一類雙耦合線性退化拋物方程組的近似可控性

周 倩, 許鳳丹, 高 冬

(1. 吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長(zhǎng)春 130012; 2. 大連民族大學(xué) 理學(xué)院， 遼寧 大連 116600；3. 吉林大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 長(zhǎng)春 130012)

0 引 言

考慮如下雙耦合線性退化拋物方程組初邊值問題的近似可控性：

其中:QT=Ω×(0,T),Ω是n中的有界區(qū)域,T>0;c1,c2,c3∈L∞(QT);h∈L2(QT)是控制函數(shù), 只作用在第一個(gè)方程上;χ是特征函數(shù);ω1和ω2是Ω中相交非空的開子集;在Ω×[0,T]上恒正且有u0,v0∈L2(Ω);Σ1,Σ2分別是側(cè)邊界中非退化和弱退化部分, 定義為

這類方程組在邊界具有退化性, 控制函數(shù)作用在區(qū)域內(nèi)部, 并且只作用在一個(gè)方程上. 退化拋物方程組(1)-(2)可描述一些生物種群模型和物理模型[1-2].

目前, 對(duì)非退化拋物方程和方程組初邊值問題控制理論的研究已有許多成果, 包括近似可控性和精確可控性、 內(nèi)部可控性和邊界可控性[3-8]. 文獻(xiàn)[9-15]研究了一些在邊界上退化的拋物方程和方程組初邊值問題的控制理論, 這些方程(組)可能在一部分邊界上發(fā)生退化, 從而導(dǎo)致其不存在古典解, 因此需研究其正則性較弱的弱解, 同時(shí)非退化拋物方程(組)解的Carleman估計(jì)和一些緊性估計(jì)方法也不再成立, 因此， 必須先克服方程(組)的退化性帶來的困難再研究這些退化拋物方程(組)的控制理論. 考慮如下典型的一維邊界退化拋物方程的初邊值問題：

其中:α>0;c∈L∞((0,1)×(0,T));ω是(0,1)中的非空開集;u0∈L2(0,1). 文獻(xiàn)[16-18]證明了當(dāng)0<α<2時(shí)問題(7)-(10)是零可控的, 即對(duì)任意的初值函數(shù)u0∈L2(0,1), 存在一個(gè)控制函數(shù)h∈L2((0,1)×(0,T)), 使得問題(7)-(10)的解滿足u(x,T)=0 a.e.x∈(0,1), 而當(dāng)α≥2時(shí)該問題不是零可控的[19]. 雖然當(dāng)α≥2時(shí)問題(7)-(10)不是零可控的, 但對(duì)任意的α>0, 該問題在L2中都是近似可控的[1]. 文獻(xiàn)[1]研究了更一般的邊界退化拋物方程的初邊值問題, 證明了當(dāng)c2恒為0時(shí)退化拋物方程的初邊值問題(1)-(3)-(5)的近似可控性, 特別地, 這里的控制函數(shù)是bang-bang形式的. 文獻(xiàn)[20]進(jìn)一步考慮了半線性的情形. 對(duì)于方程組的情形, 文獻(xiàn)[2]證明了當(dāng)c2恒為0時(shí)問題(1)-(6)的近似可控性, 注意到當(dāng)c2恒為0時(shí)方程組(1)-(2)是單耦合的.

本文研究更一般的雙耦合退化拋物方程組初邊值問題(1)-(6)的近似可控性. 方程組(1)-(2)在邊界具有退化性, 本文克服了退化性的困難, 借助對(duì)偶問題構(gòu)造了控制函數(shù), 證明了初邊值問題在L2中的近似可控性. 即對(duì)任意的(u0,v0),(ud,vd)∈L2(Ω)×L2(Ω),ε>0, 都能找到一個(gè)控制函數(shù)h∈L2(QT), 使得問題(1)-(6)的弱解(u,v)滿足

(11)

1 主要結(jié)果

由于方程組(1)-(2)在邊界具有退化性, 因此本文研究問題(1)-(6)的弱解.

定義1如果u∈L2(QT)∩B1,v∈L2(QT)∩B2, 并且對(duì)任意滿足φ(·,T)=ψ(·,T)=0的函數(shù)φ∈H1((0,T);L2(Ω))∩B1和ψ∈H1((0,T);L2(Ω))∩B2, (u,v)均滿足積分等式

下的閉包.

問題(1)-(6)是適定的. 類似文獻(xiàn)[1]中定理2.1和文獻(xiàn)[20]中命題2.1可證明如下命題.

命題1對(duì)任意的c1,c2,c3∈L∞(QT),h∈L2(QT), (u0,v0)∈L2(Ω)×L2(Ω), 問題(1)-(6)存在唯一的弱解(u,v). 進(jìn)一步, (u,v)還具有如下性質(zhì):

1) (u,v)滿足估計(jì)式

其中C>0是依賴于T和‖ci‖L∞(QT)(i=1,2,3)的常數(shù);

基于命題1, 可得如下收斂性結(jié)論, 其證明可參照文獻(xiàn)[20]中推論2.1.

本文主要結(jié)果如下：

定理1(近似可控性定理) 設(shè)c1,c2,c3∈L∞(QT), 則問題(1)-(6)是近似可控的. 即對(duì)任意的(u0,v0),(ud,vd)∈L2(Ω)×L2(Ω)和任意的ε>0, 能找到一個(gè)控制函數(shù)h∈L2(QT), 使得問題(1)-(6)的弱解(u,v)滿足式(11).

2 主要結(jié)果的證明

的弱解. 考慮如下初值為零的控制問題:

令

如果控制問題(13)-(20)存在控制函數(shù)h∈L2(QT), 則(u,v)是問題(1)-(6)滿足式(11)的弱解. 因此, 只需當(dāng)(u0,v0)恒為(0,0)時(shí)證明定理1即可.

考慮問題(1)-(6)的對(duì)偶問題：

其中z0,y0∈L2(Ω). 定義映射

其中(z,y)是問題(21)-(26)的弱解, 利用推論1可以證明L是一個(gè)連續(xù)的線性映射.

引理1假設(shè)z0,y0∈L2(Ω), 則問題(21)-(26)的弱解(z,y)滿足唯一延拓性. 即如果

L((z0,y0))=0 a.e. (x,t)∈ω1×(0,T),

則

(z,y)=(0,0) a.e. (x,t)∈QT.

證明: 由L的定義及L((z0,y0))=0可知

z(x,t)=0 a.e. (x,t)∈ω1×(0,T).

對(duì)任意的δ>0, 令

Ωδ={x∈Ω: dist(?Ω,x)>δ}.

顯然方程組(21)-(22)在Ωδ×(0,T)上是一致拋物的. 因此, 由經(jīng)典拋物方程組的Carleman估計(jì)[21]可得

其中C是一個(gè)正常數(shù). 從而

(z,y)=(0,0) a.e.Ωδ×(0,T).

由δ的任意性可知,

(z,y)=(0,0) a.e.QT.

證畢.

對(duì)任意的(ud,vd)∈L2(Ω)×L2(Ω)和ε>0, 定義泛函

其中〈(·,·),(·,·)〉L2(Ω)×L2(Ω)是空間L2(Ω)×L2(Ω)中的內(nèi)積.

(27)

證明: 由L是線性連續(xù)映射及推論1易驗(yàn)證J(·)是L2(Ω)×L2(Ω)上一個(gè)嚴(yán)格凸的連續(xù)泛函. 要證明J(·)存在最小值點(diǎn), 只需證明如下估計(jì)式成立：

(28)

(29)

令

從而由范數(shù)弱下半連續(xù)性可得

其等價(jià)于

(30)

在式(30)左端令λ→0+, 則易得‖(ud,vd)‖L2(Ω)×L2(Ω)≤ε. 另一方面, 如果‖(ud,vd)‖L2(Ω)×L2(Ω)≤ε, 則

因此

‖(u(·,T)-ud(·),v(·,T)-vd(·,T))‖L2(Ω)×L2(Ω)=‖(ud(·),vd(·))‖L2(Ω)×L2(Ω)≤ε.

從而式(11)成立.

易求得

聯(lián)立式(32)～(35)可得

(36)

將式(36)代入式(31)可得

再由(φ0,ψ0)∈H1(Ω)×H1(Ω)的任意性可得

因此

從而式(11)成立. 證畢.