一個包含目標趨向性的增強型Cucker-Smale群體運動模型

曾慶榮，李鵬飛，季袁冬，羅懋康,

(1.四川大學空天科學與工程學院，成都 610064； 2 四川大學數(shù)學學院，成都 610064)

1 引 言

群體運動的概念來自于鴿群、魚群等生物群體的自組織行為.在群體內部，個體通過局部信息和簡單作用規(guī)則即可達到整個群體運動狀態(tài)一致，并表現(xiàn)出分布式、自適應、魯棒性等特點.

通過對群體運動過程中個體的速度、位置以及個體間的相互作用進行描述，Vicsek等[1]首次建立數(shù)學模型描述了群體運動的形成機理.在此基礎上，Cucker和Smale[2]提出了Cucker-Smale模型,該模型可以作為控制方案應用于無人機集群飛行及機器人編隊控制等工程領域.傳統(tǒng)的Cucker-Smale模型為[3]：

(1)

權函數(shù)

(2)

在文獻[2-3]中，作者證明：當β<1/2時，群體內個體間的速度差將無條件收斂，群體內個體的運動狀態(tài)達到一致；當β≥1/2時，這種收斂只在一定的群體初始條件下才成立.近年來，研究人員對Cucker-Smale模型提出了多種改進，以適應考慮噪聲、時延及避免碰撞等應用場景.其中，Cucker和Dong等研究了受噪聲和時延影響的改進模型，給出了發(fā)生群聚的閾值條件[4-7]，并提出了避免碰撞的模型，在原始模型中添加了一項排斥力[8].也有研究人員在文獻[8]的基礎上對避免碰撞的模型做了進一步的改進[9-15]，如Shen將等級制度引入模型，并研究其收斂結果[16].之后，研究人員又對加入了等級制度的模型進行了進一步的研究[17-18].另一方面，對于群體中個體間鄰域問題的描述，Martin和Cucker等研究了引入拓撲作用鄰域的Cucker-Smale模型，給出了發(fā)生群聚的條件[19-20].

在自然狀態(tài)下，生物群體在運動過程中會整體性地朝向目標運動，即具有一定目標趨向性.同樣，在工程應用中，無人機群或機器人群體也可能需要朝預定的目標運動.然而，目前各種Cucker-Smale群體模型慮及群體目的的較少，大多僅描述群體內所有個體問的“協(xié)調”，即群體內部所有個體協(xié)調一致地運動且未發(fā)生矛盾，而不考慮描述群體內所有個體的“協(xié)同”，即群體內部所有個體協(xié)調地實現(xiàn)一定的目的.本文將引入考慮了目標趨向性和幾何鄰域的Cucker-Smale增強模型及其效用評價效有函數(shù)，對該模型趨向群體目標的效用及目標趨向作用的引入對速度匹配等群體目標的影響進行仿真.

2 模 型

考慮速度匹配、避免碰撞、群體聚集及趨向目標這四個群體目標，我們建立如下模型：

(3)

其中xi和vi分別表示個體i在時刻t的位置和速度，x*表示群體目標的位置，Ν為群體個體構成的集合，Γi為個體i幾何鄰域內個體的集合，|Γi|為鄰域集合內個體數(shù)目.

在式(3)中，加速度的第一項為速度匹配項，模型通過該項實現(xiàn)速度匹配的群體目的，其中權重aij(x)由(2)式定義.速度匹配項通過與鄰域內其余個體的速度差來調整自身加速度，實現(xiàn)速度匹配.

加速度的第二項為個體間作用項，模型通過該項實現(xiàn)避免碰撞以及群體聚集的群體目的，其中個體作用函數(shù)f(‖Δxij‖)的定義為

‖Δxij‖=‖xi(t)-xj(t)‖為個體間距r，d0為群體個體間的最小安全距離，D0為排斥作用的最大距離，Γi為個體i幾何鄰域內個體的集合，Ωi為鄰域外個體的集合.

個體作用函數(shù)可分為鄰域內和鄰域外兩個部分.當鄰域內個體間距d0D0時，個體受到吸引作用，個體間距越大，吸引作用越強.此外，處于個體i鄰域外的個體對其有微弱的吸引作用，以避免“分群”現(xiàn)象的發(fā)生.

加速度的第三項為目標趨向作用項，模型通過該項實現(xiàn)趨向目標的群體目的，其中的吸引作用函數(shù)g(‖x*-xi(t)‖)定義為

g(r)=k4r-α

(5)

其中α>0為比例系數(shù)，調整α的大小可以調整目標趨向作用函數(shù)的形狀，k4為目標趨向作用權重系數(shù)，調整k4的大小可以描述不同強度的目標趨向作用.目標趨向作用項通過將“引力”勢函數(shù)加入到群體內單個個體的加速度項中，使得群體的運動受到一個整體的牽引作用，以描述群體運動趨向預定目標的目的.

為定量分析模型效能，我們需要建立效能函數(shù).為實現(xiàn)速度匹配、群體聚集、避免碰撞及趨向目標這四個目標，在不同初始條件以及不同參數(shù)設置下，模型對幾個群體目的的實現(xiàn)情況各不相同.

下面我們給出速度匹配差、群體離散度、碰撞個體數(shù)及目標偏離角等四個指標：

ψ3=Ncrash,

ψ4=arg(vcg,x0-xcg)，

其中，N為群體內個體數(shù)目，Ncrash為碰撞個體數(shù)目，x0為群體目標點的位置，vcg為群體的重心速度，xcg為群體重心位置，定義為

(6)

速度匹配差ψ1刻畫了運動過程中群體速度的匹配程度，取值越小說明群體速度匹配程度越高，ψ1=0即意味著群體速度實現(xiàn)了完全匹配.

群體離散度ψ2刻畫了運動過程中群體的聚合程度，取值越小意味著個體間距越小，群體聚集效果越好.如果群體最終達到穩(wěn)定狀態(tài)，則群體離散度變化曲線收斂到某一穩(wěn)定值.

碰撞個體數(shù)ψ3為群體運動過程中發(fā)生碰撞的個體數(shù)量.當碰撞個體數(shù)為0時，群體就達到了避免碰撞的目的.

目標偏離角指標ψ4刻畫了群體趨向目標的程度，其取值越接近0意味著群體朝向目標的誤差越小.

3 仿 真

仿真的初始條件設置為：群體內個體數(shù)為100，均勻隨機分布在200 m×200 m的平面空間內；每個個體初始速度大小范圍為10～20 m/s，初始速度方向分布范圍為-45°～45°；群體目標點設置為距群體初始分布中心10 km處；群體內個體間最小間距為3 m，個體間距離小于3 m視為發(fā)生了碰撞.在仿真中，群體模型內除目標趨向作用權重之外的各項參數(shù)設置為：速度匹配權函數(shù)參數(shù)H=100，β=0.4；鄰域內作用函數(shù)參數(shù)k1=1 000，k2=200，θ1=θ2=0.1；鄰域外作用函數(shù)參數(shù)k3=0.5，θ3=0.3；目標趨向作用函數(shù)參數(shù)α=0.1.在所有仿真中，時長均為100 s.為避免隨機初始分布對結果造成影響，每次仿真均隨機取值重復進行200次取平均值.

圖1給出了不同k4取值下和2～12 s時間段內的目標偏離角函數(shù)，以及k4從1到100變化時目標偏離角函數(shù)最后10 s的收斂均值.

圖1 不同目標趨向作用權重下的目標偏離角曲線(a) 目標偏離角曲線；(b)目標偏離角曲線的局部放大； (c) 目標偏離角曲線的最終收斂值Fig.1 Target deviation angle curve at different weight of target directed interaction(a) The target deviation angle curve; (b) partiall enlarged view of the target deviation angle curve; (c) finall convergence value of the target deviation angle

表1 不同目標趨向作用權重下的碰撞個體數(shù)以及群體穩(wěn)定時間Tab.1 Collision number and group stability time at different weight of target directed interaction

圖1(a)顯示，在各項目標趨向作用權重下，目標偏離角整體上有明顯的收斂趨勢.當k4大于一定值時，在群體運動了40 s左右時群體的目標偏離角均收斂到0附近.這說明群體在一定目標趨向作用權重下已實現(xiàn)了趨向目標的群體目的.同時，從圖1(b)可以看出，隨著目標趨向作用權重的增加，群目標偏離角的收斂速度加快.從圖1(c)可以看出，隨著目標趨向作用權重的增加，目標偏離角指標的最終收斂值逐漸減小.當目標趨向作用權重大于30時，該指標的最終值下降至0附近.這說明當目標趨向作用權重越大時，趨向目標的群體目的效果越好.

我們通過仿真得到碰撞個體數(shù)，速度匹配差，群體離散度及群體穩(wěn)定時間等，進而分析引入了目標趨向作用權重之后的影響.

表1給出了當目標趨向作用權重k4在10到100范圍內碰撞個體數(shù)指標以及群體穩(wěn)定時間的變化，其中穩(wěn)定時間定義為當群體的速度匹配差指標下降至一定閾值條件以下時所需的時間.這里我們取閾值為0.1.可以看出，在各個權重下群體在運動過程中均沒有發(fā)生碰撞.這說明目標趨向作用的引入對于群體內部避撞的功能沒有影響.隨著目標趨向作用權重的增大，群體的穩(wěn)定時間呈現(xiàn)出先減小后增大的趨勢.當權重較小即k4<40時，群體在仿真的100 s時長內均沒有達到群體穩(wěn)定時所需的閾值條件.當權重4060時，由于離散仿真有可能造成在一個步長內個體會受到過大的目標吸引力而調整過大，進而使得個體在一個步長內來回抖動，導致穩(wěn)定時間隨著權重的增加而增大，因而目標趨向作用權重也不宜取得過大.群體要達到一致狀態(tài)，首先要使群體的速度匹配差指標在一定時間內下降至閾值以下，即達到穩(wěn)定狀態(tài).因此，群體穩(wěn)定時間的要求需要優(yōu)先判斷.在穩(wěn)定時間滿足要求的前提下再考慮群體離散度以及目標偏離角的需求.從表1中可以得到，群體的目標趨向作用權重應大于30才能在規(guī)定時間內達到穩(wěn)定狀態(tài).

圖2顯示了不同k4取值下速度匹配差隨時間的變化以及k4在1到100范圍內速度匹配指標最終的收斂均值.

圖2 不同目標趨向作用權重下的速度匹配差曲線(a) 速度匹配差曲線；(b) 曲線的局部放大； (c) 速度匹配差的最終收斂值曲線Fig.2 Speed matching difference curve at different weight of target directed interaction

(a) Speed matching difference curve; (b) partially enlarged view of the speed matching difference curve; (c) finally convergence value of the speed matching difference curve

圖2(a)顯示，在各項目標趨向作用權重下群體的速度匹配差均有明顯收斂到0附近的過程.這說明群體均能很快實現(xiàn)內部個體間速度的一致.同時，在運動過程中速度匹配差指標有一個明顯的波動.這是因為在群體運動初期，群體前端的個體會受到吸引作用而先有一個減速的效果，使得速度匹配差增大，之后再由于速度匹配作用而減小.由于目標趨向作用會阻礙群體內個體間的吸引作用，我們可以看到，隨著目標趨向作用權重的增加，速度匹配差曲線的波動越小，從而更容易實現(xiàn)群體內個體間速度的一致.從圖2(b)可以看到,當k4不同取值時，速度匹配差最終收斂值也不同.從圖2(c)可以看到在1到100范圍內，隨著權重的增加，速度匹配指標的最終收斂值逐漸減小.當權重大于30時，該指標的最終值下降至0附近.這說明目標趨向作用對模型速度匹配群體目的的實現(xiàn)具有正向的促進作用.當k4繼續(xù)增大時，由于單步長內速度調整過大而出現(xiàn)的抖動使得速度匹配差隨著k4的增大而有微弱的增加.這表明群體目標吸引項對于群體速度的匹配具有積極的效果.

圖3 不同目標趨向作用權重下的群體離散度曲線(a) 群體離散度隨曲線；(b) 群體離散度最終收斂值曲線Fig.3 Group dispersion degree curve at different weight of target directed interaction(a) Group dispersion degree curve; (b) finally convergence value of the group dispersion degree

圖3為在目標趨向作用權重k4不同取值下群體離散度的時間變化及k4在1到100范圍內群體離散指標最終的收斂均值.由圖3(a)可見，在各項權重下，群體離散度指標均有一個收斂的過程，群體在運動過程中均能夠實現(xiàn)聚集.同時，隨著權重的增加，群體離散度的收斂值逐漸增大.這是因為，權重越大群體在運動過程中受到的目標趨向作用越強，從而使得群體內部個體間的吸引作用越弱，更難實現(xiàn)群體的聚集.從圖3(b)可以看到，隨著k4的增加，群體離散指標的最終收斂值逐漸增大.這說明目標趨向作用的增加不利于模型群體聚集目的的實現(xiàn).根據(jù)前文群體穩(wěn)定時間的仿真結果，群體的目標趨向作用權重應大于30才能在仿真時長內達到穩(wěn)定狀態(tài).因此，在設定的初始條件下，在滿足群體穩(wěn)定時間要求的前提下群體離散度指標最優(yōu)值應在k4=40附近取得，這里為128.31左右.

綜上所述，引入了目標趨向力以及幾何鄰域并不影響避免碰撞、速度匹配及群體聚集這3個群體目的的實現(xiàn)，并且當目標趨向作用權重增加時，群體最終的速度匹配差均值減小，群體能夠更快地達到穩(wěn)定狀態(tài).然而，目標趨向作用的增加會阻礙群體的聚集，使得群體離散度增大.在滿足群體穩(wěn)定時間的要求下，我們可以根據(jù)群體目標偏離角和群體離散度是否達到預期的閾值條件來判斷兩個群體目的的實現(xiàn)情況.在本文設置的初始條件下，我們可以設目標偏離角閾值為0.1，當目標偏離角在一定時間之后小于0.1則視為達到了趨向目標，另一方面，我們可設置群體離散度指標閾值為150，當群體離散度收斂值小于150時視為達到了群體聚集.在滿足閾值條件的情況下，選擇穩(wěn)定時間最小的目標趨向作用權重k4=40.在實際應用中，目標偏離角和群體離散度兩個指標的閾值可根據(jù)群體初始條件設置以及實際需求設定.

4 結 論

在本文中，我們將目標趨向作用和幾何鄰域引入Cucker-Smale群體模型，得到了一個增強型群體運動模型.該模型能夠實現(xiàn)速度匹配、避免碰撞、群體聚集及趨向目標等4個群體目標.仿真結果表明，當目標趨向作用權重增加時，群體趨向目標運動的速度和程度均會增加，同時對群體內個體速度的匹配有積極促進作用，對群體的聚集則有消極影響.速度匹配作用對群體內個體加速度的影響與此類似，也會阻礙群體的聚集.此外，過大的目標趨向作用權重也會導致群體內個體在單步長內速度調整過大而發(fā)生抖動，進而使得穩(wěn)定時間和速度匹配差收斂值變大.因此，群體模型的目標趨向作用權重不能過大也不能過小，需要根據(jù)群體的初始狀態(tài)以及群體所處環(huán)境給出合理值.