小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)背景選擇的標(biāo)準(zhǔn)與反思*

吉智深

摘? ? 要?? ?小學(xué)數(shù)學(xué)教材都會(huì)給出數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)或者幾個(gè)背景。教師在課堂教學(xué)中呈現(xiàn)這些背景，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探索，從而讓學(xué)生獲取隱藏在背景后的新知識(shí)。選擇數(shù)學(xué)知識(shí)背景時(shí)必須考慮兩個(gè)問(wèn)題：一是數(shù)學(xué)知識(shí)背景選擇的標(biāo)準(zhǔn)，這是選擇前考慮的問(wèn)題;二是數(shù)學(xué)知識(shí)背景選擇的反思，這是背景選擇后反思的問(wèn)題，兩者都要引起教師的重視與研究。

關(guān)鍵詞? ?數(shù)學(xué)知識(shí) 數(shù)學(xué)本質(zhì) 背景選擇

近年來(lái)的小學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究，把主要精力放在教學(xué)方法的改進(jìn)上，卻很少關(guān)注并系統(tǒng)研究數(shù)學(xué)知識(shí)背景的選擇問(wèn)題。事實(shí)上，數(shù)學(xué)知識(shí)背景選擇是非常重要的，教師一定要選擇那些能夠揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)的背景，這是總的要求和目標(biāo)。那么，數(shù)學(xué)知識(shí)背景選擇有哪些具體標(biāo)準(zhǔn)呢？多種版本數(shù)學(xué)教材的并存使教師面對(duì)同一數(shù)學(xué)知識(shí)背景有了多種選擇。同時(shí)，必須研究與反思數(shù)學(xué)知識(shí)背景的實(shí)際效果，這兩個(gè)問(wèn)題值得廣大教師認(rèn)真研究與反思。

一、選擇數(shù)學(xué)知識(shí)背景的標(biāo)準(zhǔn)

數(shù)學(xué)知識(shí)背景的選擇標(biāo)準(zhǔn)首先要從數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征出發(fā)，其次要考慮學(xué)生的認(rèn)知水平與接受能力，最后還要把數(shù)學(xué)作為一種人類活動(dòng)這一側(cè)面展示出來(lái)。

1.現(xiàn)實(shí)性

數(shù)學(xué)知識(shí)源于現(xiàn)實(shí)生活，并且在日常生活和社會(huì)生活中有著廣泛的運(yùn)用，所以數(shù)學(xué)知識(shí)背景必然離不開現(xiàn)實(shí)世界。除法的知識(shí)背景是分物，例如把一些物體平均分給一群人;乘法計(jì)數(shù)原理的背景是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算，例如如果A、B之間有3條道路可走，B、C之間有4條道路可走，那么從A經(jīng)B到C共有多少不同的走法？數(shù)學(xué)知識(shí)離不開與其相關(guān)的生活實(shí)踐，當(dāng)數(shù)學(xué)知識(shí)離開了現(xiàn)實(shí)生活，學(xué)生離討厭數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也就不遠(yuǎn)了，所以說(shuō)數(shù)學(xué)知識(shí)背景的現(xiàn)實(shí)性顯得尤其重要。

2.有效性

進(jìn)行數(shù)學(xué)化的數(shù)學(xué)知識(shí)背景應(yīng)具有有效性。學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主體，所選擇的數(shù)學(xué)知識(shí)背景要符合學(xué)生的認(rèn)知水平與接受能力。有些數(shù)學(xué)知識(shí)背景雖然存在于我們的現(xiàn)實(shí)世界中，但對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，這些數(shù)學(xué)知識(shí)背景并不在他們的兒童世界里，不能用成人的眼光來(lái)考慮這些數(shù)學(xué)知識(shí)背景。例如以銀行利率為背景來(lái)說(shuō)明百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用，這樣的數(shù)學(xué)知識(shí)背景對(duì)從未親身存過(guò)錢，甚至沒有關(guān)注過(guò)銀行的小學(xué)生來(lái)說(shuō)，可能就不是一個(gè)有效的背景。所以，在選擇數(shù)學(xué)知識(shí)背景時(shí)，教師必須考慮到小學(xué)生的認(rèn)知水平和接受能力，選擇那些對(duì)小學(xué)生而言是有效的背景。

3.明確性

數(shù)學(xué)知識(shí)背景的目標(biāo)要明確，每一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)背景對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)都有明確的指引，學(xué)生借助知識(shí)背景能準(zhǔn)確地理解與揭示其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)。如平行線的兩種定義，一種從“不相交”的背景出發(fā)，定義為“在同一平面，兩條不相交的直線叫平行線”;另一種從“可畫，可證”的背景出發(fā)，定義為“兩直線若同時(shí)垂直于第三條直線，則這兩條直線互相平行”。從學(xué)生的接受能力來(lái)看，第一種定義很顯然沒有第二種定義明確。再比如，算法所給的知識(shí)背景要對(duì)學(xué)生理解算理有幫助，如果沒有任何幫助，即使學(xué)生會(huì)計(jì)算而不能理解算理，這樣的知識(shí)背景也毫無(wú)價(jià)值。

4.豐富性

同一數(shù)學(xué)知識(shí)可能有許多知識(shí)背景，如果只用一個(gè)知識(shí)背景可能無(wú)法體現(xiàn)知識(shí)的本質(zhì)。如認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)，如果僅僅有溫度的零上與零下，海平面以上與海平面以下，這樣的背景可能無(wú)法完全體現(xiàn)負(fù)數(shù)的本質(zhì)。事實(shí)上，收入與支出、增加與減少、贏與輸、溫度的零上與零下、海拔的高與低、方向的向東與向西等都是意義相反的量，也都是負(fù)數(shù)的知識(shí)背景，教材應(yīng)借助這些豐富的背景，通過(guò)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)，讓他們更好地理解負(fù)數(shù)的本質(zhì)。

二、數(shù)學(xué)知識(shí)背景選擇的反思

不同教材的編寫者對(duì)知識(shí)背景的理解不同，呈現(xiàn)的知識(shí)背景也就不同。在使用這些教材的過(guò)程中，我們可以對(duì)照數(shù)學(xué)本質(zhì)從以下幾個(gè)方面反思數(shù)學(xué)知識(shí)背景的選擇問(wèn)題。

1.實(shí)際問(wèn)題不應(yīng)成為數(shù)學(xué)化的唯一來(lái)源

新課程改革以來(lái)，教材在引入某個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)的時(shí)候，一般會(huì)給出一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，在解決問(wèn)題的過(guò)程中體現(xiàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值。廣大小學(xué)數(shù)學(xué)教師在課前也想方設(shè)法設(shè)計(jì)出一個(gè)好的實(shí)際問(wèn)題，從而激發(fā)起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。為什么有人把真實(shí)情境當(dāng)作數(shù)學(xué)化的唯一來(lái)源，這里可能有幾個(gè)誤區(qū)。一是數(shù)學(xué)化就是從生活世界出發(fā)進(jìn)行數(shù)學(xué)化，其實(shí)，數(shù)學(xué)化分為橫向數(shù)學(xué)化與縱向數(shù)學(xué)化，橫向數(shù)學(xué)化就是把生活世界引向符號(hào)世界，縱向數(shù)學(xué)化就是“在符號(hào)世界里，符號(hào)生成、重塑和被使用，而且是機(jī)械地、全面地、互相呼應(yīng)地;這就是縱向數(shù)學(xué)化”[1]。二是實(shí)際問(wèn)題情境更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)在生活中有著廣泛的應(yīng)用，但事實(shí)并非如此。除了前面所講的百分?jǐn)?shù)在生活中的應(yīng)用——“利息”問(wèn)題，對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)并不真實(shí)以外，還有一類例子從另外的角度說(shuō)明看似真實(shí)的問(wèn)題，在日常生活中卻并不是用數(shù)學(xué)化的方法來(lái)解決的。如：AA制聚餐時(shí)，如果每個(gè)人平攤的費(fèi)用不是剛好一樣多時(shí)，解決的方法不是通過(guò)計(jì)算把費(fèi)用精確到幾角、幾分，而是其中某個(gè)人多出一元或幾元就行了。

其實(shí)，關(guān)于數(shù)學(xué)與真實(shí)性之間的關(guān)系，弗賴登塔爾早就有過(guò)精辟的論斷。他在《數(shù)學(xué)教育再探》一書中指出：“真實(shí)性是歷史地、文化地、依賴環(huán)境地、個(gè)別地和主觀地確定的?！彼€舉例說(shuō)明：“不管經(jīng)歷多長(zhǎng)時(shí)間的抵制，……負(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)以及它們的運(yùn)算已經(jīng)成為數(shù)學(xué)家的事實(shí)，……如今它們屬于已經(jīng)學(xué)過(guò)一些數(shù)學(xué)的大多數(shù)人的真實(shí)性?！盵1] 也就是說(shuō)，實(shí)際不等于真實(shí)，只要學(xué)過(guò)的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)就是真實(shí)的，就是學(xué)生學(xué)習(xí)的起點(diǎn)與背景。

2.靜態(tài)背景難以反映知識(shí)的本質(zhì)屬性

教材一般都給出一個(gè)主題圖，包括生活場(chǎng)景、問(wèn)題情境等等，作為數(shù)學(xué)知識(shí)背景。這些背景有一個(gè)共同的特點(diǎn)就是靜態(tài)的，但這些靜態(tài)的知識(shí)背景是否都能反映知識(shí)的本質(zhì)呢？比如：1～5的認(rèn)識(shí)，對(duì)教材編寫，史寧中、王永春等認(rèn)為，不能用不同類的事物來(lái)表示不同的數(shù)，而應(yīng)該用同一種事物動(dòng)態(tài)地演示。獵人打獵，打了5只羊，5只羊排隊(duì)進(jìn)入羊圈，第一只進(jìn)來(lái)了，我們認(rèn)識(shí)1，接著第二只進(jìn)來(lái)了，在1只的基礎(chǔ)上增加了1只，就是2，以此類推。這樣動(dòng)態(tài)的背景可以讓學(xué)生理解自然數(shù)是一個(gè)加一個(gè)大起來(lái)的，也可以讓學(xué)生更好地理解自然數(shù)的基數(shù)、序數(shù)的意義和大小關(guān)系。

對(duì)負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)與理解，張奠宙也強(qiáng)調(diào)用動(dòng)靜結(jié)合的方式理解負(fù)數(shù)的本質(zhì)。他指出：“以某地的氣溫為例，可以有下列幾種情形：靜態(tài)的描述有：今天最高氣溫是18℃，記為+18℃;今天最低氣溫是零下3℃，記為-3℃。動(dòng)態(tài)的描述有：今天最高氣溫比昨天升高5℃，記為+5℃;今天最低氣溫比昨天下降4℃，記為-4℃”、 “靜態(tài)的描述便于引出數(shù)直線。但是，負(fù)數(shù)一旦引入了，理解了，在數(shù)直線上可以標(biāo)記了，那么 ‘收入和支出之類模型的動(dòng)態(tài)描述，則是日后方程教學(xué)的重點(diǎn)?！盵2]

十進(jìn)位值制是小學(xué)數(shù)學(xué)低年級(jí)學(xué)生難于理解的概念之一，這一概念可以借助計(jì)算器來(lái)形成和強(qiáng)化。可以讓學(xué)生觀看計(jì)算器上顯示的數(shù)字，注意看某一位數(shù)出現(xiàn)變化，如果學(xué)生在計(jì)算器上不斷加1，他們就可以看到每次個(gè)位上的數(shù)都在變，而十位數(shù)變得很慢，通過(guò)觀察動(dòng)態(tài)的變化，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)討論并解釋產(chǎn)生這些變化的原因，對(duì)他們更好地使用和理解十進(jìn)位值制這一概念是非常有幫助的。

靜態(tài)的背景如果不能反映知識(shí)的本質(zhì)，那么就用動(dòng)態(tài)的背景或者動(dòng)靜結(jié)合的方式來(lái)體現(xiàn)知識(shí)的本質(zhì)，這樣的例子很多，需要教師在教學(xué)過(guò)程中認(rèn)真挖掘與研究。

3.單一背景不能真正支持?jǐn)?shù)學(xué)的整體性

課程開發(fā)者和教師總想選擇豐富的知識(shí)背景，把它們作為數(shù)學(xué)的起源來(lái)教和學(xué)，但小學(xué)生面對(duì)如此豐富的知識(shí)背景，會(huì)不會(huì)被教得暈頭轉(zhuǎn)向呢？鑒于此，一些數(shù)學(xué)教材有意無(wú)意地選擇知識(shí)的單一背景，讓學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)化，很典型的例子就是除法背景的選擇。張奠宙在《教材編寫要注意防止片面的思維定式》一文中指出：“我國(guó)的除法教學(xué)和教材編寫，都畸形地偏向等分除，而忽視包含除，如果沒有包含除這一除法的背景，學(xué)生可能無(wú)法理解分?jǐn)?shù)除法”[3]。他在文中進(jìn)一步指出，這“會(huì)讓學(xué)生形成片面的思維定式，不利于培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力”[3]。類似的例子還有，教材為了利用直觀來(lái)說(shuō)清楚算理，把點(diǎn)子圖作為背景貫穿于整數(shù)的乘法計(jì)算，這看起來(lái)好像體現(xiàn)了數(shù)的乘法的整體性，但這樣單一的背景卻可能影響學(xué)生對(duì)十進(jìn)位值計(jì)數(shù)法的理解。

鑒于前面的分析，在教學(xué)兩位數(shù)乘以兩位數(shù)時(shí)，教師可以直接提出問(wèn)題：兩位數(shù)乘以兩位數(shù)，怎樣計(jì)算？而不是模式化地先提出一個(gè)實(shí)際問(wèn)題。這樣的引入違背了教學(xué)設(shè)計(jì)的一般程序，但這樣的好處是：讓學(xué)生利用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)去建構(gòu)知識(shí)，即使使用表征來(lái)說(shuō)明算理，也不一定總回到點(diǎn)子圖，而應(yīng)該有更高層次的表征。教學(xué)應(yīng)追求一種理想的境界：讓學(xué)生通過(guò)縱向數(shù)學(xué)化將兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的計(jì)算轉(zhuǎn)化為兩位數(shù)乘以一位數(shù)來(lái)解決，而兩位數(shù)乘以一位數(shù)是轉(zhuǎn)化為表內(nèi)乘法來(lái)解決的，這才是數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)算法的核心思想。

弗賴登塔爾指出：“當(dāng)前已經(jīng)有不少人對(duì)數(shù)學(xué)教育提出了數(shù)學(xué)化的要求，但我擔(dān)心其結(jié)構(gòu)太狹隘，常常把數(shù)學(xué)化理解成最低層次的活動(dòng)……最時(shí)髦的提法就是為了現(xiàn)實(shí)中某個(gè)微小而孤立的片段——所謂‘情境進(jìn)行數(shù)學(xué)化。”[4]由此可見，我們不能因?yàn)檫^(guò)分注重單一的背景，而忽視了數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，應(yīng)該通過(guò)高層次的建構(gòu)來(lái)體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性。

4.特殊背景難以準(zhǔn)確指向一般性的算理

算理一直是計(jì)算教學(xué)研究的重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)。特別是分?jǐn)?shù)除法的算理是難點(diǎn)中的難點(diǎn)。不同版本的數(shù)學(xué)教材給出不同的背景來(lái)說(shuō)明分?jǐn)?shù)除法的算理，但是不是每一個(gè)背景都能準(zhǔn)確地指向一般性的算理呢？

為什么除以一個(gè)分?jǐn)?shù)等于乘以它的倒數(shù)，蘇教版教材中出現(xiàn)了“倒果汁”的背景：量杯里有■升果汁，玻璃杯的容量是■升。量杯里的果汁倒入玻璃杯，能倒?jié)M幾杯？■和■兩個(gè)分?jǐn)?shù)太特殊，■÷■為什么等于3呢？因?yàn)椤鲇?個(gè)■，■有3個(gè)■。其實(shí)這樣的范例是不能準(zhǔn)確地說(shuō)清算理的，最多只能算得上是對(duì)算法正確性的一次驗(yàn)證，對(duì)學(xué)生理解分?jǐn)?shù)除法的算理幫助不大。

相比較而言，人教版數(shù)學(xué)教材所給出的背景：小明■小時(shí)走了2km，小紅■小時(shí)走了■km，誰(shuí)走得快些？人教版所給出的兩個(gè)分?jǐn)?shù)不是同分母的分?jǐn)?shù)，而是同分子的兩個(gè)分?jǐn)?shù)相除：■÷■，從這個(gè)角度看，人教版的背景更能指向算法的一般性，利用前面2÷■算理的遷移，借助線段圖理解了（■×■）×12=■×■的道理。

要讓學(xué)生理解分?jǐn)?shù)除法的算理，是比較困難的，但我們不能因此降低難度，讓所給的背景不具有一般性。恰恰相反，我們要讓學(xué)生意識(shí)到，從背景中獲取知識(shí)要付出艱辛的腦力勞動(dòng)，在此過(guò)程中讓學(xué)生研究算理、理解算理，培養(yǎng)他們敢于堅(jiān)持不懈地解決問(wèn)題的品格。

總之，教材的編寫與教師的課堂教學(xué)要重視數(shù)學(xué)知識(shí)背景的選擇問(wèn)題，只有選擇那些符合標(biāo)準(zhǔn)的知識(shí)背景，并積極開展反思，才能使數(shù)學(xué)知識(shí)背景體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，激發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生從背景中主動(dòng)地建構(gòu)新知識(shí)。

參考文獻(xiàn)

[1] 弗賴登塔爾.數(shù)學(xué)教育再探——在中國(guó)的訪學(xué)[M].劉意竹，楊剛，等，譯.上海：上海教育出版社，1999.

[2] 張奠宙.多多注意數(shù)學(xué)本質(zhì)的揭示——剖析“用溫度計(jì)引入負(fù)數(shù)”的優(yōu)缺點(diǎn)[J].小學(xué)教學(xué)：數(shù)學(xué)，2015.（01）.

[3] 張奠宙.教材編寫要注意防止片面的思維定式——評(píng)小學(xué)數(shù)學(xué)教材中忽視“包含除”的傾向[J].小學(xué)教學(xué)：數(shù)學(xué)，2015（09）.

[4] 弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].陳昌平，唐瑞芬，等，編譯. 上海：上海教育出版社，1995.

[責(zé)任編輯：陳國(guó)慶]