一道線性規(guī)劃試題的多思路求解

孫道斌

(山東省菏澤市牡丹區(qū)教研室，274000)

“注重學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系,整合知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯”一直是高考命題“能力立意”的宗旨,而線性規(guī)劃最值問題恰好是交融性極強(qiáng)的素材.下面,筆者就以2020年新課標(biāo)全國Ⅲ卷理13題(文13題)為例,通過不同的解題方式對(duì)這種題型的解題策略嘗試粗淺的探討,希望對(duì)2021年的高考有所啟示.

題目若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件

則z=3x+2y的最大值為______.

策略1平移目標(biāo)函數(shù),通法通用

故zmax=3×1+2×2=7，填7.

評(píng)注先利用線性約束條件作出可行域,然后根據(jù)等值線的幾何意義通過平移目標(biāo)函數(shù)明確最大值點(diǎn),再通過解方程組求得最大值點(diǎn)的坐標(biāo),得出目標(biāo)函數(shù)的最大值.這種解題思路當(dāng)屬經(jīng)典解法,能有效地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力.

策略2替換變量,出奇制勝

新不等式組所表示的區(qū)域如圖2.由圖2可知z的最大值為區(qū)域中最高點(diǎn)N的縱坐標(biāo).

∴故zmax=7，填7.

評(píng)注變量替換,不但彰顯了個(gè)性,而且有效避免了“平移”,從而使目標(biāo)函數(shù)值的取值范圍一目了然,極大地減少了出錯(cuò)的概率,同時(shí)也使問題的解答變得更為簡(jiǎn)捷、直觀.

策略3構(gòu)造向量,另辟蹊徑

故zmax=3×1+2×2=7，填7.

評(píng)注利用向量法求解線性規(guī)劃的最值問題,不僅體現(xiàn)了向量的工具性,而且拓寬了數(shù)學(xué)解題的思維和方法，特別是對(duì)于求解系數(shù)a,b較復(fù)雜的目標(biāo)函數(shù)時(shí)有明顯的優(yōu)勢(shì).

策略4應(yīng)用不等式組,化繁為簡(jiǎn)

評(píng)注先從目標(biāo)函數(shù)解出x或y,并將其代人約束條件,然后利用不等式的性質(zhì)解不等式組,輕車熟路使得問題迅速獲解.這種解法省去了作圖,可以有效地節(jié)省解題時(shí)間,從而化繁為簡(jiǎn)，出奇制勝.

策略5幾何問題代數(shù)化,數(shù)形結(jié)合

因?yàn)閦=3x+2y存在最大值,且最大值只能在三個(gè)頂點(diǎn)處獲得,比較可知zB>zA>zO,所以z=3x+2y的最大值為7.

評(píng)注由教材可知，當(dāng)點(diǎn)P(x,y)落在可行域上的某個(gè)頂點(diǎn)或某條邊界所在線段時(shí),線性目標(biāo)函數(shù)z=ax+by取得最值(反之也成立).由此,通過幾何問題代數(shù)化,可用解二元一次方程組、求函數(shù)值的方法代替線性規(guī)劃中作圖法求解,提高解題效率,使得問題的解決變得更簡(jiǎn)單、便利.

對(duì)比以上五種策略下的解法，不難看出,線性規(guī)劃是溝通幾何知識(shí)與代數(shù)知識(shí)的重要橋梁,是數(shù)形結(jié)合的集中體現(xiàn),解題的關(guān)鍵是理解目標(biāo)函數(shù)的意義.同時(shí),也可以看出,該問題與其他知識(shí)進(jìn)行交叉融合,不僅體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想,如數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、動(dòng)態(tài)思想和建模思想,而且也體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生綜合分析問題的能力、邏輯思維能力以及解決實(shí)際問題的能力的要求.