非線(xiàn)性阻尼Berger方程的時(shí)間依賴(lài)全局吸引子

汪 璇, 杜亞利, 梁玉婷

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 蘭州 730070)

0 引 言

在時(shí)間依賴(lài)空間中, 考慮如下Berger方程：

(1)

其中:Ω是5中具有光滑邊界?Ω的有界開(kāi)區(qū)域;ε=ε(t)是關(guān)于t的函數(shù);u=u(x,t)表示金屬板在空間x處t時(shí)刻的撓度;g(ut)是非線(xiàn)性阻尼項(xiàng);h是與時(shí)間t無(wú)關(guān)的外力項(xiàng).

假設(shè)非線(xiàn)性函數(shù)f(x),g(ut),ε(t)和函數(shù)M(·)滿(mǎn)足以下假設(shè):

(H1) 若g∈C1(),g(0)=0, 且g是嚴(yán)格增的, 則有

(2)

(3)

(H2) 函數(shù)M:+→+是C1上的增函數(shù), 有

(4)

(H3) 非線(xiàn)性函數(shù)f∈C1(), 且滿(mǎn)足增長(zhǎng)性條件:

(5)

耗散性條件:

(6)

(H4)ε(t)∈C1()是單調(diào)遞減的有界函數(shù), 且

(7)

特別地, 存在常數(shù)L>0, 使得

(8)

(H5) 設(shè)a(x)∈L∞(Ω), 則存在正常數(shù)α0, 使得

a(x)≥α0,x∈Ω.

(9)

方程(1)起源于空中飛行的飛機(jī)金屬表面遇到氣流時(shí)的非線(xiàn)性振動(dòng)現(xiàn)象及能量耗散過(guò)程[1-2], 這類(lèi)方程也被稱(chēng)為von Karman板方程, 它描述了板的大幅度振動(dòng). 對(duì)于方程(1), 當(dāng)ε(t)為正常數(shù)時(shí), 已有很多研究結(jié)果: 當(dāng)ε(t)=1時(shí), Ma等[3]研究了

utt+Δ2u(t)+g(ut)-M(‖u‖2)Δu+f(u)=h(x)

(10)

當(dāng)ε(t)為一個(gè)正的單調(diào)遞減函數(shù)且在無(wú)窮遠(yuǎn)處趨于零時(shí), 問(wèn)題(1)則更復(fù)雜.為解決這類(lèi)問(wèn)題, Contin等[7]基于拉回吸引性的最小性提出了一個(gè)拉回吸引子的概念, 并得到了Plinio等[8]在時(shí)間依賴(lài)空間中建立的吸引子理論, 利用這個(gè)新框架研究了帶有時(shí)間依賴(lài)速度增長(zhǎng)的弱阻尼波方程

ε(t)utt-Δu+αut+f(u)=g(x)

(11)

解的長(zhǎng)時(shí)間行為; 文獻(xiàn)[9-10]得到了Plate方程和非經(jīng)典反應(yīng)擴(kuò)散方程時(shí)間依賴(lài)全局吸引子的存在性; 文獻(xiàn)[11]得到了記憶型無(wú)阻尼抽象發(fā)展方程時(shí)間依賴(lài)全局吸引子的存在性和正則性結(jié)果; 文獻(xiàn)[12]研究了非自治Berger方程解的漸近性行為, 獲得了擴(kuò)展型Berger方程時(shí)間依賴(lài)全局吸引子的存在性.

關(guān)于帶有非線(xiàn)性阻尼的Berger方程即模型(1)的時(shí)間依賴(lài)動(dòng)力學(xué)行為的研究目前尚未見(jiàn)文獻(xiàn)報(bào)道. 事實(shí)上, 非線(xiàn)性阻尼項(xiàng)、 非線(xiàn)性項(xiàng)以及Kirchhoff型的局部項(xiàng)給有界吸收集的存在性和過(guò)程的緊性驗(yàn)證帶來(lái)了本質(zhì)困難. 本文利用時(shí)間依賴(lài)空間的過(guò)程理論以及文獻(xiàn)[4,13]中驗(yàn)證過(guò)程族拉回漸近緊的方法, 即收縮函數(shù)的方法, 證明模型(1)時(shí)間依賴(lài)全局吸引子的存在性.

1 預(yù)備知識(shí)

定義C是一個(gè)正常數(shù), 在不同之處可表示不同的值. 設(shè)Qi是一個(gè)遞增的正函數(shù). 由式(3)可得

(12)

因此

(13)

從而下式成立：

|g(s)|≤C+C(g(s)s)q/(q+1),

(14)

其中1

引理1[14-15]假設(shè)g滿(mǎn)足式(2),(3), 且對(duì)任意的γ>0, 存在一個(gè)常數(shù)Cγ>0, 使得對(duì)所有的u,v∈, 有

(15)

結(jié)合條件(5)及中值定理可知, 存在一個(gè)常數(shù)c1, 使得

(16)

(17)

(18)

由文獻(xiàn)[16]知, 對(duì)某些λ<λ1, 式(17),(18)成立.

(19)

其中λ1>0為算子Δ2在滿(mǎn)足Dirichlet邊界條件時(shí)的第一特征值.

定義1[6]設(shè){Ht}t∈為一族賦范線(xiàn)性空間, 對(duì)于雙參數(shù)算子族U(t,τ): Hτ→Ht,t≥τ∈, 若滿(mǎn)足如下性質(zhì):

1) 對(duì)任意的τ∈,U(τ,τ)=Id是Ht上的恒等映射;

2) 對(duì)任意的t≥s≥τ,τ∈, 有U(t,s)U(s,τ)=U(t,τ).

則稱(chēng)U(t,τ)是一個(gè)過(guò)程.

定義2[7]如果對(duì)每個(gè)t∈, 都存在正常數(shù)R>0, 使得Ct?Bt(R), 則稱(chēng)有界集Ct?Ht的集合族C={Ct}t∈是一致有界的.

定義3[7]如果一個(gè)集族B={Bt}t∈是一致有界的, 且對(duì)每個(gè)R>0, 都存在常數(shù)t0=t0(t,R)≤t, 使得τ≤t0?U(t,τ)Bτ(R)?Bτ, 則稱(chēng)B={Bt}t∈是拉回吸收的.

定義4[7]如果對(duì)任意的R>0, 都存在常數(shù)θ=θ(R)≥0, 使得τ≤t-θ?U(t,τ)Bτ(R)?Bt, 則稱(chēng)一致有界集族B={Bt}t∈是過(guò)程U(t,τ)的時(shí)間依賴(lài)吸收集.

顯然, 如果存在時(shí)間依賴(lài)吸收集則表明過(guò)程是耗散的.

定義5[7]過(guò)程U(t,τ)的時(shí)間依賴(lài)吸引子是滿(mǎn)足如下性質(zhì)的最小集族A={At}t∈:

1) 在Ht中的每個(gè)At都是緊的;

定義6[7]假設(shè){Ht}t∈是一族Banach空間, C={Ct}t∈是{Ht}t∈上的一致有界子集族. 如果對(duì)任意固定的t∈和任意序列都存在子序列使得成立, 則稱(chēng)定義在Ht×Ht上的函數(shù)為Cτ×Cτ上的收縮函數(shù), 其中τ≤t, C(Cτ)是定義在Cτ×Cτ上所有收縮函數(shù)的集合.

定理1[7]設(shè)U(·,·)是{Ht}t∈上的過(guò)程且有拉回吸收族B={Bt}t∈, 進(jìn)一步, 假設(shè)>0, 則對(duì)任意固定的t∈, 均存在一個(gè)使得

‖U(t,T)x-U(t,T)y‖≤

則過(guò)程U(·,·)是漸近緊的.

定理2[7]令U(·,·)是Banach空間{Ht}t∈上的過(guò)程族, 如果滿(mǎn)足下列條件:

1)U(·,·)有一個(gè)拉回吸收族B={Bt}t∈;

2)U(·,·)是拉回漸近緊的.

2 主要結(jié)果

問(wèn)題(1)解的存在性可通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)的Galerkin方法得到.

首先, 對(duì)方程(1)的解在空間Ht中做先驗(yàn)估計(jì).

引理2假設(shè)條件(2)～(9)及式(15),(16)成立, 則對(duì)于z(τ)=(u0(τ),u1(τ))∈Bτ(R)?Hτ, 存在常數(shù)R0>0, 使得‖U(t,τ)z‖Ht≤R0(?t>τ)成立.

由式(17),(19)有

(20)

由H?lder不等式、 Young不等式及式(19)得

(21)

因?yàn)镸(·):+→+是在C1上的增函數(shù), 則有

(22)

由式(8)及H?lder不等式、 Young不等式, 有

(23)

(24)

由式(4),(19)有

(25)

結(jié)合式(20)～(25), 易知存在0

c2K(t)-C≤E0(t)≤Q0(K(t)).

(26)

用ut+δu與方程(1)在Ω上做內(nèi)積, 得

由式(4)得

從而有

(29)

其中

下面進(jìn)行分步估計(jì). 由式(8)及H?lder不等式、 Young不等式, 有

(30)

由式(2),(3),(14)可得

其中:η>0;Cg,Ω,‖a‖L∞(Ω)是依賴(lài)于g,Ω,‖a‖L∞(Ω)的正常數(shù). 由式(18),(19), 有

(32)

結(jié)合式(24),(30)～(32), 有

由式(2)可知, 存在m>0和Rg, 使得當(dāng)|s|>Rg時(shí),g′>m. 再結(jié)合g(·),a(·)的性質(zhì), 可得

選取適當(dāng)?shù)摩?, 有

由Gronwall引理, 得E0(t)≤E0(τ)e-δ(t-τ)+C. 由式(29)可知, 存在常數(shù)M1>0, 使得

‖U(t,τ)z‖Ht≤Q4(‖z‖Hτ)e-δ(t-τ)+M1.

‖U(t,τ)z‖Ht≤Q4(R)e-δ(t-τ)+M1≤1+2M1=R0.

證畢.

下面證明過(guò)程U(t,τ)在Hτ上的連續(xù)依賴(lài)性及解的唯一性.

定理4在滿(mǎn)足引理2的條件下, 對(duì)任意給定的初值z(mì)i(τ)=(u0i(τ),v0i(τ))∈Hτ, 存在R>0, 使得‖zi(τ)‖Hτ≤R(i=1,2). 則存在不依賴(lài)于zi(τ)的常數(shù)C≥0, 使得

‖U(t,τ)z1(τ)-U(t,τ)z2(τ)‖Ht≤eC(t-τ)‖z1(τ)-z2(τ)‖Hτ, ?t≥τ.

(35)

證明: 設(shè)z1(τ),z2(τ)∈Hτ, ‖zi(τ)‖Hτ≤R(i=1,2), 由引理2可知

‖U(t,τ)zi(τ)‖Ht≤C.

(36)

(37)

且

因?yàn)?/p>

從而由上述估計(jì)有

由引理2直接可得時(shí)間依賴(lài)吸收集的存在性定理：

定理5在滿(mǎn)足引理2的條件下, 問(wèn)題(1)的過(guò)程U(t,τ)存在相對(duì)應(yīng)的時(shí)間依賴(lài)吸收集B={Bt}t∈.

3 時(shí)間依賴(lài)全局吸引子的存在性

3.1 漸近先驗(yàn)估計(jì)

(39)

1) 將式(39)兩邊乘ωt(t), 并在[s,t]×Ω上積分, 得

因?yàn)棣印躶≤t, 所以

由ε(t)是遞減函數(shù)知ε′(t)<0, 結(jié)合式(8)及其引理1知, 對(duì)任意的γ>0, 存在一個(gè)Cγ>0, 使得

(42)

因此, 有

2) 先將式(39)兩邊同乘ω(t), 并在[τ,t]×Ω上積分, 有

然后將式(43)×2+式(44), 可得

3) 將式(40)在[τ,t]×Ω上關(guān)于s求積分, 得

由ε(t)為減函數(shù), 再結(jié)合g(·),a(x)的性質(zhì), 有

將式(45)代入式(46), 有

結(jié)合g(·),a(x)的性質(zhì)及時(shí)間依賴(lài)吸收集的存在性定理可知, 存在正常數(shù)CR0, 使得

(48)

再結(jié)合式(12),(13), 有

(49)

類(lèi)似文獻(xiàn)[4]的處理方法, 有

即

將式(51)代入式(47), 有

令

(53)

且

(54)

其中:

則有

(55)

3.2 漸近緊性

下面證明問(wèn)題(1)的過(guò)程U(t,τ)是拉回漸近緊的.

定理6如果條件(2)～(9)成立, 對(duì)任意固定的t∈, 有界序列及序列-t(當(dāng)n→∞時(shí),τn→∞), 則存在收斂的子列.

首先, 對(duì)于I1, 有

由式(56)～(58)得

(59)

其次, 對(duì)于I2, 由式(16)有

由式(16)及H?lder不等式, 有

從而有

(61)

由式(60)～(62)可得

(63)

由式(64)有

(65)

又因?yàn)?/p>

所以

類(lèi)似地, 對(duì)于固定的t,

有界, 同理由Lebesgue控制收斂定理, 有

由式(65)～(67)有

(68)

定理7在條件(2)～(9)的假設(shè)下, 問(wèn)題(1)對(duì)應(yīng)的過(guò)程U(t,τ): Hτ→Ht存在時(shí)間依賴(lài)全局吸引子A={At}t∈.

證明: 由有界吸收集的存在性及定理1和定理6可知, 過(guò)程U(t,τ)存在唯一的時(shí)間依賴(lài)全局吸引子A={At}t∈. 由文獻(xiàn)[7]中引理4.3和定理4.6, 如果過(guò)程U(t,τ)是連續(xù)的, 則相應(yīng)的時(shí)間依賴(lài)全局吸引子不變, 因此由定理4可知, 時(shí)間依賴(lài)全局吸引子A={At}t∈不變. 證畢.