例析多角三角函數(shù)極值的求解

顧 敏 劉凱峰

南通大學(xué)理學(xué)院 (226007) 南通大學(xué)數(shù)學(xué)師范172班 (226007)

多角三角函數(shù)極值問題是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)熱點(diǎn)問題.學(xué)生求解此類問題時(shí)，常常出現(xiàn)想消元消不了，想變形功力又不夠，陷入一籌莫展的境地.針對(duì)式子的結(jié)構(gòu)特征，我們有時(shí)可以嘗試?yán)弥髟枷?，把某個(gè)角度當(dāng)做主變量，其他角度暫時(shí)當(dāng)做常系數(shù).假若式子中既有該角的正弦又有該角的余弦，且是和的形式，那么輔助角法往往能夠奏效.并且某些問題通過利用輔助角法可以達(dá)到放縮和消元一箭雙雕的效果，求解過程往往也用不到多少三角恒等變形技巧，何樂而不為呢！

本文精選幾個(gè)實(shí)例，每例均給出兩種不同的解法，旨在說(shuō)明輔助角法的解題功效.

例2 (2018年河南預(yù)賽題)已知cos(α+β)=cosα+cosβ，試求cosα的最大值．

點(diǎn)評(píng):利用解析1設(shè)法賦予相關(guān)式子幾何意義，需要比較強(qiáng)的聯(lián)想能力.解析2輔助角法比較直接有力.

點(diǎn)評(píng):證明1中利用和差化積與積化和差公式，再利用余弦函數(shù)有界性進(jìn)行放縮，進(jìn)而求極值.證明2則繞過三角恒等變換，比較快速地得到可換元的一元函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求最值.

點(diǎn)評(píng):解析1通過余弦定理得到一個(gè)2次等式作為條件，所求目標(biāo)是個(gè)1次式，令該1次式為t，現(xiàn)在把t作為常數(shù)，設(shè)法將2次等式中一個(gè)變量消去，利用判別式法求解.解析2通過正弦定理化邊為角后，出現(xiàn)了2個(gè)角.要是目標(biāo)式子中只出現(xiàn)1個(gè)角，并且既有該角的正弦，又有該角的余弦，進(jìn)一步還是一個(gè)和式，輔助角法當(dāng)仁不讓.

點(diǎn)評(píng):解析1中建系的前提是已知條件蘊(yùn)含了阿波羅尼斯圓；解析2是主動(dòng)設(shè)元，巧妙地將cosB由已知條件消去，此處輔助角法派上用場(chǎng).