調(diào)節(jié)水床效應(yīng)的雙梯度有源噪聲控制自適應(yīng)算法?

吳禮福 陳晶晶 郭業(yè)才

(1 南京信息工程大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院 南京 210044)

(2 江蘇省大氣環(huán)境與裝備技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心 南京 210044)

0 引言

相對(duì)于無(wú)源降噪方式，有源噪聲控制(Active noise control,ANC)[1?2]在控制低頻噪聲方面具有明顯的優(yōu)勢(shì)，因而被廣泛應(yīng)用于各種降噪領(lǐng)域。有源噪聲控制系統(tǒng)分為前饋和反饋兩種結(jié)構(gòu)：前饋系統(tǒng)需要參考信號(hào)，系統(tǒng)降噪量高、穩(wěn)定性好；反饋控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，但是穩(wěn)定性差，存在水床效應(yīng)[3?7]。

水床效應(yīng)是指一個(gè)頻段內(nèi)的噪聲減小必然導(dǎo)致另一個(gè)頻段內(nèi)的噪聲放大[8]。文獻(xiàn)[9]采用最小二乘濾波器離線設(shè)計(jì)方法對(duì)水床效應(yīng)中的噪聲放大進(jìn)行展平以調(diào)節(jié)水床效應(yīng)，該方法不具有自適應(yīng)能力。文獻(xiàn)[10]采用小波包分解噪聲信號(hào)調(diào)整反饋控制系統(tǒng)的控制器以達(dá)到自適應(yīng)能力，但是未考慮水床效應(yīng)中的噪聲放大問(wèn)題。目前調(diào)節(jié)反饋系統(tǒng)水床效應(yīng)的自適應(yīng)算法主要是通過(guò)限制控制器系數(shù)的大小，直接或者間接地限制次級(jí)信號(hào)的大小來(lái)實(shí)現(xiàn)的，例如時(shí)域泄漏(“Leaky”)算法[11]，Qiu 等[12]提出的重縮放(“Rescaling”)算法，這些算法能夠改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性但沒(méi)有明確考慮水床效應(yīng)中的噪聲放大問(wèn)題。Wu等[13]提出將泄漏算法中的泄漏因子替換為泄漏矩陣來(lái)調(diào)節(jié)噪聲放大，由于每次迭代都有矩陣和矢量的乘運(yùn)算，其計(jì)算復(fù)雜度給實(shí)際應(yīng)用帶來(lái)困難。Wu 等[3]又提出在頻域以控制某個(gè)頻段內(nèi)的幅度響應(yīng)小于指定閾值為約束條件，對(duì)指定頻段內(nèi)的噪聲放大量進(jìn)行調(diào)節(jié)，但是沒(méi)有直接對(duì)次級(jí)信號(hào)進(jìn)行約束。

為了綜合考慮水床效應(yīng)的噪聲放大和計(jì)算復(fù)雜度問(wèn)題，本文提出一種調(diào)節(jié)水床效應(yīng)的雙梯度有源噪聲控制自適應(yīng)算法，它直接約束次級(jí)信號(hào)在一定范圍內(nèi)，從而達(dá)到有效調(diào)節(jié)水床效應(yīng)的目的。

1 雙梯度算法

1.1 自適應(yīng)反饋有源噪聲控制系統(tǒng)

自適應(yīng)反饋控制系統(tǒng)目前采用較多的是基于內(nèi)模型控制(Internal model control IMC)結(jié)構(gòu)[2]。IMC結(jié)構(gòu)其實(shí)是一個(gè)預(yù)測(cè)器，因?yàn)閷?shí)際系統(tǒng)只可能獲取當(dāng)前采樣點(diǎn)的誤差信號(hào)和次級(jí)信號(hào)，然后估計(jì)出下一采樣點(diǎn)的噪聲信號(hào)作為輸入控制器的參考信號(hào)。

如圖1所示，d(n)、e(n)和y(n)分別為系統(tǒng)的初級(jí)噪聲信號(hào)、誤差傳感器采集的噪聲信號(hào)和控制器輸出的次級(jí)信號(hào)，W(z)為控制器，S(z)為次級(jí)路徑傳遞函數(shù)。在z域中，初級(jí)噪聲可表示為

如果次級(jí)路徑的傳遞函數(shù)S(z)可以估計(jì)得到，并且S(z)≈則能估計(jì)出初級(jí)噪聲d(n)并將其作為參考信號(hào)x(n)，

圖1 自適應(yīng)反饋控制系統(tǒng)框圖Fig.1 Block diagram of adaptive feedback control system

經(jīng)典濾波最小均方(Filtered-x least mean square FxLMS)算法采用最小均方誤差準(zhǔn)則，設(shè)定控制系統(tǒng)目標(biāo)函數(shù)

用梯度下降法得到控制器w(n)的迭代算法：

其中，μ為收斂系數(shù)，L為控制器系數(shù)的階數(shù)。x′(n)為濾波參考信號(hào)，即

“Leaky”算法在目標(biāo)函數(shù)中引入懲罰項(xiàng)“γwT(n)w(n)”限制控制器的輸出和保持算法的穩(wěn)定性，其代價(jià)函數(shù)

其中，0<γ <1。其控制器系數(shù)迭代公式為

“Rescaling”算法不改變FxLMS算法的目標(biāo)函數(shù)，而是在違反約束情況下沿著約束邊界將梯度投影到約束集中[12]，即

當(dāng)|y(n+1)|≤C時(shí)，

當(dāng)|y(n+1)|>C時(shí)，

1.2 雙梯度算法

本文提出的雙梯度FxLMS(Double-gradient FxLMS,DGD-FxLMS)算法是通過(guò)直接約束次級(jí)信號(hào)來(lái)改善水床效應(yīng)的噪聲放大問(wèn)題，當(dāng)次級(jí)信號(hào)超出約束時(shí)將次級(jí)信號(hào)的均方作為目標(biāo)函數(shù)，最小化次級(jí)信號(hào)的能量。

設(shè)定目標(biāo)函數(shù)

其中，

按照最陡下降法遞推濾波器的最佳權(quán)系數(shù)

所以，濾波器權(quán)矢量迭代公式

該算法沿著兩個(gè)梯度方向搜索最佳權(quán)矢量，其主要流程如表1所示。

表1 DGD-FxLMS算法Table1 Pseudo code of DGD-FxLMS algorithm

1.3 計(jì)算復(fù)雜度

對(duì)于“FxLMS”、“Leaky”、“Rescaling”、“DGDFxLMS”4種自適應(yīng)算法，表2對(duì)其計(jì)算量進(jìn)行比較。4種算法計(jì)算復(fù)雜度比較主要包括3個(gè)部分：(1)計(jì)算次級(jí)信號(hào)y(n)；(2)用估計(jì)的次級(jí)路徑對(duì)初級(jí)信號(hào)x(n)進(jìn)行濾波；(3)濾波器權(quán)矢量的迭代更新[14]。從表2中可知，就加法、乘法和除法計(jì)算量而言，對(duì)于一個(gè)樣本點(diǎn)，當(dāng)控制器輸出超過(guò)約束時(shí)，“DGD-FxLMS”算法比“FxLMS”算法少一次次級(jí)路徑濾波，即少P次乘法和(P?1)次加法；當(dāng)控制器輸出不超過(guò)約束時(shí)，“DGD-FxLMS”算法與“FxLMS”算法計(jì)算量相同。雖然“DGD-FxLMS”算法還需要一些額外的選擇開(kāi)關(guān)以及一個(gè)閾值門(mén)閥，可以通過(guò)條件語(yǔ)句控制，而條件語(yǔ)句通常只需很少的機(jī)器周期，所以與傳統(tǒng)的“FxLMS”算法相比，“DGD-FxLMS”算法多余的計(jì)算復(fù)雜度可以忽略不記。與“Leaky”算法相比，“DGD-FxLMS”算法少L或(L+P)次乘法，少0或(P?1)次加法。與“Rescaling”算法相比，“DGD-FxLMS”算法少(L+1)或(L+P+1)次乘法，少0或(P?1)次加法，少0或1次除法。因此，本文算法的計(jì)算量較小。

表2 4種算法的主要計(jì)算量Table2 Computation load of the four algorithms

2 仿真驗(yàn)證

2.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

本文驗(yàn)證了4種算法在有源降噪耳機(jī)中的實(shí)際效果。如圖2所示，將市場(chǎng)上購(gòu)買(mǎi)的有源降噪耳機(jī)用作原型佩戴到B&K公司的人工頭(4182C)上，在保持耳機(jī)整體結(jié)構(gòu)不變的情況下拆分引出誤差傳感器、次級(jí)信號(hào)線，將誤差麥克風(fēng)通過(guò)傳聲器前放連接到B&K公司的Pulse上，Pulse一方面將誤差信號(hào)與次級(jí)信號(hào)輸送到電腦，另一方面也將噪聲信號(hào)傳送給揚(yáng)聲器(初級(jí)噪聲源)。

圖2 有源降噪耳機(jī)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的器件連接Fig.2 The devices connection in the active noise control headphone experiments

實(shí)驗(yàn)在全消聲室中進(jìn)行，如圖3(a)所示，初級(jí)聲源分別位于人工頭正前方、正左方、正右方和正后方，距離人工頭0.3 m。系統(tǒng)的采樣率為16 kHz。采用最小均方誤差(Least mean square LMS)算法估計(jì)出次級(jí)路徑，此處為256階有限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)(Finite impulse response,FIR)濾波器。

圖3 初級(jí)聲源的4個(gè)位置及消聲室中的實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景Fig.3 Diagrammatic view of the 4 different incident directions of the primary noise and the experimental configuration in the anechoic chamber

2.2 結(jié)果與討論

本文以降噪量評(píng)價(jià)降噪性能的好壞，降噪量為ANC系統(tǒng)關(guān)閉與打開(kāi)兩種情況下誤差傳感器信號(hào)的功率譜密度之差。實(shí)驗(yàn)分別對(duì)4個(gè)不同入射方向進(jìn)行降噪性能測(cè)試，發(fā)現(xiàn)左右兩只耳朵的性能幾乎一樣，為了在一幅圖中更加清晰簡(jiǎn)潔地看出每種算法的降噪量，取右耳4個(gè)不同入射方向初級(jí)噪聲源的降噪量的平均值進(jìn)行對(duì)比。

本文選用“FxLMS”、“Leaky”、“Rescaling”、“DGD-FxLMS”4種算法分別迭代得到4種控制器后，對(duì)比4種算法的降噪量，后3種算法均為經(jīng)典“FxLMS”的改進(jìn)算法，可以限定控制器的幅度輸出?？刂破鱓(z)都為FIR 濾波器，4種算法的參數(shù)設(shè)定于表3中，“FxLMS”算法中μ=0.003；“Leaky”算法中μ=0.004，γ=0.05，相當(dāng)于泄漏因子為0.9998；“Rescaling”算法中μ=0.004，C=0.005；“DGD-FxLMS”算法中μ=0.003，C=0.001。

表3 4種算法的參數(shù)設(shè)定Table3 Parameter settings of the four algorithms

4種算法的降噪量如圖4所示，可以看出“Leaky”算法和“Rescaling”算法的有效降噪頻段分別在660 Hz和740 Hz以下，而“FxLMS”和“DGDFxLMS”算法在1000 Hz 還有降噪?！癋xLMS”算法在235 Hz附近可以獲得21 dB的最大降噪量，同時(shí)它在2000～4000 Hz頻段內(nèi)的噪聲放大也是最大的，其噪聲放大在2～7 dB；“Leaky”算法在250 Hz附近獲得8 dB的最大降噪量，其噪聲放大量是最小的，都低于2 dB 且均勻分布在1000～5000 Hz范圍內(nèi)，但“Leaky”算法的有效降噪頻段是最窄的；“Rescaling”算法在235 Hz附近獲得15 dB的最大降噪量，盡管“Rescaling”算法在430 Hz以下頻段的降噪量大于“DGD-FxLMS”算法，其在1000～2200 Hz頻段的噪聲放大量大于“DGDFxLMS”算法，并且“Rescaling”算法有效降噪頻段比“DGD-FxLMS”算法窄。“DGD-FxLMS”算法在300 Hz附近獲得9.5 dB的最大降噪量，其有效降噪頻段幾乎和“FxLMS”算法的有效降噪頻段重合。

圖4結(jié)果表明“DGD-FxLMS”算法在最大降噪量上比“FxLMS”算法和“Rescaling”算法差，從式(3)可以看出“FxLMS”算法在搜索最佳權(quán)矢量過(guò)程中沒(méi)有考慮其他任何約束條件，而僅僅以將誤差信號(hào)能量降到最低為目標(biāo)，因此它雖然最大降噪量高，噪聲放大也最大。

“Rescaling”算法效果較好，既有不錯(cuò)的降噪量，噪聲放大也不大，但從式(11)和式(12)來(lái)看，在實(shí)際的數(shù)字信號(hào)處理器件應(yīng)用中，除法運(yùn)算會(huì)消耗較大資源，此外，該算法是采用“硬性”削波的方式對(duì)次級(jí)信號(hào)進(jìn)行處理，沒(méi)有明確的代價(jià)函數(shù)。

從降噪量和有效降噪帶寬來(lái)看，“DGD-FxLMS”算法在降噪性能上優(yōu)于“Leaky”算法。從式(7)知“Leaky”算法引入懲罰項(xiàng)“γwT(n)w(n)”，所以式(8)“Leaky”算法每次更新控制器系數(shù)時(shí)都對(duì)其進(jìn)行約束，但“Leaky”算法不同于“Rescaling”算法，“Rescaling”算法在控制器超過(guò)約束時(shí)僅硬乘一個(gè)標(biāo)量[C/y(n+1)]，相當(dāng)于將L個(gè)控制器系數(shù)等比例縮小，而“DGD-FxLMS”算法則在控制器超過(guò)約束時(shí)根據(jù)x(n)的大小“軟性”決定系數(shù)調(diào)節(jié)的大小，L個(gè)控制器系數(shù)中有些可能被縮小，有些可能被放大，相當(dāng)于對(duì)整個(gè)濾波器做整形，其調(diào)節(jié)的自由度更大，也更精確。

圖4 4種算法的降噪性能Fig.4 The ANC performance of four algorithms

在自適應(yīng)控制過(guò)程中“DGD-FxLMS”算法在梯度1和梯度2兩個(gè)梯度方向的分布比例分別為62.4%和37.6%，梯度1和梯度2是指分別沿式(13)上下兩行目標(biāo)函數(shù)的方向?qū)で笞罴褭?quán)矢量。表明“DGD-FxLMS”算法在最小化誤差能量的同時(shí)兼顧了噪聲放大。圖5給出了4種算法的誤差收斂曲線，從圖5中可以看出，與其他3種算法對(duì)比，盡管“DGD-FxLMS”算法會(huì)在兩個(gè)梯度方向上進(jìn)行切換，但并不會(huì)在收斂過(guò)程中出現(xiàn)系統(tǒng)不穩(wěn)定性問(wèn)題。

圖5 4種算法的收斂曲線Fig.5 Convergence curves of the four algorithms

3 結(jié)論

約束控制器輸出幅度可以改善水床效應(yīng)中的噪聲放大現(xiàn)象。本文以控制器的實(shí)際輸出是否超出約束作為選擇目標(biāo)函數(shù)的依據(jù)，研究了一種“DGDFxLMS”算法：當(dāng)控制器輸出滿足約束，該算法沿著最小化誤差信號(hào)能量的梯度方向迭代；反之，則沿著最小化次級(jí)信號(hào)能量的方向迭代。在有源降噪耳機(jī)實(shí)例中的驗(yàn)證結(jié)果表明該算法可以在保證一定降噪量情況下改善噪聲放大問(wèn)題，同時(shí)其運(yùn)算量是實(shí)際應(yīng)用可以接受的。