一道多元最值問題的解法探究
——兼談三角形面積坐標公式的優(yōu)化

張玲麗 范方玉

(江蘇省揚州大學數學科學學院,225002)

一、試題呈現

試題設實常數a,b不全為零，B(x1,y1),C(x2,y2),D(x3,y3)是平面曲線x2+y2=2ax-4by上任意三點，求u=x1y2-x2y1+x2y3-x3y2的最大值.

本題是一道多元函數最值問題,李尚志教授在重慶求精中學為中學生作學術演講時,其中一道例題就是上述試題在a,b都等于1時的特殊情況.

顯然,平面曲線通過原點O及點B，C，D.將u的表達式分拆成x1y2-x2y1,x2y3-x3y2兩部分，發(fā)現分別與O，B，C和O，C，D的坐標有關，已知三點坐標可以求出?OBC,?OCD的面積.而北師大版的教材《數學(必修5)》第48頁的一道習題,可視為三角形面積的坐標公式:

由此結論,我們將目標函數u的表達式看成x1y2-x2y1與x2y3-x3y2的組合，則u的幾何意義與?OBC,?OCD的面積有關.如何準確解釋u與?OBC,?OCD的面積的關系,我們需要設法去掉上述結論中的絕對值符號.

二、面積公式的優(yōu)化

鑒于上述結論可用向量的運算來解決,聯想到從原點出發(fā)的向量與復數可以形成一一對應關系,我們考慮利用復數對面積公式進行優(yōu)化、改進.

(1) 當頂點O,B,C按順時針排列時，

(2) 當頂點O,B,C按逆時針排列時,

評注上述證明過程參考文[2],運用三角形面積公式及復數的代數表示法、三角表示法獲得了三角形面積的坐標表示法,優(yōu)化了北師大版教材的結論.

三、問題解答

回到文首的試題,由推論可知目標函數有以下四種可能:(1)u=2S?OBC+2S?OCD;(2)u=2S?OBC-2S?OCD;(3)u=2S?OCD-2S?OBC;(4)u=-2(S?OBC+S?OCD).歸納而言，u=2(λS?OBC+μS?OCD),其中λ=±1,μ=±1,λ，μ的值由三角形頂點按順時針、逆時針排列的順序決定.由|λS?OBC+μS?OCD|≤|λS?OBC|+|μS?OCD|=S?OBC+S?OCD,可得|u|≤2S四邊形OBCD，其中O，B，C，D四點按逆時針方向排列.

綜上，umax=2(S四邊形OBCD)max=4(a2+4b2).