一道雙曲線?？碱}的探究

于曉強(qiáng) 林國紅

廣東省佛山市順德區(qū)樂從中學(xué) (528315)

1.題目再現(xiàn)

分析：本題是解析幾何的一道綜合問題，知識(shí)方面主要考查了雙曲線的定義、焦半徑、圓的方程和圓與雙曲線的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)；思想方面考查了特殊與一般、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法；突出考察學(xué)生對數(shù)量轉(zhuǎn)化，運(yùn)算能力，推理論證能力.試題條件簡潔，解法多樣，背景豐富，是一個(gè)值得深入探究的好題.

2.解法探究

圖1

解法1：(特殊點(diǎn)法)如圖1，令A(yù)為雙曲線的右焦點(diǎn)，則F(-5,0),A(5,0)，所以

|FM|=|NA|，

評注：解法1取了滿足條件的特殊點(diǎn)右焦點(diǎn)為A，因A點(diǎn)在x軸上且在F的右側(cè)一個(gè)任意的點(diǎn)，所以滿足題意的任一A點(diǎn)，得到的結(jié)果都一樣，同時(shí)體現(xiàn)了特殊代替一般的數(shù)學(xué)解題方法.

圖2

評注：兩種解法實(shí)質(zhì)都是交點(diǎn)滿足的一元二次方程，利用韋達(dá)定理和雙曲線的焦半徑公式表示出|FM|,|FN|的長，代入所求式子中化簡得到結(jié)果.不同的是交點(diǎn)滿足的一元二次方程時(shí)解法2是把圓的方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，體現(xiàn)了方程組的思想；而另解中是利用直徑所對圓周角為直徑的性質(zhì)分別得到兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)的一元二次方程，再抽象出雙曲線與圓的交點(diǎn)方程，體現(xiàn)了抽象思維的訓(xùn)練.

圖3

解法3：(向量法)如圖3，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F2，并設(shè)|FM|=m,|FN|=n,|FA|=t，由題意可得

評注：向量作為工具，應(yīng)用比較廣泛，特別是在解析幾何中.本題是線段長度的計(jì)算可以轉(zhuǎn)化為向量大小的求解，利用雙曲線的定義構(gòu)建出焦點(diǎn)三角形，用向量的線性運(yùn)算找到等量關(guān)系，抓住幾何特征，將等量關(guān)系平方化簡得到向量大小的等量關(guān)系，化簡整理出所求式子的結(jié)果.

解法4：(余弦定理)如圖3，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F2，并設(shè)|FM|=m,|FN|=n,|FA|=t，由題意可得：

同理可得t[(t-10)2+(t2-n2)-(n-8)2]=2(t-10)(t2-n2)②.

評注：這種解法的基本思路是有關(guān)線段長度的計(jì)算，可以先把線段長度設(shè)出來，抓住焦半徑的應(yīng)用，然后利用雙曲線的定義構(gòu)建出焦點(diǎn)三角形，并表示出三角形的各邊，選擇一些等量角度，應(yīng)用余弦定理建立所求線段長度的等量關(guān)系，化簡得到所求結(jié)果的值.

3.結(jié)論推廣

4.類比性質(zhì)

我們知道，雙曲線，拋物線與橢圓都是圓錐曲線，很多時(shí)侯三者之間有可類比的性質(zhì)，這體現(xiàn)了圓錐曲線性質(zhì)的內(nèi)在統(tǒng)一的和諧美.那么橢圓與拋物線是不是也有類似于結(jié)論1的性質(zhì)呢？經(jīng)探究，得到如下結(jié)論：

圖4

圖5

5.結(jié)語

對題目的拓展、引申、變式探究是一名數(shù)學(xué)教師必備的專業(yè)素養(yǎng)，平時(shí)要重視對典型問題進(jìn)行深入研究，探研規(guī)律，并適當(dāng)拓展，充分挖掘題目的育人價(jià)值.高中數(shù)學(xué)新課程理念之一是倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式.在教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生不要只滿足于問題的解決，而是要通過變式、類比進(jìn)行研究，尋求問題的增長點(diǎn)，從而達(dá)到做一題會(huì)一類，甚至?xí)黄哪康?；讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程，引導(dǎo)他們勇于發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題，讓學(xué)生在解題思路上產(chǎn)生質(zhì)的變化，使思維得到發(fā)展，進(jìn)而全面提高學(xué)生的綜合能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).