定時截尾情形下幾何分布參數(shù)的估計和檢驗

劉銀萍，秦 青，張雨嫡

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 四平 136000)

0 引言

幾何分布是離散型壽命分布，其應(yīng)用領(lǐng)域非常寬泛，特別是在信息、電子、控制和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中占有極其重要的位置．近年來,關(guān)于各種非完全數(shù)據(jù)的統(tǒng)計推斷問題引起了統(tǒng)計工作者的關(guān)注[1-5].關(guān)于幾何分布的統(tǒng)計推斷問題,無論是完全數(shù)據(jù)還是缺失數(shù)據(jù),一直都吸引著統(tǒng)計工作者對其進(jìn)行研究[6-10].文獻(xiàn)[6]討論了具有未知截斷參數(shù)的幾何分布中參數(shù)的UMVUE估計;文獻(xiàn)[7]討論了幾何分布的參數(shù)估計及應(yīng)用;文獻(xiàn)[8]給出了截斷情形下幾何分布的參數(shù)估計.本文對于定時截尾情形指數(shù)總體的參數(shù)極大似然估計及其性質(zhì)在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上做了進(jìn)一步的討論,證明了幾何分布參數(shù)的極大似然估計的相合性質(zhì)以及進(jìn)一步的漸近正態(tài)性質(zhì)，給出了檢驗兩幾何總體參數(shù)相等的檢驗統(tǒng)計量以及檢驗統(tǒng)計量的極限分布.

1 幾何分布參數(shù)的極大似然估計

設(shè)幾何總體Y，其概率函數(shù)為

f(x)=p(1-p)y-1,y=1，2，…，

其中p>0為未知參數(shù).

設(shè)對總體Y進(jìn)行m次獨立的觀測,直到時刻T0停止.設(shè)總體Y的樣本觀測為

X1，X2，…，Xm,

其中Xi=YiΛT0，這里cΛd=min(c,d),Yi為來自總體Y的第i個樣本的觀測,T0>0為給定的常數(shù)閾值.

當(dāng)Xi

f(x)=p(1-p)x-1，

當(dāng)Xi≥K0時Xi=T0，概率函數(shù)為

記

似然函數(shù)為

對數(shù)似然

解得p的極大似然估計為

2 參數(shù)極大似然估計的漸近性質(zhì)

證明由于Eδ1=P(X1=T0)=P(Y1≥T0)=(1-p)T0-1,

由Slutsky定理[9]，

引理記Sm=(S1m,S2m，…，Skm)T,β=(β1,β2，…，βk)T，設(shè)

證明令Wi=(δi,Xi)T,

則{Wi,i=1,2,…，m}是獨立同分布的隨機變量序列.

令∑=E[(W1-EW1)(W1-EW1)T]

由多元中心極限定理可得,

則

令

則有

由引理知

3 兩幾何總體參數(shù)相等的檢驗

設(shè)總體Z服從參數(shù)為θ的幾何分布，則其概率函數(shù)為

f(z)=θ(1-θ)z-1,z=1,2,…，

同上面的討論相同，在定時截尾情形下，總體Z具有與上面討論的總體Y平行的性質(zhì).

考慮如下的假設(shè)檢驗

H0：θ=pVSH1：θ≠p

(1)

特別地,在原假設(shè)下,有

(2)

證明由定理2知

由定理1得

由Slutsky定理得

令I(lǐng)=θ-p，考慮I的漸進(jìn)置信區(qū)間.設(shè)給定的置信水平為α，其中

可知I的α置信水平的漸近置信區(qū)間

[1]SUN Xiao-qian,ZHOU Xian,WANG Jing-long.Confidence Intervals for the Scale Parameter of Exponential Distribution Based on Type Doubly Censored Samples [J].Journal of Statistical Planning and Inference,2008,138(7):2045～2058.

[2]王乃生，王玲玲.定數(shù)截尾數(shù)據(jù)缺失場合下指數(shù)分布參數(shù)的 Bayes 估計[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計,2002，17(3)：229～235.

[3]劉銀萍.具部分缺失數(shù)據(jù)兩個指數(shù)總體的估計和檢驗[J].吉林大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版),2002,40(3):255～257.

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[8]劉銀萍,楊曉瑩.截斷情形下幾何分布的參數(shù)估計[J].東北師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2009，(3):14～16.

[9]茆詩松,王靜龍,濮小龍.高等數(shù)理統(tǒng)計學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2000.

[10]劉銀萍，張雨婷，秦 青．定時截尾情形下指數(shù)分布參數(shù)的估計[J]．吉林師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2014，35(3)：68～70．