積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的“四化”路徑*

熊露 趙思林

摘? ?要? ?數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是經(jīng)驗的累積、激活、改造和創(chuàng)生的過程。在數(shù)學(xué)新知課教學(xué)中，按照“情境—問題—知識—應(yīng)用—經(jīng)驗”這一路徑，可以實現(xiàn)“四化”：情境—問題化，問題—知識化，知識—應(yīng)用化，應(yīng)用—經(jīng)驗化。這個“四化”路徑可用于新知課教學(xué)過程中積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

關(guān)鍵詞? ?數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗? 積累? “四化”路徑

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)經(jīng)驗的累積、激活、改造和創(chuàng)生的過程。數(shù)學(xué)經(jīng)驗包括數(shù)學(xué)知識經(jīng)驗、數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗、問題解決的經(jīng)驗、元認知經(jīng)驗等。數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗作為“四基”之一，是修煉數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的必要基礎(chǔ)。因此，研究如何積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是有益的。本文擬探討在一些數(shù)學(xué)新知課（新授課）的教學(xué)中，如何通過“四化”路徑實現(xiàn)數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累。

一、積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的意義及研究現(xiàn)狀

1.數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的含義

數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是指個體在數(shù)學(xué)活動中經(jīng)過心智操作和心力操作過程后儲存于長時記憶系統(tǒng)中具有意義和價值的數(shù)學(xué)信息[1]。這個界定表明，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的獲得需要“三步曲”：第一步，心智和心力協(xié)同工作，特別應(yīng)調(diào)動心力的參與;第二步，理解數(shù)學(xué)，即建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的意義，認識數(shù)學(xué)知識的價值;第三步，應(yīng)注意在理解的基礎(chǔ)上記憶數(shù)學(xué)知識。

2.積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的教學(xué)意義

從教學(xué)目標來看，新修訂的兩個數(shù)學(xué)課標，即《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》[2]和《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）》[3]，均把積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗作為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容和基本目標。落實中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)目標的任務(wù)之一，就是在數(shù)學(xué)教學(xué)特別是新知課教學(xué)中幫助學(xué)生積累豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，特別是數(shù)學(xué)思維的經(jīng)驗。

數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“養(yǎng)成”或“生長”的“土壤”。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是新舊經(jīng)驗反復(fù)的、雙向的相互調(diào)整和累積，最終內(nèi)化并增值成數(shù)學(xué)素養(yǎng)的過程[4]。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)最終落實到數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗上[5]。數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗對學(xué)生生成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)無疑是不可或缺的。有一些數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗就是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，如解決問題時所獲得的策略性知識就是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。因此，比較狹義地講，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗就是在修煉數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是很必要的。“學(xué)習(xí)的心理機制是同化和順應(yīng)?！蓖瘜W(xué)習(xí)相對于順應(yīng)學(xué)習(xí)，它是“最經(jīng)濟”的學(xué)習(xí)方式，這里的“最經(jīng)濟”是指花費的學(xué)習(xí)成本最低但效率較高，也就是說，同化學(xué)習(xí)最節(jié)省時間、最容易發(fā)生、效率比較高。數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是數(shù)學(xué)同化學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。沒有經(jīng)驗，同化學(xué)習(xí)就難以發(fā)生甚至不能發(fā)生。因此，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗不論是新知識的學(xué)習(xí)還是新經(jīng)驗的借鑒，都具有決定性的意義。

數(shù)學(xué)教學(xué)的最高價值是數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的創(chuàng)新。由于直覺是創(chuàng)新的基礎(chǔ)，而經(jīng)驗是產(chǎn)生直覺的前提，因此，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗涵育數(shù)學(xué)的創(chuàng)新。由此得到一條重要的創(chuàng)新之路，即經(jīng)驗→直覺→創(chuàng)新。但應(yīng)注意，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是數(shù)學(xué)創(chuàng)新的必要條件而非充分條件。

3.積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗教學(xué)的研究現(xiàn)狀

近年來，一些教師對積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的教學(xué)作了不少研究。如，有人提出了數(shù)學(xué)活動動機激發(fā)策略，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的生成策略、系統(tǒng)化實現(xiàn)策略、層次轉(zhuǎn)化策略、拓展策略、優(yōu)化策略等[6]。也有人提出，在數(shù)學(xué)化的過程、問題解決的過程和反思的過程中積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗[7]。還有人認為，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是在做數(shù)學(xué)的過程形成的[8]。筆者認為，獲取數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的方法是心智操作和心力操作，獲得經(jīng)驗的標志是認識數(shù)學(xué)信息所具有的意義和價值，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的產(chǎn)品是數(shù)學(xué)信息（含多種成分），經(jīng)驗的落腳點是長時記憶系統(tǒng)[1]。數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗形成的標志有三個：一是理解數(shù)學(xué)，即理解數(shù)學(xué)知識的意義和價值;二是會用數(shù)學(xué)解決問題（包括數(shù)學(xué)本身之外的問題）;三是對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)、思考、應(yīng)用和發(fā)現(xiàn)（創(chuàng)造）產(chǎn)生了成功體驗。這些認識（含教學(xué)策略）對積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是有啟發(fā)性的。這些認識（含教學(xué)策略）的理論雖好，但并沒有直接說明在一堂新知課中如何使用理論，如何讓數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗在課堂上落地生根。因此，有必要探究在新知課中如何讓學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

二、積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗“四化”路徑的理論依據(jù)

在數(shù)學(xué)新知課（新授課）教學(xué)中，按照“情境—問題—知識—應(yīng)用—經(jīng)驗”這一路徑，可以實現(xiàn)“四化”，即情境—問題化，問題—知識化，知識—應(yīng)用化，應(yīng)用—經(jīng)驗化。顯而易見，情境是數(shù)學(xué)教學(xué)的邏輯起點，情境是產(chǎn)生（發(fā)現(xiàn)）問題、提煉知識、遷移應(yīng)用、積累經(jīng)驗的共同基礎(chǔ)?！皢栴}”“知識”“應(yīng)用”是以情境起點通向經(jīng)驗的三座橋梁，離開“問題”“知識”“應(yīng)用”，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是很困難的。

1. 情境—問題化

情境認知理論把“情境”看成是學(xué)習(xí)的核心要素。該理論重視認知與情意的整合、個體與情境的整合、外部驅(qū)力與主觀能動性的整合[9]。情境教學(xué)是指運用具體活動的場景或提供學(xué)習(xí)資源以激起學(xué)習(xí)者主動學(xué)習(xí)的動機（興趣）、提高學(xué)習(xí)效率的一種教學(xué)方法[10]。

問題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要載體。問題解決是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心目標。數(shù)學(xué)問題源于主體意識，主體意識源于問題情境，問題情境源于真實情境，因此，真實情境中教學(xué)主客體的互動性能由此充分演繹出來。

情境與問題好比是水與魚的關(guān)系，情境像水，問題像魚。情境生成問題，問題是情境的內(nèi)核。從情境到問題，即情境—問題化，是發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的重要機遇，是積累發(fā)現(xiàn)問題經(jīng)驗和提出問題經(jīng)驗的重要途徑?！扒榫场獑栴}化”教學(xué)是指教師從具有新穎性、現(xiàn)實性、趣味性等特點的情境出發(fā)，通過引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷思考、探究、發(fā)現(xiàn)等環(huán)節(jié)，來獲得數(shù)學(xué)的基本知識、基本思想、基本技能以及發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的經(jīng)驗的過程。“情境—問題化”教學(xué)符合奧蘇伯爾的“有意義學(xué)習(xí)”理論。

2.問題—知識化

知識的教學(xué)應(yīng)提倡大力采用布魯納的發(fā)現(xiàn)教學(xué)法、弗賴登塔爾的再“創(chuàng)造”教學(xué)法、問題驅(qū)動教學(xué)法。在教學(xué)活動中，盡力讓學(xué)生從問題中抽象知識、發(fā)現(xiàn)知識、提煉知識，在內(nèi)化中理解知識，在應(yīng)用中遷移知識，在拓展中發(fā)現(xiàn)知識。在知識的學(xué)習(xí)過程中感悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

問題是知識的心臟，知識是問題的內(nèi)核。從問題到知識，即問題—知識化，是分析問題、探究問題、發(fā)現(xiàn)知識、提煉知識的核心過程。從教師的角度看，“學(xué)會向知識提問”是教師的基本任務(wù);從學(xué)生的角度看，“學(xué)會從問題中發(fā)現(xiàn)和提煉知識”是學(xué)生生成核心素養(yǎng)的主要途徑。“問題—知識化”教學(xué)是教師引導(dǎo)學(xué)生分析問題、探究問題和解決問題的過程。該過程有利于學(xué)生積累分析問題、解決問題的經(jīng)驗。如果把一個個問題看成知識的先行組織者，那么“問題—知識化”教學(xué)符合奧蘇伯爾的“先行組織者”教學(xué)理論。

3.知識—應(yīng)用化

應(yīng)用是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要環(huán)節(jié)和基本目的。不論是知識的理解、知識的遷移、知識的檢驗、知識的創(chuàng)新等都離不開應(yīng)用。數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用過程其本質(zhì)是問題解決的過程。問題解決是數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)的根本任務(wù)。適量的應(yīng)用是必不可少的，但過度地強調(diào)應(yīng)用可能導(dǎo)致機械訓(xùn)練或“題海戰(zhàn)術(shù)”，這對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是不利的。

“知識與應(yīng)用”與“工具與方法”的關(guān)系類似，知識對應(yīng)于工具，而應(yīng)用對應(yīng)于方法。從知識到應(yīng)用即知識—應(yīng)用化，是知識遷移、檢驗知識的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。知識的應(yīng)用是體現(xiàn)“問題解決”教學(xué)理念的必要環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)問題解決的實質(zhì)是“做”數(shù)學(xué)。所謂“做”數(shù)學(xué)是指數(shù)學(xué)知識和思想所包含的概念（定義）、命題（公式）、法則的綜合應(yīng)用?！皯?yīng)用”數(shù)學(xué)體現(xiàn)了“做”數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)理念，“做”是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的核心理念和主要方法。“知識—應(yīng)用化”教學(xué)符合知識遷移教學(xué)理論。

4.應(yīng)用—經(jīng)驗化

建構(gòu)主義認為，學(xué)習(xí)是在已有經(jīng)驗基礎(chǔ)上建構(gòu)知識的意義的過程。知識的意義是指知識自身的屬性與規(guī)律，以及該知識與其他知識之間的內(nèi)在聯(lián)系。意義建構(gòu)就在于將外在的事物屬性、法則與規(guī)律，以及事物之間的內(nèi)在聯(lián)系在大腦中形成內(nèi)在的“圖式”，也就是認知經(jīng)驗。經(jīng)驗既是意義建構(gòu)的結(jié)果，同時又是意義建構(gòu)的必要前提[11]。知識經(jīng)驗的獲取源于問題解決[12]。應(yīng)用意識的生成是知識經(jīng)驗形成的標志[12]。數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)的最終目標是數(shù)學(xué)知識的經(jīng)驗化，數(shù)學(xué)經(jīng)驗的素養(yǎng)化。學(xué)習(xí)者自我反思的過程是梳理知識系統(tǒng)的過程，正如美國心理學(xué)家波斯納所言：“沒有反思的經(jīng)驗是狹隘的經(jīng)驗，最多只能是膚淺的知識?！盵13]由此可見，反思對經(jīng)驗的獲得與積累是至關(guān)重要的。反思應(yīng)融入“情境—問題—知識—應(yīng)用—經(jīng)驗”的各個環(huán)節(jié)之中。

從應(yīng)用到經(jīng)驗，即應(yīng)用—經(jīng)驗化，是積累分析問題、解決問題經(jīng)驗的必要環(huán)節(jié)?！皯?yīng)用—經(jīng)驗化”學(xué)習(xí)體現(xiàn)了“為應(yīng)用而學(xué)”“為經(jīng)驗而學(xué)”的學(xué)習(xí)理念。

三、教學(xué)建議

數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中日積月累的結(jié)果。每一節(jié)數(shù)學(xué)課特別是新知課應(yīng)看成是積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的重要時機。錯失利用大量新知課來積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累只能落空。關(guān)于“知識”、“應(yīng)用”的教學(xué)，已有許多理論和實踐成果可以借鑒，本文不擬探討。下面重點對“情境”、“問題”、“經(jīng)驗”的教學(xué)作一些探討。

積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的“四化”路徑表明，“情境”是數(shù)學(xué)教學(xué)的邏輯起點?；谇榫车慕虒W(xué)（學(xué)習(xí)）有如下價值[11]：一是能以真實問題誘發(fā)學(xué)習(xí)（教學(xué)）目標;二是提供發(fā)現(xiàn)問題的載體，為建構(gòu)知識做準備;三是激發(fā)學(xué)習(xí)者的內(nèi)部動機;四是通過解決現(xiàn)實問題來強化成功體驗，讓學(xué)習(xí)者產(chǎn)生成功體驗。從數(shù)學(xué)教學(xué)來看，一個好的情境至少有三大功能：第一，情境是（數(shù)學(xué)）問題之源;第二，情境可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動機和興趣;第三，以新穎情境為載體可以檢測學(xué)生是否能遷移數(shù)學(xué)知識解決問題。情境的創(chuàng)設(shè)要從學(xué)生的內(nèi)在需求出發(fā)，真實、貼近生活、內(nèi)含典型問題、富有思維的啟發(fā)性。學(xué)生通過情境，可以激發(fā)學(xué)習(xí)動機、激活已有經(jīng)驗。

教學(xué)實踐表明，問題驅(qū)動教學(xué)法是激活學(xué)生學(xué)習(xí)動機、數(shù)學(xué)思維、知識經(jīng)驗的有效方法。從“情境”中發(fā)現(xiàn)問題并提出問題之后，宜采用問題驅(qū)動教學(xué)法。為了啟發(fā)學(xué)生的思維和充分接近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，一般把數(shù)學(xué)知識分解為一個個難度適中的問題，通過這一個個難度適中問題的解決，獲得新的數(shù)學(xué)知識，這種教學(xué)方法就是所謂的問題驅(qū)動教學(xué)法。問題驅(qū)動教學(xué)法的關(guān)鍵是把數(shù)學(xué)知識設(shè)計成一個個難度適中的問題，這些問題好比是給學(xué)生搭建的認識或發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的一個個臺階（梯子），其實質(zhì)是幫助學(xué)生建立一個個最近發(fā)展區(qū)，其目的是學(xué)生在認識或發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的過程中數(shù)學(xué)思維水平逐漸得到提升。

經(jīng)驗的積累應(yīng)落實在“情境—問題—知識—應(yīng)用—經(jīng)驗”的每一個環(huán)節(jié)中。如，在“情境”環(huán)節(jié)，除激發(fā)學(xué)習(xí)動機和學(xué)習(xí)興趣之外，還應(yīng)重視積累從“情境”中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的經(jīng)驗;在“問題”環(huán)節(jié)，應(yīng)注意積累分析問題、探究問題和解決問題的經(jīng)驗，也應(yīng)注意積累從“問題”中發(fā)現(xiàn)知識、提煉知識、感悟數(shù)學(xué)思想的經(jīng)驗;在“知識”環(huán)節(jié)，應(yīng)注意積累理解知識、內(nèi)化知識、拓展知識、發(fā)現(xiàn)知識的經(jīng)驗;在“應(yīng)用”環(huán)節(jié)，應(yīng)注意積累知識的遷移、數(shù)學(xué)方法的習(xí)成等經(jīng)驗;在“經(jīng)驗”環(huán)節(jié)，應(yīng)注意積累對舊“經(jīng)驗”的激活、反思、創(chuàng)生的經(jīng)驗，就是由舊經(jīng)驗生成新經(jīng)驗。

需要注意的是，本文介紹的積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的“四化”路徑，主要適合于一些新知課，并不適合于所有課型（包括部分新知課）。有些新知課也可能不需要“四化”，可能“三化”或“二化”就行了，應(yīng)根據(jù)課程內(nèi)容的難度、時間的松緊、學(xué)生的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)等情況進行綜合考慮。

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[作者：熊露（1997-），女，四川遂寧人，內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，碩士生;趙思林（1962-），男，四川巴中人，內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院教授，碩士，碩士生導(dǎo)師，通訊作者。]【責任編輯? 劉永慶】