shù)Tmax=100。HMOGOA、MOGOA 參數(shù)c的取值范圍均設(shè)置為：cmax=1，cmin=0.000 5。其他算法參數(shù)設(shè)置如下：MOPSO算法慣性權(quán)重因子w=0.5，個(gè)體學(xué)習(xí)因子c1=2，社會(huì)學(xué)習(xí)因子c2=2，變異率pm=0.1；MOEA/D算法鄰域大小T=15，交叉概率pc=0.5；NSGA Ⅱ算法交叉概率pc=0.7，變異概率pm=0.02。為避免隨機(jī)誤差對(duì)測(cè)試結(jié)果的影響，針對(duì)每個(gè)測(cè)試函數(shù)所有算法均運(yùn)行30次。

3.2 性能指標(biāo)

為分析比較不同優(yōu)化算法的性能，選取兩種評(píng)價(jià)指標(biāo)來(lái)量化分析算法的性能。具體性能指標(biāo)［20］如下：

1）反世代距離（Inverted Generational Distance，IGD）。IGD 反映了算法求得的Pareto 解集P與真實(shí)Pareto 前沿之間的距離，它是評(píng)價(jià)算法收斂性的指標(biāo)。其值越小說(shuō)明所求解越逼近真實(shí)Pareto 前沿，表明算法的收斂性越好，解的精度越高。IGD定義如下：

其中，NPt為真實(shí)Pareto前沿中解的數(shù)量為真實(shí)Pareto前沿中的第i個(gè)解與解集P間的最短歐氏距離。

2）分布度量指標(biāo)（Δ）。Δ體現(xiàn)了所求Pareto 最優(yōu)前沿相對(duì)真實(shí)前沿的分布廣度及均勻度，它是評(píng)價(jià)Pareto 解分布特性的指標(biāo)。Δ數(shù)值越小說(shuō)明解的多樣性越高、分布范圍越廣、分布均勻度越好，非支配解能夠更好地覆蓋整個(gè)真實(shí)Pareto解集。Δ的定義如下：

其中：Np為所求解的個(gè)數(shù)，di為Pareto前沿中相鄰點(diǎn)間的距離，為di的平均值，df、dl為Pareto 最優(yōu)前沿與真實(shí)前沿邊界點(diǎn)之間的最短距離。

3.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

五種算法針對(duì)多目標(biāo)問(wèn)題測(cè)試所得各項(xiàng)性能指標(biāo)的均值（Mean）和方差（Var）如表1、2所示，同一測(cè)試問(wèn)題中的最優(yōu)數(shù)值加粗顯示。

表1 IGD實(shí)驗(yàn)結(jié)果Tab.1 Results of IGD

表2 Δ實(shí)驗(yàn)結(jié)果Tab.2 Results of Δ

由表1 可見(jiàn)，相較于MOPSO、MOEA/D、NSGA Ⅱ算法，HMOGOA 的IGD 數(shù)值在大部分測(cè)試函數(shù)上明顯優(yōu)于此三種算法，只是在函數(shù)UF9 上稍差于MOPSO，但數(shù)值相近且明顯優(yōu)于其他兩種算法，表明HMOGOA 的收斂性優(yōu)于此三種算法。而對(duì)于MOGOA，HMOGOA 的收斂性能和收斂穩(wěn)定性在全部測(cè)試問(wèn)題上都體現(xiàn)出了明顯優(yōu)勢(shì)。由此說(shuō)明HMOGOA采取的基于差分變異算子的更新策略有助于引導(dǎo)種群向理想解空間中目標(biāo)個(gè)體位置移動(dòng)。

通過(guò)表2 對(duì)比分析五種算法的分布性能指標(biāo)可以看出，由于HMOGOA 在進(jìn)化初期提高了初始種群分布性，避免了算法前期陷入局部最優(yōu)；差分變異算子能夠提高全局搜索能力，改善解集分布特性；同時(shí)采用自適應(yīng)權(quán)重因子平衡全局和局部尋優(yōu)能力，提高了最優(yōu)解集的質(zhì)量。因此，HMOGOA 在所有測(cè)試問(wèn)題上的分布性能均明顯優(yōu)于其他算法。

圖8 所 示 為HMOGOA、MOGOA、MOPSO、MOEA/D 的Pareto 最優(yōu)前沿分布圖。通過(guò)圖8 可以看出，對(duì)于函數(shù)ZDT3，HMOGOA 求得的解相較其他三種算法能均勻分布在函數(shù)的4個(gè)波谷上，收斂精度更好。對(duì)于函數(shù)ZDT1、ZDT2，HMOGOA與其他算法相比能更均勻分布在整個(gè)真實(shí)Pareto 前沿面上。而對(duì)于三目標(biāo)問(wèn)題，HMOGOA 求得解的數(shù)量更多，能夠較好逼近真實(shí)Pareto前沿，且分布更均勻。

圖8 各算法對(duì)部分函數(shù)的Pareto前沿對(duì)比Fig.8 Comparison of Pareto optimal front for some benchmark functions obtained by various algorithms

為進(jìn)一步比較HMOGOA 與其他算法性能之間的顯著優(yōu)勢(shì)，本文利用Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)按照顯著性水平α=0.05，將HMOGOA 分別與其他四種算法進(jìn)行對(duì)比分析。分析結(jié)果如表3 所示，“+”“-”“≈”分別表示HMOGOA 的性能指標(biāo)明顯優(yōu)于、劣于或近似于對(duì)比算法。由表3 可以看出，HMOGOA 的IGD、Δ指標(biāo)在大部分測(cè)試函數(shù)上，相較于MOGOA、MOPSO、MOEA/D、NSGA Ⅱ具有明顯優(yōu)勢(shì)，只是在個(gè)別測(cè)試函數(shù)上近似于MOPSO、MOEA/D。通過(guò)上述實(shí)驗(yàn)分析可知，本文提出的HMOGOA 性能明顯優(yōu)于MOGOA，算法具有較高的收斂精度和較好的分布性能，且穩(wěn)定性較高。

表3 Wilcoxon秩和檢驗(yàn)結(jié)果Tab.3 Results of Wilcoxon rank-sum test

4 結(jié)語(yǔ)

本文為提高M(jìn)OGOA 的優(yōu)化性能，提出一種混合多目標(biāo)蝗蟲(chóng)優(yōu)化算法。該算法利用Halton 序列初始化種群，使初始種群具有較好的多樣性和分布特性，減小了算法過(guò)早收斂的概率；設(shè)計(jì)基于差分變異算子的種群更新機(jī)制，促進(jìn)種群向優(yōu)勢(shì)個(gè)體移動(dòng)的同時(shí)進(jìn)行更大范圍尋優(yōu)，實(shí)現(xiàn)種群間優(yōu)勢(shì)個(gè)體的信息交換，提高了算法的全局尋優(yōu)能力，有效避免算法陷入局部最優(yōu)，提升了解集的分布特性，改善了收斂精度；引入自適應(yīng)權(quán)重因子，根據(jù)種群進(jìn)化狀態(tài)反饋信息動(dòng)態(tài)調(diào)整算法的全局搜索和局部開(kāi)發(fā)能力，實(shí)現(xiàn)算法尋優(yōu)能力的閉環(huán)精細(xì)控制，提高了算法的優(yōu)化效率和最優(yōu)解集質(zhì)量。通過(guò)與四種多目標(biāo)優(yōu)化算法的對(duì)比實(shí)驗(yàn)表明，HMOGOA 的性能相較于MOGOA有明顯提升，算法具有較好的收斂精度、分布廣度、分布均勻性和穩(wěn)定性。下一步研究的主要內(nèi)容是算法對(duì)于求解高維多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的性能。