曹沖稱象與思維轉(zhuǎn)換

王林 戚婷婷

小朋友，你聽過曹沖稱象的故事嗎？在曹沖五六歲的時候，有一天，孫權(quán)送來了一頭大象，曹操想知道這頭大象的質(zhì)量，可是沒有人能想出辦法，因為那時候沒有能稱大象的大秤。曹沖說他有辦法。他讓人把大象趕到船上，在船貼近水面的地方做上記號，然后把大象趕下船，往船上裝石頭，當(dāng)水面達到記號的時候，再稱船上這些石頭的質(zhì)量，這樣就知道大象的質(zhì)量了。曹沖在這里進行了“等量代換”，也就是進行了思維的轉(zhuǎn)換。

其實，在解決數(shù)學(xué)問題時，也常常用到這種思維轉(zhuǎn)換。不信？你來看。

例1.星期天，淘氣去爬山。他沿著一條長為12千米的路上山，然后原路返回。上山每小時走2千米，下山每小時走6千米。你知道淘氣在上下山過程中的平均速度嗎？

[分析與解]看完題目，可能你會說，這有什么呀，誰不會呢，（ 2+6）÷2，直接計算就可以了。果真如此嗎？不需要“思維轉(zhuǎn)換”嗎？如果你真的這樣想，就錯了。

要解決的問題是“淘氣在上下山過程中的平均速度”，注意是“上下山全過程”，因此，應(yīng)該是上山和下山的總路程除以上山和下山所用的總時間。上、下山總路程為“12×2”千米，上山時間為“12÷2”小時，下山時間為“12÷6”小時。所以上下山過程中的平均速度為12×2÷（12÷2+12÷6） =3（千米/時）。

例2.李老師買了3千克蘋果和5千克梨，共付款19元；張老師買了5千克蘋果和3千克梨，共付款21元。小朋友，你知道蘋果和梨每千克多少元嗎？

[分析與解]觀察題目中的數(shù)據(jù)，你是不是覺得挺簡單的？李老師買了蘋果和梨共8千克，張老師買了蘋果和梨也是共8千克，另外，兩位老師共買蘋果3+5=8（千克），共買梨也是5+3=8（千克），所以列算式（ 19+21）÷2即可求出蘋果和梨的價錢了。怎么樣，是不是覺得自己這樣計算挺牛的呀？其實這樣計算是錯的。

不妨把你的思維轉(zhuǎn)個彎，轉(zhuǎn)換一下。先把已知條件列出來：

蘋果：3千克 梨：5千克 共19元

蘋果：5千克 梨：3千克 共21元

你會發(fā)現(xiàn)，兩人所買的蘋果、梨的質(zhì)量不同，錢數(shù)也不相同。如果能讓蘋果的質(zhì)量或梨的質(zhì)量相同，這個問題是否更容易解決呢？當(dāng)然了，它們之間基本的數(shù)量關(guān)系是不能改變的。

可以用“擴倍法”讓蘋果或梨的質(zhì)量相同。所謂的擴倍法就是把蘋果、梨和錢數(shù)擴大相同的倍數(shù)。

方法1：把蘋果的質(zhì)量轉(zhuǎn)換成相同。

把李老師買的水果質(zhì)量和錢數(shù)分別乘5，張老師買的水果質(zhì)量和錢數(shù)分別乘3，這樣兩位老師買的蘋果的質(zhì)量數(shù)就相同了，而不同的僅僅是梨的質(zhì)量數(shù)和錢數(shù)。

蘋果：3×5千克 梨：5×5千克 共19×5元

蘋果：5×3千克 梨：3×3千克 共21×3元

通過觀察發(fā)現(xiàn)：兩位老師付款的總錢數(shù)不同，這是因為兩人買的梨的質(zhì)量不同。每千克梨的價格為（ 19×5-21×3）÷（5×5-3×3）=2（元），每千克蘋果的價格為（ 19-2×5）÷3=3（元）。

方法2：把梨的質(zhì)量數(shù)轉(zhuǎn)換成相同。

把李老師買的水果質(zhì)量和錢數(shù)分別乘3，張老師買的水果質(zhì)量和錢數(shù)分別乘5，這樣兩位老師買的梨的質(zhì)量數(shù)就相同了。

蘋果：3×3千克 梨：5×3千克 共19 ×3元

蘋果：5×5千克 梨：3×5千克 共21 ×5元

通過觀察發(fā)現(xiàn)：兩位老師付款的總錢數(shù)不同，這是因為兩人買的蘋果的質(zhì)量不同。每千克蘋果的價格為（ 21×5-19×3）÷（5×5-3×3） =3（元），每千克梨的價格為（19-3×3）÷5=2（元）。

方法3：把兩位老師買的水果數(shù)和錢數(shù)分別加在一起，可知8千克蘋果和8千克梨共“19+21”元，所以1千克蘋果和1千克梨共（19+21）÷8=5（元）。

3千克蘋果 5千克梨 共1 9元

1千克蘋果 1千克梨 共5元

小朋友，后面的計算你自己完成吧！怎么樣，有信心嗎？試試轉(zhuǎn)換思維呦！

例3.一個正方形被分成了五個小長方形（如右圖），每個小長方形的周長都是48厘米，你知道這個正方形的周長是多少嗎？

[分析與解]讀完題目，是不是有點兒郁悶？要求出正方形的周長，一般來說需要知道正方形的邊長?？墒?，這里不僅不告訴這些條件，居然還把正方形分成了五個小長方形。好在告訴了每個小長方形的周長。不過，知道這些有什么用呢？

你不妨轉(zhuǎn)換一下思維，很容易發(fā)現(xiàn)正方形與這五個小長方形之間的關(guān)系。小長方形的長與正方形的邊長相等，五個小長方形的寬之和與正方形的邊長相等，因此，小長方形的長是寬的5倍（想想為什么）。

小長方形周長的一半（即一條長和一條寬）是48÷2=24（厘米）。把小長方形的寬看作1份，則長是5份，小長方形的寬是24÷（1+5）=4（厘米），長（即正方形的邊長）是4×5=20（厘米），所以正方形的周長是20×4=80（厘米）。

思路一變天地寬。怎么樣，問題解決了吧！你想對了嗎？

例4.把一塊長方形菜地分成4個小長方形（如右圖），已知長方形A的面積是15平方米，長方形B的面積是18平方米，長方形C的面積是30平方米，問長方形D的面積是多少平方米？

[分析與解]題中要求“長方形D的面積是多少平方米”，可是長方形的長和寬一個都不知道。不要著急，你不是學(xué)會了“轉(zhuǎn)換思維”嗎？先不要忙著計算，咱們來玩?zhèn)€“假設(shè)游戲”，假設(shè)長方形A的長為a米，寬為6米（自己試著在圖形上標(biāo)出對應(yīng)的字母），則其面積為“a×b”平方米。同理，設(shè)長方形C的長為c米，寬為d米，則其面積為“c×d”平方米。同時可以發(fā)現(xiàn)，長方形B的面積為“b×c”平方米。長方形D的面積為“a×d”平方米。如果把A和C兩個長方形的面積相乘，得到“A×C=a×b×c×d”平方米。同樣把B和D兩個長方形的面積相乘，得到“B×D=b×c×a×d”平方米。

至此發(fā)現(xiàn)：A和C兩個長方形的面積相乘=B和D兩個長方形的面積相乘。因此，長方形D的面積為15×30÷18=25（平方米）。

怎么樣？有趣的問題是不是有趣地解決了呀？