從一道函數(shù)零點試題管窺函數(shù)與方程的教學*

陳小紅

江蘇省常州高級中學 (213003)

函數(shù)描述了自然界中量的依存關系，是對數(shù)學問題和實際問題中數(shù)量本質特征和制約關系的一種刻畫．方程與函數(shù)是密切相關的，并且相互為用，如解方程f(x)=0就是求函數(shù)y=f(x)的零點，也就是求函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標．而函數(shù)與方程在現(xiàn)行高中教材中是以知識內容和思想方法兩種不同的形式來呈現(xiàn)的，函數(shù)與方程教學也要不斷地在函數(shù)與方程問題之間轉化，體現(xiàn)了較高的靈活性，同時也有一定的復雜性．本文以一道函數(shù)零點試題為例，通過對它的多種解法的解讀，談一談對函數(shù)與方程的教學啟示．

題目已知a,b∈R，若存在b∈[-3e,-e2]，使得函數(shù)f(x)=ex-ax-b在[1,3]上存在零點，則實數(shù)a的取值范圍為．

解法1：設g(x)=ex-ax，其中x∈[1,3]，且g(x)的值域為A，設集合B=[-3e,-e2]，則A∩B≠?．因為g(x)=ex-ax，所以g′(x)=ex-a．

當a≤e時，g′(x)>0對x∈(1,3)恒成立，且g(x)在區(qū)間(1,3)上單調遞增，又g(x)在區(qū)間[1,3]上圖象不間斷，則A=[e-a,e3-3a]?[0,+∞)．此時，A∩B=?，矛盾；

當a≥e3時，g′(x)<0對x∈(1,3)恒成立，且g(x)在區(qū)間(1,3)上單調遞減，又g(x)在區(qū)間[1,3]上圖象不間斷，則A=[e3-3a,e-a]?

(-∞,e-e3]．此時，A∩B=?，矛盾；

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為[e2,4e]．

點評1：在解法1中，因為參數(shù)a影響函數(shù)g(x)的單調性，因此g(x)值域的表達形式也應分成三類，其中兩類可通過觀察得g(x)的值域與區(qū)間

[-3e,-e2]無公共元素．在第三類中，g(x)的值域與區(qū)間[-3e,-e2]有公共元素的情形比較多，但其反面情形比較少，所以可以先考慮反面，即使用“正難則反”的運算策略．利用集合的運算來解決這個問題關鍵是集合運算模型的建立，而難點是已知含參集合與區(qū)間[-3e,-e2]有公共元素求參數(shù)a．

解法2：原條件等價于不等式-3e≤ex-ax≤

圖1

結合前面兩個方面，可以知道e2≤a≤4e．

當e2≤a≤4e時，結合g(x)和h(x)的圖象(如圖1所示)知，直線y=a必定與g(x)和h(x)中的某函數(shù)的圖象相交，如圖1中的交點P的橫坐標就是不等式g(x)≤a≤h(x)的一個解．綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為[e2,4e]．

圖2

點評3：在解法3中，要注意以下幾點：其一，當固定曲線段MN上一點時，該點與點Q的連線的斜率大于該點與點P的連線的斜率，所以求斜率a的最大值，即求點Q與曲線段MN上點的連線的斜率的最大者；求斜率a的最小值，即求點P與曲線段MN上點的連線的斜率的最小者；其二，求斜率a的最大值，一定要注意比較MQ與NQ的斜率的大小，這是因為指數(shù)函數(shù)的增長速度比較“快”，如果不借助于幾何畫板等數(shù)學軟件作圖，很可能會求錯最大值，比較這一過程恰能體現(xiàn)了“數(shù)形結合”中“數(shù)”的精確性．

圖3

點評4：解法4可以認為是解法3的改進，曲線段的上下平移恰好掃過一個平面區(qū)域．解法4斜率模型的建立要比解法3中的斜率模型的建立難度更大一些，但更容易理解．

結合前面的幾種解法，筆者對函數(shù)與方程的教學提出了以下幾點啟示：

第一、注意常見模型的積累，靈活運用模型，實施轉化化歸．

這里的模型是指解特定數(shù)學問題的一種數(shù)學框架或結構，或常見的某類問題．例如，解法1轉化成了集合運算的模型，即已知兩個集合交集非空，求參數(shù)問題；解法2轉化成不等式有解的模型，最終轉化成求函數(shù)的最值問題；解法3和解法4轉化成直線的斜率模型，通過分析直線的動態(tài)變化，求斜率的取值范圍．

第二、注意數(shù)形結合的運用，重視形的直觀，重視數(shù)的精確．

在思考和解決函數(shù)與方程的有關問題時，對于某些從表面上看來，與圖形不相關的問題，有時可以從某種特定的角度，畫一個圖形、圖象或示意圖，把所討論的問題給以幾何直觀地描述，往往會對問題的求解提供很多有益的啟示，借助圖形常?？梢园褑栴}中的數(shù)量關系揭示得更加直觀形象，“圖”可以幫助思考，把抽象的東西變得直觀，從而使得解題思路變得簡單明了．從前面的解法2的檢驗過程、解法3和解法4都能體會到圖形的直觀性，易于問題的解決．但比較突出的一個問題是，對函數(shù)與方程的教學，不少教師側重于用形來處理數(shù)的直觀性，而用數(shù)處理形的精確性往往被忽視，學生也往往忽視．例如，筆者與一個學生交流時，發(fā)現(xiàn)學生采用的是解法3解決的，直接畫了一個示意圖(畫出的指數(shù)函數(shù)圖象增長的速度“較慢”)，沒有與NQ的斜率進行比較，就直接認定MQ的斜率就是最大者．雖然結論也是對的，但具有偶然性．因為指數(shù)函數(shù)增長的速度“很快”，所以需要比較兩斜率的大小，否則很容易出錯．筆者尤其記得一個填空題極為典型，即問方程2x=x2的解的個數(shù)時，不少同學覺得指數(shù)函數(shù)增長速度比二次函數(shù)增長速度“快”，隨手畫了示意圖，得出兩圖象有一個公共點，即解的個數(shù)為1的錯誤結論．利用數(shù)來輔助對形的認識，也是數(shù)形結合的一個重要方面，應引起重視．加強對“數(shù)能入微”價值的挖掘，對培養(yǎng)學生縝密的思維習慣大有裨益．

第三、注意轉化化歸的等價，分析前后關系，防止邏輯偏差．

轉化與化歸幾乎貫穿于數(shù)學解題的始終，函數(shù)與方程的問題的解決也不例外．但是值得注意的是，要關注轉化的等價性，分析轉化前后的關系，防止出現(xiàn)邏輯偏差．很多時候，有一些不等價的轉化較為隱蔽，不容易被發(fā)現(xiàn)，邏輯上會出現(xiàn)差錯．

常見的邏輯偏差包含以下兩種情形但不局限于這兩種情形：其一，不能理解條件的充分必要性導致的所求范圍擴大是比較常見的邏輯偏差．例如解法2中需要有檢驗的過程實質上就是檢驗a的范圍的充分性．而這個檢驗過程是必要的，理由如下：關于x的不等式h(x)≤a≤g(x)在[1,3]上有解，可以得到兩個不等式h(x)≤a，a≤g(x)在[1,3]上有解，這是從整體到局部的推理，從不等式組有解可以推出兩個不等式有解，因此這個轉化是正確的．但這個轉化不一定是等價轉化，因為從兩個不等式h(x)≤a，a≤g(x)在[1,3]上都有解，不一定能得到h(x)≤a≤g(x)在[1,3]上有解．例如，若h(x)≤a在[1,3]的解集與a≤g(x)在[1,3]的解集的交集為空集時，h(x)≤a≤g(x)在[1,3]上一定無解．其二，不能準確地轉化含有量詞(尤其是含有多個量詞)的某些條件也會導致邏輯偏差．含有單個量詞的條件的轉化相對比較容易，例如不等式恒成立或有解問題，往往可以轉化成求函數(shù)最值問題，方程有解問題可以轉化成求函數(shù)值域問題等．含有兩個及以上的量詞的條件相對比較困難，前面的例子含有兩個存在性量詞．一般來講，可以先轉化其中一個量詞，得到一個新的只含一個量詞的條件，再考慮另一個量詞的轉化，最終轉化成不含量詞的條件．