不確定度評價(jià)方法在高純鍺探測器參數(shù)修正中的應(yīng)用

李自維，白立新，張一云

(四川大學(xué)物理學(xué)院，成都 610065)

1 引 言

使用Monte Carlo方法模擬高純鍺探測器對γ光子的探測效率相比傳統(tǒng)的物理實(shí)驗(yàn)方法能夠大大地節(jié)約時(shí)間和費(fèi)用[1]，在高純鍺探測器參數(shù)標(biāo)定和修正中有著廣泛的應(yīng)用. 探測器生產(chǎn)廠家給出探測器參數(shù)為標(biāo)稱值，而冷指尺寸、真空層厚度等亦未給出，且探測器老化后探測器參數(shù)也會(huì)變化. 因此根據(jù)廠家給出的探測器參數(shù)，進(jìn)行探測效率模擬，得到的結(jié)果往往與實(shí)驗(yàn)值存在較大的偏差[2]. 為了得到準(zhǔn)確模擬結(jié)果需要對計(jì)算模型的輸入?yún)?shù)進(jìn)行調(diào)整. 探測效率由探測器的多個(gè)參數(shù)共同影響，目前文獻(xiàn)中對探測器參數(shù)的調(diào)整方法還處于人工試探、窮舉法等，沒有一種理論性強(qiáng)、簡便、通用的方法. 本文以計(jì)算模型的統(tǒng)計(jì)性不確定度評價(jià)方法為基礎(chǔ)，通過對探測效率的蒙特卡洛計(jì)算模型進(jìn)行敏感性分析和不確定度分析，實(shí)現(xiàn)對高純鍺探測器重要參數(shù)的修正，在方法上具有通用性和一致性.

2 原理及實(shí)驗(yàn)

2.1 高純鍺探測器原理

高純鍺探測器是一種具有高分辨率的半導(dǎo)體核輻射探測器，其用于探測射線的靈敏區(qū)域是PN結(jié)(又稱耗盡層). 當(dāng)γ射線進(jìn)入結(jié)區(qū)時(shí)，因γ光子與結(jié)區(qū)物質(zhì)發(fā)生光電效應(yīng)，康普頓散射或電子對效應(yīng)從而損失能量，在結(jié)區(qū)產(chǎn)生電子-空穴對，在外加反偏電場的作用下，在輸出回路中形成能代表入射γ射線能量的輸出電信號(hào). 探測器結(jié)構(gòu)如圖1所示，高純鍺探測器需要工作在85～100 K的低溫環(huán)境，來保證鍺晶體的禁帶寬度.

圖1 探測器結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Sketch map of HPGe detector

2.2 與探測效率有關(guān)的探測器參數(shù)

探測效率是探測器的重要指標(biāo)之一，由多參數(shù)共同影響，其準(zhǔn)確性直接影響到放射源活度等物理測量結(jié)果的準(zhǔn)確度[3].

對于特定的放射源和確定的高純鍺探測器，探測效率主要與以下幾個(gè)探測器參數(shù)相關(guān)：(1)探測器晶體尺寸，包括晶體半徑和晶體高度，探測器靈敏區(qū)域的大小主要由晶體的尺寸決定；(2)死層厚度，死層的厚度直接影響探測器晶體的有效體積；(3)冷指尺寸，包括冷指長和冷指半徑，入射粒子進(jìn)入到冷指井中不產(chǎn)生空穴-電子對，冷指的大小也直接影響到探測器晶體的有效體積；(4)空隙高度，入射窗到探測器托架之間的距離稱為空隙高度，空隙高度的偏差影響放射源到探測器的距離.

2.3 計(jì)算模型的不確定度評價(jià)方法

對計(jì)算模型的不確定度評價(jià)，一般指對計(jì)算模型的輸出結(jié)果與實(shí)際值之間的差異進(jìn)行評價(jià). 包括分析輸入?yún)?shù)對輸出結(jié)果的不確定度貢獻(xiàn)和輸出參數(shù)對輸入?yún)?shù)的敏感性.

2.3.1 不確定度評價(jià)方法分類和選擇 不確定度評價(jià)分析方法根據(jù)輸入不確定度到輸出不確定度的傳遞方向，分為基于輸入?yún)?shù)的不確定度傳遞和基于輸出的不確定度傳遞的不確定度評價(jià)分析.

根據(jù)對計(jì)算模型的輸出結(jié)果的不確定度計(jì)算方法不同，不確定度評價(jià)方法分為統(tǒng)計(jì)性方法和確定性方法. 目前，基于輸入?yún)?shù)不確定度傳遞的統(tǒng)計(jì)性方法的研究和應(yīng)用相對更為成熟和廣泛.

統(tǒng)計(jì)性不確定度評價(jià)方法首先確定輸入?yún)?shù)的分布類型和分布參數(shù)，然后對各輸入?yún)?shù)抽樣生成N個(gè)輸入樣本，用此樣本集進(jìn)行模擬計(jì)算得到N個(gè)輸出集，最后分析輸出與輸入的關(guān)系. 統(tǒng)計(jì)性不確定度評價(jià)方法是不確定度評價(jià)的一種通用方法，示意圖如圖2所示.

圖2 統(tǒng)計(jì)性不確定度評價(jià)方法Fig.2 Statistical uncertainty evaluation method

探測器效率模擬的模型是一個(gè)多輸入?yún)?shù)的復(fù)雜模型，輸出的結(jié)果與各輸入?yún)?shù)并非簡單的線性關(guān)系，因此需采用基于輸入?yún)?shù)不確定度傳遞的統(tǒng)計(jì)性不確定度評價(jià)方法，來分析評價(jià)探測器真實(shí)效率與模擬效率的關(guān)系.

2.3.2 敏感性分析方法 敏感性分析是指分析計(jì)算模型的每個(gè)輸入變量和參數(shù)在模型輸出變量中的相對重要性[4]. 敏感性分析可用于輸入變量和輸入?yún)?shù)篩選，輸出變量的不確定度分析，減少輸出變量不確定度的方法等，其廣泛應(yīng)用于機(jī)械、交道運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)建模、熱工水力、電力系統(tǒng)分析和控制以及市場營銷、運(yùn)籌學(xué)等領(lǐng)域[5].

敏感性分析分為局部敏感性分析和全局敏感性分析[6]. 局部敏感性分析法關(guān)注單個(gè)因子對模型輸出結(jié)果的影響，優(yōu)點(diǎn)在于簡單快捷，可操作性強(qiáng)，但是由于未考慮整個(gè)參數(shù)空間內(nèi)的響應(yīng)，當(dāng)模型是非線性的或者影響輸入變量的不確定度處于不同數(shù)量級(jí)時(shí)，局部技術(shù)可能不能夠提供有效的分析結(jié)果.

全局敏感性分析法分析各因素的概率密度函數(shù)的分布和形狀的影響，在計(jì)算分析時(shí)，所有因素都可同時(shí)變化[7-8]. 所以，本文采用簡相關(guān)系數(shù)、全局敏感性分析方法Sobol′一階和總敏感性分析方法對模型輸入?yún)?shù)進(jìn)行敏感性分析.

2.4 不確定評價(jià)方法修正參數(shù)的原理

在高純鍺探測器對放射源的探測效率模擬中，不確定度的傳遞示意圖如圖3所示.探測器的參數(shù)是模擬模型的輸入?yún)?shù)，探測器參數(shù)的不確定度直接反映到模擬的結(jié)果中，即模擬效率的不確定度來源于Monte Carlo N-Particle Transport Code，Version 5(MCNP5)程序的模型輸入?yún)?shù)(探測器參數(shù))的不確定度.

圖3 探測效率模擬中的不確定度傳遞Fig.3 Uncertainty transfer in detection efficiency simulation process

用模擬程序模擬高純鍺探測器的探測效率，模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)效率存在一定偏差，其主要原因是建模的輸入?yún)?shù)值與探測器真實(shí)參數(shù)值的存在偏差. 而輸入?yún)?shù)值與真實(shí)參數(shù)值的偏差程度決定了模擬探測效率與實(shí)驗(yàn)效率的偏差程度. 所以，我們認(rèn)為當(dāng)模擬探測效率與實(shí)驗(yàn)效率偏差最小時(shí)，此模型的輸入?yún)?shù)與真實(shí)參數(shù)偏差最小.

本文提出一種不確定度分析法，即對有代表性的多個(gè)空間點(diǎn)(對輸入?yún)?shù)敏感性高的點(diǎn))的點(diǎn)源探測效率，采用簡單蒙卡抽樣方法對重要輸入?yún)?shù)的每個(gè)參數(shù)同時(shí)進(jìn)行N次均勻抽樣，使抽樣值覆蓋探測器真實(shí)參數(shù)值，由抽樣數(shù)據(jù)生成模擬程序的N個(gè)輸入卡. 再由探測器效率模擬程序進(jìn)行N次模擬計(jì)算，求出模擬計(jì)算結(jié)果與真實(shí)探測效率的偏差，找出偏差最小值所對應(yīng)的探測器效率模擬程序輸入卡，即可知此最小偏差對應(yīng)的模擬模型的輸入?yún)?shù)，完成探測器參數(shù)修正.

2.5 方法驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)

2.5.1 實(shí)驗(yàn)假設(shè)和實(shí)驗(yàn)?zāi)康?本實(shí)驗(yàn)合理地假設(shè)一組高純鍺探測器參數(shù)，作為模擬實(shí)驗(yàn)的高純鍺探測器的真實(shí)參數(shù). 實(shí)驗(yàn)中由這些假設(shè)的真實(shí)探測器參數(shù)作為模型參數(shù)模擬計(jì)算出的探測效率即認(rèn)為是真實(shí)效率或稱為實(shí)驗(yàn)效率. 假設(shè)另一組高純鍺探測器參數(shù)，作為模擬實(shí)驗(yàn)的高純鍺探測器的標(biāo)稱值. 由標(biāo)稱值作為模型參數(shù)模擬計(jì)算出的探測效率稱為標(biāo)稱值探測效率.

實(shí)驗(yàn)選用137Cs，241Am，60Co做標(biāo)準(zhǔn)γ源，選取9個(gè)空間點(diǎn)做為放射源所在位置，這9個(gè)點(diǎn)與探測器位置關(guān)系如同4所示，第1～9個(gè)點(diǎn)位置分別記為位置1，位置2 ,直到位置9.

圖4 實(shí)驗(yàn)選取的空間點(diǎn)Fig.4 Space points in the experiment

實(shí)驗(yàn)中，用MCNP5程序模擬高純鍺探測器探測效率，應(yīng)用前文提出的不確定度評價(jià)方法來修正高純鍺探測器參數(shù)，最終比較修正的探測器參數(shù)與實(shí)驗(yàn)假設(shè)的探測器真實(shí)參數(shù)的誤差，并驗(yàn)證此不確定度評價(jià)方法的正確性.

2.5.2 參數(shù)修正 根據(jù)前文所提出的不確定度評價(jià)方法，對探測器參數(shù)進(jìn)行修正. 第一步，分析高純鍺探測器參數(shù)，選取目標(biāo)參數(shù)，分析探測效率對各目標(biāo)參數(shù)的敏感性，確定重要參數(shù).

第二步，對各重要輸入?yún)?shù)同時(shí)進(jìn)行N次簡單蒙卡抽樣，得到N組模型輸入?yún)?shù)，根據(jù)敏感性分析結(jié)果，選取n個(gè)標(biāo)定點(diǎn)，對不同放射源在這n個(gè)標(biāo)定點(diǎn)，用MCNP5程序進(jìn)行同時(shí)的探測器效率模擬，得到模擬計(jì)算結(jié)果.

第三步，計(jì)算探測器對各空間點(diǎn)對應(yīng)放射源的真實(shí)探測效率與模擬效率的偏差的平方之和，表示為ΔEff.

其中，εsi表示模擬效率，εti表示真實(shí)效率.找到最小ΔEff，這個(gè)ΔEff對應(yīng)的那組模型參數(shù)值即可認(rèn)為是最佳參數(shù)值，也就是探測器參數(shù)的修正值.

本實(shí)驗(yàn)采用針對多個(gè)有代表性的空間點(diǎn)，對不同的放射源進(jìn)行同時(shí)的探測器效率模擬，是因?yàn)樘綔y器探測效率是由多參數(shù)共同影響的，在進(jìn)行探測器對確定位置的單一放射源進(jìn)行探測效率模擬時(shí)，容易出現(xiàn)多個(gè)模型輸入?yún)?shù)均與真實(shí)值偏移較大，而模擬效率卻接近真實(shí)效率的情況. 而采用多空間點(diǎn)多放射源進(jìn)行同時(shí)模擬，能很好地避免這種情況.

2.5.3 參數(shù)驗(yàn)證 根據(jù)修正的高純鍺探測器參數(shù)，令137Cs，241Am，60Co這3個(gè)γ放射位于除標(biāo)定點(diǎn)外的其他m個(gè)點(diǎn)，用MCNP5程序模擬探測器對其探測效率，并與用實(shí)驗(yàn)假設(shè)的探測器真實(shí)參數(shù)模擬計(jì)算的探測效率進(jìn)行對比，以此檢驗(yàn)探測器參數(shù)的修正結(jié)果.

2.6 探測效率的MCNP程序模擬[9]

本文采用Monte Carlo光子和電子耦合輸運(yùn)程序MCNP5對高純鍺探測器探測效率進(jìn)行模擬.MCNP程序是一款應(yīng)用廣泛[10]，由Los Alamos國家實(shí)驗(yàn)室研發(fā)的基于蒙特卡羅方法的大型的多功能Monte Carlo粒子輸運(yùn)程序. 該程序目前可用于計(jì)算與中子、光子和電子或耦合中子、 光子、 電子相關(guān)的物理輸運(yùn)問題[11].

在光子和電子的耦合輸運(yùn)過程中，模擬計(jì)算的光子能量為1 keV～100 MeV，適合于γ射線的模擬計(jì)算[12]. 在探測效率模擬中，用脈沖幅度卡F8計(jì)算γ射線在HPGe晶體中的脈沖高度能譜分布，聯(lián)合使用E8計(jì)數(shù)卡，即可求得探測器的模擬效率.

2.7 敏感性分析

2.7.1 確定輸入?yún)?shù)及參數(shù)抽樣 分析影響探測效率的模型參數(shù)，選取探測器晶體半徑，空隙高度，死層厚度，冷指半徑，冷指長度，晶體高度共6個(gè)輸入?yún)?shù)作為進(jìn)行敏感性分析的目標(biāo)參數(shù).

各輸入?yún)?shù)的相對偏差并無嚴(yán)格的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)指導(dǎo). 一般由標(biāo)稱值模擬的探測效率與真實(shí)效率相對誤差在20%以上，因此可由MCNP5程序模擬計(jì)算出探測器參數(shù)的最大偏移量. 結(jié)合實(shí)驗(yàn)室經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，假設(shè)各輸入?yún)?shù)的分布均服從正態(tài)分布，得到各參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，如表1所示.

采用拉丁超立方抽樣方法對輸入?yún)?shù)進(jìn)行N次同時(shí)抽樣產(chǎn)生N個(gè)輸入樣本，并保存抽樣結(jié)果.

表1 輸入?yún)?shù)分布Tab.1 The distribution of input parameters

2.7.2 模型計(jì)算及敏感性計(jì)算 由抽樣數(shù)據(jù)編寫N個(gè)MCNP5程序的輸入卡，由自編程序調(diào)用MCNP5程序進(jìn)行模擬計(jì)算，保存目標(biāo)參數(shù). 這里目標(biāo)參數(shù)只有一個(gè)，即模型計(jì)算的結(jié)果模擬探測效率.

根據(jù)抽樣時(shí)保存的輸入?yún)?shù)抽樣結(jié)果和模擬計(jì)算得到的探測器效率，先后計(jì)算各輸入?yún)?shù)的簡相關(guān)系數(shù)、Sobol′一階敏感系數(shù)和Sobol′總敏感系數(shù).

3 敏感性分析及參數(shù)修正

3.1 敏感性分析結(jié)果

選取位置2，位置4，位置5，位置8，位置9放置不同放射源做敏感性分析. 首先，對6個(gè)輸入?yún)?shù)分別抽樣500、1 000、2 000、3 000次，令137Cs放射源處于位置4，用MCNP5程序進(jìn)行探測效率模擬，計(jì)算出簡相關(guān)系數(shù)，Sobol′一階敏感系數(shù)和Sobol′總敏感系數(shù). 當(dāng)抽樣數(shù)是2 000次時(shí)，各個(gè)參數(shù)的敏感性計(jì)算結(jié)果與1 000次抽樣的計(jì)算結(jié)果偏差在5%之內(nèi)，3 000次抽樣計(jì)算結(jié)果與2 000次抽樣的計(jì)算結(jié)果偏差在2%之內(nèi)，故此認(rèn)為當(dāng)抽樣數(shù)為3 000時(shí)，敏感性分析結(jié)果收斂. 下文敏感性分析結(jié)果均為抽樣3 000次時(shí)的數(shù)據(jù).

這里列出137Cs源位于位置3、241Am源位于位置5，60Co源位于位置6的敏感性分析結(jié)果，如表2所示.

表2 敏感性分析結(jié)果Tab.2 The results of sensitivity analysis

由結(jié)果可見相關(guān)系數(shù)和Sobol′敏感系數(shù)具有一致性，這證明了在MCNP5程序模擬探測器效率中應(yīng)用Sobol′敏感性分析的正確性. 結(jié)果表明，模擬探測效率對探測器參數(shù)的敏感度與放射源位置和入射γ光子能量均有關(guān)系：當(dāng)入射粒子能量低時(shí)，探測效率對死層厚度較為敏感，而入射粒子能量高，且放射源位置不在探測器晶體軸向時(shí)，探測效率對晶體半徑、高度敏感度比較大.

綜合分析不同放射源在其他位置的敏感性研究結(jié)果，高純鍺探測器探測效率對死層厚度、晶體半徑、晶體高度這3個(gè)探測器參數(shù)的敏感性始終大于對冷指半徑、冷指長和空隙高度這3個(gè)參數(shù)的敏感性，且當(dāng)放射源偏離軸心時(shí)，探測效率對晶體高度更敏感. 因此，晶體的半徑和死層厚度應(yīng)該作為探測器重要參數(shù). 高純鍺探測器探測效率對冷指長度和冷指半徑敏感性很小，所以冷指長度和冷指半徑不作為重要參數(shù).

3.2 模型參數(shù)修正

3.2.1 尋找最佳模型參數(shù) 根據(jù)敏感性分析的結(jié)果，選取晶體高度、晶體半徑，死層厚度這三個(gè)重要參數(shù)進(jìn)行修正，用于參數(shù)修正的標(biāo)定點(diǎn)應(yīng)該選偏離軸心的點(diǎn).

表3 重要模型參數(shù)值Tab.3 Important model parameter values

選取位置3，位置5，位置6作為標(biāo)定點(diǎn)，修正參數(shù)所用γ放射源仍為241Am，60Co，137Cs.241Am源在位置3，137Cs源在位置5，60Co源在位置6. 對這三個(gè)位置的點(diǎn)源，用MCNP5程序模擬高純鍺探測器對他們的探測效率. 實(shí)驗(yàn)所假設(shè)的探測器重要參數(shù)真實(shí)值與標(biāo)稱值如表3所示.

經(jīng)MCNP5程序模擬計(jì)算的探測器對各放射源的真實(shí)探測效率和使用標(biāo)稱值計(jì)算的模擬效率結(jié)果如表4所示.

表4 不同γ源在不同位置的探測器探測效率Tab.4 The detection efficiencies for different γ sources located at different spatial points

采用簡單蒙卡抽樣方法對晶體高度、晶體半徑死層厚度共3個(gè)輸入?yún)?shù)，同時(shí)進(jìn)行均勻抽樣3 000次，生成3 000張MCNP5程序輸入卡并進(jìn)行模擬計(jì)算.

表5 探測器參數(shù)修正結(jié)果Tab.5 The results of corrected important detector parameter values

求出3個(gè)γ源在3個(gè)不同位置的模擬探測效率與真實(shí)探測效率的偏差的平方和ΔEff，并找出最小值，得出對應(yīng)輸入?yún)?shù)的值. 這些參數(shù)值即視為探測器參數(shù)的修正值，修正值如表5所示. 結(jié)果表明，修正的探測器參數(shù)非常接近真實(shí)值，各個(gè)參數(shù)與真實(shí)值的相對誤差均在0.5%內(nèi). 采用修正后的探測器參數(shù)建模計(jì)算高純鍺探測器對不同γ點(diǎn)源在3個(gè)標(biāo)定位置的探測效率，結(jié)果如表6所示，模擬探測效率與真實(shí)的探測效率相對誤差均在0.5%之內(nèi).

表6 參數(shù)修正后的探測器探測效率Tab.6 The detection efficiencies after parameters corrected

重復(fù)上述參數(shù)修正步驟12次，共有11次修正得到重要參數(shù)的修正值與真實(shí)值相對誤差均未超過2%. 有1次探測器參數(shù)修正值與真實(shí)值相對誤差在10%左右，而模擬效率與真實(shí)效率相對誤差在1%內(nèi). 這是前文所提到的修正的偶然性. 對于這種修正結(jié)果直接舍棄.

3.2.2 修正參數(shù)驗(yàn)證 選取位置2，4，8作為驗(yàn)證點(diǎn)，采用修正后的探測器參數(shù)，使用MCNP5程序建模分別計(jì)算137Cs，60Co，241Am放射源處在驗(yàn)證點(diǎn)的探測器探測效率，以此驗(yàn)證探測器重要參數(shù)修正是否正確. 對各源，高純鍺探測器的探測效率真實(shí)值與模擬的探測效率結(jié)果如表7所示.

結(jié)果表明，使用修正后的探測器參數(shù)對不同點(diǎn)源在驗(yàn)證點(diǎn)進(jìn)行探測效率模擬，結(jié)果與真實(shí)效率相對誤差均在0.5%之內(nèi)，這遠(yuǎn)好于傳統(tǒng)修正方法修正的結(jié)果(傳統(tǒng)修正方法的修正結(jié)果一般相對誤差在2%～5%之內(nèi)).這很好地說明了應(yīng)用此方法修正探測器重要參數(shù)的正確性和準(zhǔn)確性.

表7 探測器對驗(yàn)證源的探測效率Tab.7 The detection efficiencies for verification sources

4 結(jié) 論

使用MCNP5程序能快速地模擬高純鍺探測器的探測效率，節(jié)約實(shí)驗(yàn)成本，縮短實(shí)驗(yàn)時(shí)間. 應(yīng)用本文提出的不確定度分析方法來輔助標(biāo)定或修正探測器參數(shù)，修正后的探測器參數(shù)與真實(shí)探測器參數(shù)相對誤差在2%以內(nèi).此方法具有良好的重復(fù)性，參數(shù)修正效果好于傳統(tǒng)的高純鍺探測器參數(shù)修正方法. 此方法同樣也適用于其他類型的核探測的探測器參數(shù)標(biāo)定與修正.

不確定評價(jià)方法在具有多輸入?yún)?shù)且復(fù)雜的模型計(jì)算的熱工水力、機(jī)械結(jié)構(gòu)、電力輸運(yùn)等工程領(lǐng)域已經(jīng)有廣泛的應(yīng)用和研究[13].在實(shí)驗(yàn)室領(lǐng)域，對于較為簡單的計(jì)算模型，應(yīng)用不確定度分析的思想，應(yīng)用統(tǒng)計(jì)性不確定度評價(jià)方法來分析輸入?yún)?shù)或模型參數(shù)與輸出目標(biāo)參數(shù)的關(guān)系也是實(shí)用且便捷的.