廣義加權(quán)分?jǐn)?shù)傅里葉變換兩分量組合抗衰落技術(shù)

馬 聰,沙學(xué)軍,張宇思,3

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 通信技術(shù)研究所,哈爾濱 150001； 2.通信網(wǎng)信息傳輸與分發(fā)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,石家莊 050081； 3.專用通信系統(tǒng)教育部工程研究中心,哈爾濱 150001)

基于4項(xiàng)加權(quán)分?jǐn)?shù)傅里葉變換(4-Weighted Fractional Fourier Transform，4-WFRFT)的經(jīng)典混合載波(Hybrid Carrier， HC)系統(tǒng)[1-2]，因其可以融合傳統(tǒng)單載波(Single Carrier， SC)系統(tǒng)和多載波(Multi-Carrier， MC)系統(tǒng)的優(yōu)勢，在對抗信道衰落[3]、窄帶干擾抑制[4]、變換域均衡[5]、帶外輻射抑制[6]、峰均比抑制[7]、對抗載波頻率偏移[8]以及物理層安全[9]等方面受到廣泛關(guān)注.經(jīng)典HC系統(tǒng)之所以能夠在雙彌散信道下獲得優(yōu)于傳統(tǒng)SC和MC系統(tǒng)的誤碼性能，是因?yàn)槠湫盘柲芰吭跁r頻平面上的分布更加均勻[10].但由于受到4-WFRFT約束條件的限制，這種時頻能量分布的均勻性與理想的完全均勻分布還存在一定的差距.針對這一問題，文獻(xiàn)[11]通過對約束條件的放松，提出廣義加權(quán)分?jǐn)?shù)傅里葉變換(Generalized Weighted Fractional Fourier Transform, GWFRFT).與4-WFRFT相比，GWFRFT在信號設(shè)計方面具有更高的自由度，可以設(shè)計出一些傳統(tǒng)HC框架下無法實(shí)現(xiàn)的信號形式.而文獻(xiàn)[11]也正是利用這一點(diǎn)，設(shè)計出時頻能量分布更為均勻的4分量等功率HC信號，進(jìn)一步提升HC系統(tǒng)在雙彌散信道下的誤碼性能.

受此啟發(fā)，如果能利用GWFRFT在信號設(shè)計方面的靈活性，設(shè)計出在時域或頻域中能量分布更加均勻的信號，將有可能進(jìn)一步提高通信系統(tǒng)抗時間/頻率選擇性抗衰落的性能.正是基于這一思路，本文提出一種基于GWFRFT的兩分量組合信號設(shè)計方案，在不改變載波體制的前提下，提升SC和MC系統(tǒng)的抗衰落性能.

1 4-WFRFT與GWFRFT基本理論

經(jīng)典HC系統(tǒng)的數(shù)學(xué)機(jī)理來自4-WFRFT.對于離散復(fù)信號x(n)，其4-WFRFT定義為

ω2(α)x(-n)+ω3(α)X(-n).

(1)

式中ωl(α)為加權(quán)系數(shù)，l=0,1,2,3.4個加權(quán)系數(shù)的具體形式為：

(2)

式中i、e分別為虛數(shù)單位和自然對數(shù)的底，π為圓周率.x(n)和x(-n)分別為時域分量和時域反轉(zhuǎn)分量，X(n)和X(-n)分別為頻域分量和頻域反轉(zhuǎn)分量，X(n)是x(n)經(jīng)歸一化離散傅里葉變換而得，其具體定義形式為

(3)

由上述定義可知，4-WFRFT的加權(quán)系數(shù)完全由參數(shù)α決定，這種強(qiáng)約束關(guān)系制約了信號設(shè)計的靈活性.

為了提高HC信號設(shè)計的自由度， GWFRFT在保持原有加權(quán)形式不變化的情況下，重新定義加權(quán)系數(shù)，將參數(shù)由單一的參數(shù)α擴(kuò)展為θ0、θ1、θ2和θ34個角度參數(shù).基于4個角度參數(shù)的GWFRFT的正、逆變換的加權(quán)系數(shù)表達(dá)式分別為：

(4)

(5)

當(dāng)參數(shù)θl=πl(wèi)α/2,(l=0,1,2,3)時，GWFRFT回退為4-WFRFT，而當(dāng)θl取其他值時，基于GWFRFT的廣義混合載波(Generalized Hybrid Carrier，GHC)系統(tǒng)可以獲得經(jīng)典HC系統(tǒng)無法實(shí)現(xiàn)的信號形式.

2 基于GWFRFT的兩分量組合信號設(shè)計方案

2.1 兩分量組合信號可行性分析及系統(tǒng)模型

為了不改變載波體制，4個分量中應(yīng)只保留兩項(xiàng)時域分量或兩項(xiàng)頻域分量.在4-WFRFT框架下，對于只保留兩個時域分量的情況，式(2)中兩個頻域分量的加權(quán)系數(shù)應(yīng)為0，即：

(6)

對方程組中兩式相加可得eiπα=1.在變換階數(shù)的主值區(qū)間α∈[0,4)內(nèi)，式(6)的解為α=0和α=2.

當(dāng)α=0時，4-WFRFT中兩個時域分量的加權(quán)系數(shù)為：

(7)

當(dāng)α=2時，4-WFRFT中兩個時域分量的加權(quán)系數(shù)為：

(8)

此時系統(tǒng)回退為只包含一個時域分量的SC體制.同理，對于只保留兩個頻域分量的情況，兩個時域分量的加權(quán)系數(shù)為0，應(yīng)滿足：

(9)

式(9)的解依然為α=0和α=2.此時系統(tǒng)回退為只包含一個頻域分量的傳統(tǒng)MC體制.可見，經(jīng)典HC系統(tǒng)無法實(shí)現(xiàn)兩個分量組合的信號形式.

(10)

此時，角度參數(shù)的關(guān)系需滿足：

(11)

由于角度參數(shù)θl以2π為周期，當(dāng)θl∈[0,2π)時，式(10)的解為：

(12)

將式(12)代入式(4)和(5)，則兩項(xiàng)時域的正、逆變換的加權(quán)系數(shù)為：

(13)

(14)

此時，角度參數(shù)的關(guān)系需滿足：

(15)

則式(14)的解為：

(16)

對應(yīng)的正、逆變換加權(quán)系數(shù)分別為：

(17)

可見，GHC系統(tǒng)可以在不改變載波體制的情況下，實(shí)現(xiàn)兩分量組合信號結(jié)構(gòu).

圖1分別給出時域兩分量組合信號和頻域兩分量組合信號中兩個分量信號所對應(yīng)的加權(quán)系數(shù)模值隨θ0-θ1的變化情況.

可見隨著θ0-θ1的變化兩個加權(quán)參數(shù)的模值在0～1之間連續(xù)變化，這說明GHC系統(tǒng)不僅可以實(shí)現(xiàn)兩分量信號形式，還可以實(shí)現(xiàn)分量功率的任意比例能量分配.

圖1 兩分量組合信號加權(quán)系數(shù)模值隨θ0-θ1的變化規(guī)律

圖2 兩分量組合信號系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)框圖

Fig.2 Implementation diagram of double-component combination signal system

2.2 兩分量組合信號抗衰落機(jī)理分析及功率分配方法

在經(jīng)典HC系統(tǒng)中，時頻能量的功率比例直接影響系統(tǒng)的誤碼性能[12].在兩分量組合信號中，如何對兩分量的功率進(jìn)行分配同樣是一個需要研究的問題.

以時間選擇性衰落信道為例，圖3給出時域深衰落對SC信號和時域兩分量組合信號影響的示意圖.

圖3 時域深衰落對SC和GHC時域兩分量組合信號的影響

假設(shè)傳統(tǒng)SC信號的第i比特位置受深衰落影響，則該比特的信噪比顯著降低，從而造成接收機(jī)錯判.對信號進(jìn)行基于GWFRFT的時域兩分量設(shè)計后，原來第i比特的能量分散到第一個分量的第i比特和第二個分量的第N-i-1比特處；對于相同位置的深衰，接收端經(jīng)廣義加權(quán)逆變換后，未受深衰落的另一個分量會對深衰落比特進(jìn)行能量補(bǔ)償.如果這種補(bǔ)償?shù)哪芰孔銐蚨?，使得該比特處的信噪比仍然保持在接收機(jī)靈敏度范圍以上，則能被接收機(jī)正確解調(diào).顯然，這種補(bǔ)償特性效果的好壞與兩個分量的功率分配直接相關(guān).若兩個分量的功率分配明顯不均，則大功率分量遭遇深衰落時，小功率分量的補(bǔ)償效果有限；而當(dāng)兩分量等功率時，可得到最好的補(bǔ)償效果.由于時域與頻域之間具有對偶性質(zhì)，在頻率選擇性衰落信道中，對于只包含頻域分量與頻域反轉(zhuǎn)分量的頻域兩分量組合信號，也應(yīng)當(dāng)在兩分量等功率分配時獲得最優(yōu)的誤碼性能.

除了從兩分量相互補(bǔ)償?shù)慕嵌壤斫庵?，兩分量組合信號抗衰落機(jī)理還可以從分集增益的角度進(jìn)行解釋.仍然以兩時域組合信號為例，由于兩時域分量組合信號的特殊形式，每一個符號的能量被分散到兩個不同的時隙進(jìn)行傳輸.而兩個時隙同時出現(xiàn)深衰落的概率要比單一時隙出現(xiàn)深衰落的概率小得多，因而兩時域分量組合信號中符號遭遇深衰落的概率也遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于傳統(tǒng)SC信號，從而可以獲得一定的分集增益.而從圖3給出的結(jié)構(gòu)可以看出，變換前后碼塊的長度也不發(fā)生改變.可見，本文所提的兩分量組合信號只是以一定的復(fù)雜度為代價換取分集增益，而并沒有占用額外的時間和頻率資源.

2.3 半碼塊反轉(zhuǎn)優(yōu)化設(shè)計

從補(bǔ)償特性的角度和分集增益的角度均可以很好地解釋兩分量組合信號取得性能優(yōu)勢的機(jī)理.但無論從哪種角度理解，取得這種性能優(yōu)勢的大前提都是同一符號在兩分量中經(jīng)歷的衰落具有獨(dú)立性.從補(bǔ)償特性角度上看，如果同一符號在兩分量中經(jīng)歷的衰落完全相同，則逆變換后的符號能量與SC系統(tǒng)完全一致，并不會體現(xiàn)出補(bǔ)償特性的優(yōu)勢.而從分集增益角度看，完全相同的衰落也并不會帶來分集增益.因而，為了盡可能地挖掘兩分量組合信號的性能優(yōu)勢，應(yīng)當(dāng)盡量增大兩分量中相同符號衰落的獨(dú)立性.

在時間選擇性衰落信道中，同一符號在不同分量中所經(jīng)歷衰落的獨(dú)立性由其在兩分量中所處位置的時間間隔與信道相干時間之間的關(guān)系決定.當(dāng)時間間隔大于相干時間時，二者衰落相互獨(dú)立，反之則不獨(dú)立.類似地，在頻率選擇性衰落信道中，同一符號在不同分量中所經(jīng)歷衰落的獨(dú)立性由其在兩分量中對應(yīng)頻點(diǎn)的頻率差與信道相干帶寬之間的關(guān)系決定.當(dāng)頻率差大于相干帶寬時，二者衰落相互獨(dú)立，反之則不獨(dú)立.

而根據(jù)兩個分量組合信號的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，處在碼塊不同位置的符號，在經(jīng)過兩分量組合變換后，其兩部分對應(yīng)的時間/頻率間隔的大小存在很大的差異.以一個碼塊長度為8的時域兩分量信號為例，其信號的比特位置關(guān)系如圖4(a)所示.對于位于碼塊兩端的符號x0和x7而言，其在時域分量和時域反轉(zhuǎn)分量中所在位置的時間間隔為7個時隙，而對于位于碼塊中間的符號x3和x4而言，其在時域分量和時域反轉(zhuǎn)分量中所在位置的時間間隔僅僅為1個時隙.如果信道相干時間為4個符號周期，此時碼塊邊緣的符號x0,x1,x6,x7由于在兩個分量中經(jīng)歷的衰落相互獨(dú)立，因而可以獲得有效的分集增益，而位于碼塊中間4個符號，由于在兩個分量中經(jīng)歷的衰落具有相關(guān)性，無法獲得完全的分集增益效果.

為了使得碼塊中間位置的符號也能獲得完全的分集增益，可以對時域兩分量信號的后一半碼塊進(jìn)行反轉(zhuǎn)，得到帶有半碼塊反轉(zhuǎn)過程的時域兩分量組合信號，其信號比特間的位置關(guān)系如圖4(b)所示.仍然假設(shè)相鄰的4個符號經(jīng)歷的衰落具有相關(guān)性，經(jīng)過半碼塊反轉(zhuǎn)的兩分量組合信號中，每一個符號在時域分量和時域反轉(zhuǎn)分量中的位置間隔均為半個碼塊的長度，大于相干時間.此時碼塊中的所有符號均可以獲得分集增益.在實(shí)際系統(tǒng)中，只需設(shè)置適當(dāng)?shù)拇a塊長度，使碼塊長度的一半大于相干時間，即可利用半碼塊反轉(zhuǎn)方案進(jìn)一步提升系統(tǒng)抗衰落性能.而在接收端只要對接收到的信號再進(jìn)行一次半碼塊反轉(zhuǎn)，然后進(jìn)行廣義加權(quán)傅里葉逆變換即可.

圖4 時域兩分量組合信號半碼塊反轉(zhuǎn)前后的比特位置關(guān)系示意

2.4 兩分量組合信號及半碼塊反轉(zhuǎn)優(yōu)化方案的實(shí)現(xiàn)過程

(18)

根據(jù)式(18)，解得θ1-θ0=±π/2，對應(yīng)的加權(quán)系數(shù)為：

(19)

與之相對應(yīng)的兩時域分量組合信號的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(20)

同理，對于頻域兩分量組合信號，中間參量應(yīng)滿足θ1-θ0=±π，此時的頻域分量與頻域反轉(zhuǎn)分量的加權(quán)系數(shù)的表達(dá)式為：

(21)

與之相對應(yīng)的兩頻域分量組合信號的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(22)

圖5 ReGHCT信號生成框圖

類似地，對于GHCF系統(tǒng)，半碼塊反轉(zhuǎn)方案同樣可以提高同一符號在不同頻域分量內(nèi)所經(jīng)歷衰落的獨(dú)立性.從機(jī)理上講，對于頻域信號的半碼塊反轉(zhuǎn)，應(yīng)當(dāng)是對映射到后一半子載波上的符號順序進(jìn)行反轉(zhuǎn).而對于GHCF信號，其IFFT變換之前的信號恰好對應(yīng)映射到每個子載波上的符號，因而可以直接在子載波映射之前完成半碼塊反轉(zhuǎn)操作.帶有半碼塊反轉(zhuǎn)優(yōu)化的GHCF系統(tǒng)稱為帶有半碼塊反轉(zhuǎn)的頻域廣義混合載波(ReGHCF)系統(tǒng)，ReGHCF信號生成過程如圖6所示.

圖6 反轉(zhuǎn)頻域兩分量組合信號生成框圖

2.5 兩分量GHC系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度分析

由圖5、6給出的信號生成框圖可以看出，ReGHCT信號和ReGHCF信號的實(shí)現(xiàn)過程主要是由反轉(zhuǎn)模塊、半碼塊反轉(zhuǎn)模塊、加法器、復(fù)數(shù)乘法器模塊和快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform, FFT)模塊組成.因而，這兩種信號實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜度由各個模塊的實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度之和決定.

在實(shí)際系統(tǒng)中，通常采用復(fù)數(shù)乘法的次數(shù)來度量實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度.對于反轉(zhuǎn)模塊和半碼塊反轉(zhuǎn)模塊而言，在硬件實(shí)現(xiàn)過程中只需要對寄存器倒序?qū)ぶ坊驅(qū)蟀氪a塊倒序?qū)ぶ?，即可?shí)現(xiàn)反轉(zhuǎn)，并不需要復(fù)數(shù)乘法計算，因而該模塊的復(fù)雜度可以忽略.而相對于乘法過程，加法器的復(fù)雜度也常被忽略.對于FFT 模塊，其實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜度為O(NlogN).對于復(fù)數(shù)乘法器模塊，顯然每一次運(yùn)算產(chǎn)生的復(fù)雜度為1.那么，反轉(zhuǎn)兩分量GHC信號實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜度實(shí)際上是由FFT模塊和復(fù)數(shù)乘法器模塊的復(fù)雜度之和決定.

基于上述分析，ReGHCT信號和ReGHCF信號的實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度，如表1所示.可以看出，ReGHCT信號和ReGHCF信號的實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度分別為O(2N)和O(NlogN+2N).也就是說，GHCT和GHCF與傳統(tǒng)的SC系統(tǒng)和MC系統(tǒng)的復(fù)雜度相比均在同一數(shù)量級.

表1 ReGHCT和ReGHCF信號實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度

3 仿真分析

3.1 GHC信號頻譜特性分析

由于信號的頻譜與信號的時域波形之間具有傅里葉變換關(guān)系，因而想要研究GHC信號頻譜特性首先要對其時域波形進(jìn)行研究.

圖7給出傳統(tǒng)QPSK信號和經(jīng)過GWFRFT變換的QPSK信號(GWFRFT-QPSK)的同相分量及正交分量時域波形對比.其中GWFRFT-QPSK的4個角度參數(shù)為θ0=0.2π，θ1=0.35π，θ2=0.2π，θ3=0.35π.由圖7可見，無論是同相分量還是正交分量，兩分量GWFRFT-QPSK信號與傳統(tǒng)QPSK信號的碼元寬度相同，唯一區(qū)別在于前者的信號幅度不再是兩種正負(fù)電平的變化，而呈現(xiàn)為多電平變化的波形.

圖7 QPSK信號與GWFRFT-QPSK信號時域波形

圖8為QPSK信號和GWFRFT-QPSK基帶信號的歸一化功率譜.其中碼元長度為1 024，符號速率為1 kHz.由圖8可見，兩種信號的歸一化功率譜包絡(luò)在頻率上的過零點(diǎn)位置和包絡(luò)形狀基本一致；這也表明傳統(tǒng)的QPSK信號經(jīng)過GWFRFT后生成的兩分量組合信號不會展寬系統(tǒng)帶寬，也就是說兩分量組合信號的生成不會占用額外的頻譜資源.

圖8 QPSK信號與GWFRFT-QPSK信號歸一化功率譜

3.2 兩分量組合GHC信號抗衰落性能分析

為了驗(yàn)證所提方案的有效性，本節(jié)對兩分量組合信號的誤碼性能進(jìn)行仿真.仿真中時域選擇性衰落信道采用單徑Jakes 信道模型，采樣間隔Ts=1×10-4s，最大多普勒頻移fd=50 Hz；頻域選擇性衰落信道由3條具有不同時延的單徑Jakes信道組成，三徑信道的多徑時延分別為[0,1,2]Ts，各徑的平均功率服從復(fù)指數(shù)分布，均值為[3.0,5.1,7.3]dB.兩分量組合信號碼塊長度為256 bit，采用QPSK調(diào)制方式和MMSE均衡.圖9、10分別給出時域/頻域選擇性衰落信道下，GHCT/GHCF信號不同分量功率分配方案下的誤碼率比較.

圖9 GHCT系統(tǒng)分量功率分配與誤碼率關(guān)系

在圖10中，頻率分量與頻率反轉(zhuǎn)分量的能量比值仍然從全部賦予頻率分量向均勻分配逐漸變化；比值10/0為信號所有能量均賦給頻率分量，此時系統(tǒng)等價于傳統(tǒng)MC系統(tǒng)，比值5/5為兩頻域分量等功率分配的情況.與時域情況類似，當(dāng)兩頻域分量等功率分配時，系統(tǒng)可以獲得最佳的抗頻域選擇性衰落的性能；在所給信道條件下，當(dāng)誤碼率為4×10-3時，與傳統(tǒng)MC系統(tǒng)相比，等功率分配的頻域GHCF系統(tǒng)可以獲得約1.5 dB的性能提升.

圖10 GHCF系統(tǒng)分量功率分配與誤碼率關(guān)系

可見，與傳統(tǒng)SC系統(tǒng)和MC系統(tǒng)相比，兩分量組合GHC信號(包括GHCT及GHCF信號)方案可以在不占用額外時間和頻譜資源，且不改變載波體制的前提下，以同一數(shù)量級的微小復(fù)雜度提升換取傳統(tǒng)SC系統(tǒng)和MC系統(tǒng)抗衰落性能的有效提升.

圖11驗(yàn)證了半碼塊反轉(zhuǎn)過程對系統(tǒng)性能的提升情況.圖11(a)比較時間選擇性衰落信道下傳統(tǒng)SC系統(tǒng)、GHCT系統(tǒng)以及ReGHCT系統(tǒng)的誤碼率.圖11(b)比較頻率選擇性衰落信道下傳統(tǒng)MC系統(tǒng)、GHCF系統(tǒng)以及ReGHCF系統(tǒng)的誤碼率.可以看出，經(jīng)過半碼塊反轉(zhuǎn)后的兩分量組合GHC信號可以在可以在GHCT/GHCF系統(tǒng)的基礎(chǔ)上獲得額外的性能提升.

圖11 時/頻選擇性衰落信道下3種系統(tǒng)的誤碼率比較

Fig.11 BER comparison among the three systems in time/frequency selective fading channel

4 結(jié)論

1)結(jié)合GHC系統(tǒng)生成信號的高靈活性，提出一種基于GWFRFT的兩分量組合抗衰落技術(shù)，在不改變載波體制的情況下，提升傳統(tǒng)SC和MC系統(tǒng)的抗衰落能力.

2)在兩分量組合GHC信號形式下，對兩個分量的功率分配比例進(jìn)行優(yōu)化，得出當(dāng)兩分量等功率分配時，系統(tǒng)抗衰落性能最佳的結(jié)論，同時給出兩分量組合GHC信號生成方法.

3)在分量等功率分配的基礎(chǔ)上提出半碼塊反轉(zhuǎn)優(yōu)化方案，該方案可以使得碼塊中間部分符號在兩分量中經(jīng)歷的衰落更加獨(dú)立，從而進(jìn)一步提升兩分量組合信號的抗衰落性能.

4)仿真表明：在時間和頻率選擇性衰落信道下，相比于傳統(tǒng)SC或MC信號，兩分量組合GHC信號可以在不占用額外時間和頻譜資源的前提下，以很小的復(fù)雜度為代價換取系統(tǒng)抗衰落性能的有效提升.而基于分量功率分配和半碼塊反轉(zhuǎn)的優(yōu)化可以使得這種性能提升的效果更加顯著.

綜上所述，本文在時間選擇性衰落信道或頻率選擇性衰落信道下對兩分量組合GHC信號進(jìn)行設(shè)計，并驗(yàn)證了該信號比傳統(tǒng)SC和MC信號具有更好的抗衰落性能；然而，在更為復(fù)雜的信道場景下，基于GWFRFT理論的信號結(jié)構(gòu)設(shè)計方法和時頻分量能量分配準(zhǔn)則也具有潛在的性能優(yōu)勢，這部分內(nèi)容將作為接下來的研究方向.