一類二階擬線性瞬態(tài)方程組的Phragmén-Lindel?f型二擇性結(jié)果

李遠(yuǎn)飛, 肖勝中, 郭連紅, 曾 鵬

(1. 廣東財(cái)經(jīng)大學(xué)華商學(xué)院 數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院, 廣州 511300; 2. 廣東農(nóng)工商職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 廣州 510507)

1 引言與預(yù)備知識(shí)

Saint-Venant原理[1]在應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛, 其早期研究主要集中于橢圓方程的初邊值問(wèn)題, 此后各種類型的拋物方程得到廣泛關(guān)注[2-7]. 通常情況下, 研究拋物方程的空間性質(zhì)時(shí)需假設(shè)在柱體的無(wú)限端解趨于零或趨近于一個(gè)瞬態(tài)層流, 并通常假設(shè)在柱體的側(cè)面上滿足零邊界條件. 經(jīng)典的二擇一定理不必假設(shè)方程組的解在無(wú)限端趨于零, 而是證明調(diào)和函數(shù)隨與有限端距離的增大或者呈指數(shù)(多項(xiàng)式)增長(zhǎng), 或者呈指數(shù)(多項(xiàng)式)衰減. Horgan等[8]考慮了定義在一個(gè)柱體區(qū)域Ω?3上的Laplace方程, 假設(shè)解在Ω的邊界上滿足非線性條件, 證明了Laplace方程的解或者指數(shù)式(或多項(xiàng)式)增加, 或者指數(shù)式(或多項(xiàng)式)衰減; 如果在柱體的側(cè)面上施加不同的非線性條件, 利用文獻(xiàn)[9]的方法, 文獻(xiàn)[10]得到了解的二擇一定理； 文獻(xiàn)[11]研究了二維雙調(diào)和方程的Phragmén-Lindel?f二擇一定理, 并著重考慮了3種不同的半無(wú)窮柱體區(qū)域； 文獻(xiàn)[12]給出了二維瞬態(tài)的Stokes 流體方程的二擇一結(jié)果； 文獻(xiàn)[13]考慮了定義在一個(gè)三維柱體上的穩(wěn)態(tài)擬線性方程

(ρ(x,u,u)u,i),i=f(u),

當(dāng)方程的解在柱體的側(cè)面上滿足零邊界條件或其次Neumann邊界條件時(shí), 通過(guò)對(duì)非線性項(xiàng)做出一定的限制, 得到了解的二擇一定理.

本文令Ω表示三維區(qū)域上的半無(wú)限柱體,Dz表示Ω在x3=z處的橫截面,D表示Ω在坐標(biāo)平面x1Ox2上的橫截面, 即Ω={(x1,x2,x3)|(x1,x2)∈Dx3,x3>0}. 令?Dx3表示Dx3的邊界,z是x3軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),Ωz記為

Ωz={(x1,x2,x3)|(x1,x2)∈Dx3,x3≥z≥0},

其中Dx3是與x3相關(guān)的一個(gè)光滑區(qū)域, 例如

uf(u)≥ku2p/(p-1),p>1,k>0;

(5)

g(x1,x2,t)是大于零的給定函數(shù)且滿足兼容性條件g(x1,x2,t)=0, (x1,x2,t)∈D0×(0,T)和g(x1,x2,0)=0; 在式(1)中假設(shè)ρ滿足

(6)

其中m1,M1和M2都是大于零的常數(shù).

目前, 關(guān)于半無(wú)窮柱體上解的二擇一性質(zhì)的研究文獻(xiàn)報(bào)道較少, 本文將文獻(xiàn)[13]中的二擇性定理推廣到瞬態(tài)方程中, 受文獻(xiàn)[11]的啟發(fā), 考慮3種不同的半無(wú)窮柱形區(qū)域, 分別給出解的二擇性. 用u的L2積分控制u的L2積分, 即

引理1若w|?Dz=0, 則存在一個(gè)依賴于區(qū)域Dz大于零的函數(shù)r(z), 使得

(7)

其中r(z)=|Dz|表示區(qū)域Dz的面積.

證明: 設(shè)P是Dz內(nèi)的一個(gè)點(diǎn). 令P1和P2分別表示過(guò)點(diǎn)P平行于x1坐標(biāo)軸的直線與?Dz的交點(diǎn), 令Q1和Q2分別表示過(guò)點(diǎn)P平行于x2坐標(biāo)軸的直線與?Dz的交點(diǎn). 首先, 注意到

所以

(8)

類似地, 有

(9)

結(jié)合式(8),(9), 有

再利用不等式(a+b)2≤2(a2+b2)(a,b>0)及H?lder不等式, 可得式(7). 證畢.

2 能量表達(dá)式

下面先定義一個(gè)能量表達(dá)式, 再利用微分不等式技術(shù)推導(dǎo)出一個(gè)關(guān)于該能量表達(dá)式的一階微分不等式, 從而得到解的二擇一結(jié)果. 為此, 利用方程(1), 可得恒等式

(10)

其中z0≥0是x3坐標(biāo)軸上的點(diǎn). 在式(10)中利用分部積分, 可得

令

(12)

于是由式(11)可得

(13)

對(duì)式(13)求導(dǎo), 可得

(14)

根據(jù)H?lder不等式和算術(shù)幾何平均不等式, 由式(12)可得

(15)

利用式(6)和引理1, 可得

把式(16)代入式(15)再結(jié)合式(14), 可得

(17)

(18)

(19)

3 二擇性定理

首先考慮一個(gè)一般區(qū)域, 即柱體Ω的母線平行于x3坐標(biāo)軸. 此時(shí), 柱體Ω在任意z∈[0,∞)處的橫截面都相等, 所以Dz的面積不依賴于z, 記r(z)=r0>0. 這種區(qū)域是大多數(shù)研究者關(guān)注的情形[12-13], 但本文考慮的問(wèn)題更復(fù)雜.

3.1 半無(wú)窮柱體

對(duì)式(11)定義的E(z), 利用式(18)和式(19)分為如下兩種情形分析.

1) 存在一個(gè)點(diǎn)z0>0, 使得E(z0)>0.

(20)

2) 對(duì)所有的z≥0, 都有E(z)≤0.

此時(shí), 式(19)成立, 所以

(22)

對(duì)式(22)從0到z積分, 可得

(23)

式(23)表明當(dāng)z→∞時(shí), -E(z)指數(shù)式衰減于零. 對(duì)式(14)從z到∞積分, 可得

(24)

其中

(25)

綜上， 可得以下Phragmén-Lindel?f型二擇一定理:

定理1設(shè)u為問(wèn)題(1)-(4)在一個(gè)半無(wú)窮柱體Ω上的解, 其中函數(shù)ρ滿足式(6), 非線性項(xiàng)f(u)滿足式(5). 則對(duì)式(12)定義的E(z,t), 當(dāng)z→∞時(shí)或者指數(shù)式增長(zhǎng), 或者指數(shù)式衰減, 即或者式(21)成立, 或者式(24)成立.

3.2 擴(kuò)展區(qū)域

下面討論當(dāng)柱體Ω的橫截面隨z→∞不斷擴(kuò)大的情形, 此時(shí)的柱體形狀像一個(gè)喇叭花. 顯然柱體截面增大的速度過(guò)快, 得不到二擇性結(jié)果. 因此必須對(duì)柱體做一定的限制. 下面對(duì)這種柱體給出一個(gè)例子, 即

(26)

根據(jù)R(z)的定義可知, 在該區(qū)域上R(z)滿足

10, 0<γ≤1.

(27)

下面分兩種情形討論.

1) 存在一個(gè)點(diǎn)z0>0, 使得E(z0)>0.

此時(shí), 與3.1中的情形1)類似, 有E(z)≥E(z0)>0,z≥z0>0. 因此由式(18)可得

(28)

對(duì)式(28)從z0到z積分, 可得

再由式(13)可得

由于0<γ≤1, 所以

(30)

2) 對(duì)所有的z≥0, 都有E(z)≤0.

此時(shí), 由式(19)可得

(31)

對(duì)式(31)從0到z積分, 可得

(32)

綜上, 可得以下Phragmén-Lindel?f型二擇一定理:

定理2設(shè)u為問(wèn)題(1)-(4)在一個(gè)半無(wú)窮柱體Ω上的解, 其中函數(shù)ρ滿足式(6), 非線性項(xiàng)f(u)滿足式(5). 如果柱體Ω的橫截面Dz滿足式(27), 則對(duì)式(12)定義的E(z,t), 當(dāng)z→∞時(shí), 或者無(wú)限增長(zhǎng), 或者無(wú)限衰減, 即或者式(29)成立, 或者式(33)成立.

注1在定理2中, 如果γ=1, 則

表明當(dāng)z→∞時(shí),E(z,t)或者呈多項(xiàng)式增長(zhǎng), 或者呈多項(xiàng)式衰減, 衰減速度至少與z1/δ相同. 如果0<γ<1, 則可做如下處理：

從而

注2如果R(z)=δzγ+1,δ>0,γ>1, 則式(30)中的極限收斂, 從而得不到定理2的結(jié)果. 表明柱體截面增大的速度過(guò)快, 因此得不到衰減性結(jié)果.

3.3 特殊區(qū)域

假設(shè)R(z)滿足

1

(34)

下面仍分兩種情形進(jìn)行分析.

1) 存在一個(gè)點(diǎn)z1>0, 使得E(z1)>0.

此時(shí), 與3.1中的情形1)類似, 有E(z)≥E(z0)>0,z≥z1>0. 取z0=max{e,z1}, 類似3.2中情形1)的計(jì)算, 可得

下面證明式(35)左邊的積分是無(wú)限增加的. 因?yàn)?/p>

(36)

2) 對(duì)所有的z≥0都有E(z)≤0.

此時(shí), 由式(19)可得

(37)

對(duì)式(37)從e到z積分, 可得

(38)

(39)

綜上， 可得以下Phragmén-Lindel?f型二擇一定理:

定理3設(shè)u為問(wèn)題(1)-(4)在一個(gè)半無(wú)窮柱體Ω上的解, 其中函數(shù)ρ滿足式(6), 非線性項(xiàng)f(u)滿足式(5). 如果柱體Ω的橫截面Dz滿足式(34), 則對(duì)式(12)定義的E(z,t), 當(dāng)z→∞時(shí)或者無(wú)限增長(zhǎng)或者衰減, 即或者式(36)成立, 或者式(39)成立.

由定理1～定理3可知, 在衰減的情形下, 要使衰減估計(jì)有意義, 必須推導(dǎo)-E(0,t)的上界.

4 全能量估計(jì)

假設(shè)

(40)

(41)

同時(shí)由式(25), 可得

(42)

下面引入一個(gè)輔助函數(shù):

S(x1,x2,x3,t)=g(x1,x2,t)e-σx3,

其中σ是一個(gè)大于零的常數(shù). 利用分部積分和方程(1), 有

根據(jù)H?lder不等式和算術(shù)幾何平均不等式, 可得

(44)

(45)

再利用式(40), 可得

其中ε1是一個(gè)大于零的任意常數(shù). 類似地, 由式(5), 有

其中ε2是一個(gè)大于零的任意常數(shù). 取適當(dāng)?shù)摩?和ε2, 使得

(48)

其中

所以由式(48)可得E(0,t)≤2F(t). 取適當(dāng)?shù)摩? 即可得E(0,t)的上界.