利用GeOGebra實(shí)現(xiàn)初高中銜接二次函數(shù)教學(xué)難點(diǎn)突破

范玉香

【摘要】信息技術(shù)的飛越發(fā)展，為老師的教和學(xué)生的學(xué)提供了更加多元化的途徑。在初高中數(shù)學(xué)的銜接中，二次函數(shù)成為學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，為了更高效地幫助學(xué)生理解并突破這個(gè)難點(diǎn)，本文借助GeoGebra動(dòng)態(tài)軟件，引導(dǎo)學(xué)生觀察，使學(xué)生直觀感知圖象變化，進(jìn)而理解問題的本質(zhì)，掌握解決問題的方法。

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù);GGB;動(dòng)態(tài)演示

初中數(shù)學(xué)到高中數(shù)學(xué)，是從具體數(shù)學(xué)到抽象數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化過程，是一次邏輯思維升華的過程。不少學(xué)生在經(jīng)歷著從初中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的優(yōu)越感到高中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的挫敗感的艱難學(xué)習(xí)生活，特別是在函數(shù)內(nèi)容方面，體現(xiàn)的尤其充分。說到底，主要是因?yàn)楹瘮?shù)比較復(fù)雜、抽象，而初中的教材上，只要求通過圖象了解二次函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)用配方法把二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式：y=a（x-h）²+k，從而得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，得知圖象開口方向，畫出圖象對(duì)稱軸，能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.而在高中的數(shù)學(xué)課堂上，要求同學(xué)們對(duì)二次函數(shù)要靈活掌握。怎樣讓同學(xué)們快速地理解并掌握二次函數(shù)內(nèi)容，成為高中數(shù)學(xué)老師教學(xué)上的一大重點(diǎn)內(nèi)容。隨著信息技術(shù)的飛速發(fā)展，電腦、手機(jī)、平板等電子產(chǎn)品已基本在高中學(xué)生中普及，引導(dǎo)同學(xué)們“跟著技術(shù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)”可以成為我們教學(xué)中的一部分.在接觸過幾何畫板、網(wǎng)絡(luò)畫板和GeoGebra等教學(xué)工具后，筆者強(qiáng)力推薦GeoGebra這款動(dòng)態(tài)軟件.GeoGebra在幾何、代數(shù)、表格、圖形、統(tǒng)計(jì)和微積分等方面都有優(yōu)秀的表現(xiàn)。下面筆者以二次函數(shù)內(nèi)容為例，說明如何利用GeoGebra（以下簡(jiǎn)稱：GGB）輔助教師的教學(xué)及學(xué)生的自主學(xué)習(xí)。

一、利用GGB深刻認(rèn)識(shí)二次函數(shù)圖象

如下圖，學(xué)生只需要在輸入欄輸入函數(shù)，即可得到相應(yīng)函數(shù)圖象，也可以在老師已經(jīng)做好的GGB互動(dòng)課件中分別輸入二次函數(shù)的三個(gè)系數(shù)a，b，c來得到二次函數(shù)的圖象。

通過改變二次函數(shù)的系數(shù)，觀察函數(shù)圖象變化情況，從而深刻認(rèn)識(shí)二次函數(shù)圖象的特點(diǎn)，老師引導(dǎo)同學(xué)們抓住二次函數(shù)特點(diǎn)，畫出函數(shù)圖象。

二、解決定軸定范圍的最值問題

在歷屆學(xué)生中，總存在不少學(xué)生在求二次函數(shù)最值（自變量x范圍給定》士，直接把端點(diǎn)。代入函數(shù)解析式進(jìn)行求解，導(dǎo)致錯(cuò)誤。通過利用GGB作圖演示，可以達(dá)到清晰、高效、生動(dòng)的效果。

例1：已知函數(shù)y=-x²-2x+3，當(dāng)自變量x在下列取值范圍內(nèi)時(shí)，分別求函數(shù)的最大值或最小值，并求當(dāng)函數(shù)取最大（?。┲禃r(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量x的值。

（1）x≤-2;（2）x≤-2;

（3）-2≤x≤1;（4）0≤x≤3。

利用GGB容易得到自變量x在不同取值范圍下的函數(shù)圖象，如下圖所示：

通過以上動(dòng)態(tài)演示，引導(dǎo)學(xué)生在理解和解決函數(shù)在定范圍的最值問題時(shí)，學(xué)會(huì)如何利用圖象解決問題，準(zhǔn)確找到最值點(diǎn)。利用老師已經(jīng)做好的互動(dòng)課件，同學(xué)們還可以自主研究任意二次函數(shù)在任意一個(gè)區(qū)間的取值范圍問題。

三、解決動(dòng)軸定范圍的最值問題

例2：求函數(shù)y=x²+2kx+1，（-1≤x≤2）上的最大值。

動(dòng)軸問題要涉及到分類討論思想，有相當(dāng)一部分學(xué)生想象能力有限，遇到這樣的問題不知道如何解決，利用GGB的動(dòng)態(tài)演示，把動(dòng)態(tài)對(duì)稱軸的變化過程以具體的方式呈現(xiàn)在學(xué)生面前，對(duì)幫助學(xué)生理解和解決問題有極大的幫助。

以上4種情況可以通過點(diǎn)擊按鈕“移動(dòng)對(duì)稱軸”觀察圖象動(dòng)態(tài)連續(xù)變化，還可以通過拖動(dòng)滑動(dòng)條k觀察圖象動(dòng)態(tài)連續(xù)變化.引導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)在范圍內(nèi)的圖象變化情況，使學(xué)生對(duì)函數(shù)圖象變化從抽象理解轉(zhuǎn)變?yōu)椤翱梢暬?，從而更加清晰、具體，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確找到分類的分界點(diǎn)。

四、解決定軸動(dòng)范圍的最值問題

例3：求函數(shù)y=x²-2x+3，（t≤x≤t+2）上的最大值。（t為實(shí)數(shù)）

定軸動(dòng)范圍的最值問題與動(dòng)軸定范圍的問題類似，同樣需要分類討論思想，這次運(yùn)動(dòng)的是范圍。

以上4種情況可以通過點(diǎn)擊按鈕“移動(dòng)自變量范圍”觀察自變量范圍（t≤x≤t+2）從左到右“運(yùn)動(dòng)”時(shí)，函數(shù)圖象連續(xù)變化的情況，還可以通過拖動(dòng)滑動(dòng)條c觀察自變量范圍變化，對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象變化情況，使學(xué)生從抽象理解到具體的圖象變化“可視化”，進(jìn)而準(zhǔn)確找到分類的臨界點(diǎn)。

五、解決給定最值求自變量范圍中的參數(shù)問題

例4：若函數(shù)y=1/2x²-2x+3，（0≤x≤p）有最大值3，最小值1，求實(shí)數(shù)P的取值范圍。

利用GGB構(gòu)造函數(shù)后，利用滑動(dòng)條P改變自變量的范圍，使對(duì)應(yīng)范圍內(nèi)的函數(shù)圖象發(fā)生動(dòng)態(tài)變化，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象變化過程中，函數(shù)最大值與最小值的變化情況，通過觀察圖象的變化，引導(dǎo)學(xué)生找到臨界點(diǎn)，從而得出實(shí)數(shù)P取值范圍。

讓學(xué)生接受新事物，是一個(gè)漫長(zhǎng)的過程，筆者希望通過日常的課堂教學(xué)，把GeoGebra的優(yōu)異性逐漸滲透在課堂中，通過慢慢滲透引導(dǎo)學(xué)生自主利用GGB學(xué)習(xí)探究數(shù)學(xué)問題.在以上3個(gè)含參的函數(shù)最值問題中，需要學(xué)生運(yùn)用分類討論的思想方法，筆者通過GGB的動(dòng)態(tài)演示，使學(xué)生具體、直觀的“看見”分類的臨界點(diǎn)在哪里，進(jìn)而突破解決本類問題的難點(diǎn)。GGB是一款易學(xué)易操作的動(dòng)態(tài)軟件，通過GGB的動(dòng)態(tài)演示，高效地幫助學(xué)生理解問題，進(jìn)而解決問題，只有學(xué)生理清問題的思路，看清解決問題的“路子”，才能更快更容易地理解本節(jié)內(nèi)容，掌握解決本類問題的方法。

參考文獻(xiàn)：

[1]張志勇.基于GEOGEBRA的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與可視化教學(xué)[M].長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)出版社，2018.