一類定點問題的遞進(jìn)式探究

文/中山市實驗中學(xué) 王美華

中山市2020學(xué)年第一學(xué)期期末考試中，高二數(shù)學(xué)的最后一題在解答時引起筆者很多的思考。監(jiān)考結(jié)束后，筆者借助網(wǎng)絡(luò)畫板的軌跡跟蹤功能，就原題結(jié)論進(jìn)行變形，大膽猜想，小心求證，得到一系列結(jié)論。下面論述探究和證明的過程。

原題：已知圓O的方程為x2+y2=4，若拋物線C過點A(-1,0),B(1,0)，且以圓O的切線為準(zhǔn)線，F(xiàn)為拋物線的焦點，點F的軌跡為曲線R.

(1)求曲線R的方程；

(2)過點B作直線L交曲線R于P、Q兩點，P、T關(guān)于x軸對稱，請問：直線TQ是否過x軸上的定點？如果是，請求出定點的坐標(biāo)；如果不是，請說明理由.

探究1.直線TQ是否過x軸上的定點

發(fā)現(xiàn)過定點，下面作理論詳細(xì)求證，并求出定點坐標(biāo).

故直線TQ過x軸上的定點(4,0).

探究2.將B換作x軸上任意一點，直線TQ是否依然過x軸上的定點

探究3.將B換作x軸上任意一點，將定橢圓方程換成焦點在x軸上任意橢圓，直線TQ是否依然過x軸上的定點

至此，我們可以得到一般性的結(jié)論：

2.直線x=my+n與拋物線y2=2px交于P,Q兩點，點P關(guān)于x軸的對稱點為T，則直線TQ過定點(-n,0)。

圓錐曲線中的定值定點問題很多時候都是通過由特殊到一般的推理過程推得，由橢圓具有的性質(zhì)推及雙曲線和拋物線是否也存在同樣的性質(zhì)。這種歸納推理和類比推理的思維在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中至關(guān)重要。