一類四維多項(xiàng)式系統(tǒng)非雙曲奇點(diǎn)的穩(wěn)定性與分岔

陳曉鋒

（福州外語外貿(mào)學(xué)院公共教學(xué)部，福建福州350202）

常微分方程穩(wěn)定性理論和定性理論［1-6］是動(dòng)力系統(tǒng)的2個(gè)重要研究分支，是非線性科學(xué)基礎(chǔ)理論的一個(gè)范疇，并被運(yùn)用到生態(tài)系統(tǒng)［7-9］等各種領(lǐng)域.在平面系統(tǒng)中，目前已經(jīng)得到了一些基本的結(jié)論和結(jié)果，如極限環(huán)［4］和同宿軌分支［6］.但是在高維空間中，對(duì)應(yīng)的結(jié)果較少.對(duì)高維空間中的多項(xiàng)式微分系統(tǒng)進(jìn)行定性分析是困難的，因?yàn)樵诟呔S空間中，多項(xiàng)式微分系統(tǒng)軌線的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，比如2個(gè)極限環(huán)會(huì)出現(xiàn)二維平面系統(tǒng)所沒有的扭結(jié)現(xiàn)象.對(duì)這類問題，學(xué)界還沒有找到普遍適用的方法.

考慮一類自治非線性系統(tǒng)

其中F：R4→R4是光滑函數(shù).假定原點(diǎn)O是系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，即F（0）＝0.假定其雅克比行列式 DF（0）＝0具有兩對(duì)共軛虛根，也就是假定原點(diǎn)O是非雙曲奇點(diǎn).假定線性化后，（1）式可以轉(zhuǎn)化為

其中

bi是次數(shù)大于1的多項(xiàng)式，其線性化系統(tǒng)的解具有不變曲面

定義 1［5］平衡點(diǎn)O稱為柱形中心，若系統(tǒng)（2）具有R4中的形如（4）式的不變超曲面.

定義2［5］平衡點(diǎn) O稱為球形中心，若系統(tǒng)（2）具有 R4中的 F（x1，x2，x3，x4）＝c的環(huán)繞平衡點(diǎn)O的不變閉超曲面.

本文對(duì)一類四維3次微分方程的非雙曲奇點(diǎn)進(jìn)行分析，通過矩陣代數(shù)的方法得到了平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性與不變閉曲面分岔的產(chǎn)生條件.

1 非雙曲奇點(diǎn)的穩(wěn)定性

考慮系統(tǒng)

其中 bi（x1，x2，x3，x4），i＝1，2，3，4 都是關(guān)于 x1、x2、x3、x4的 3 次齊次多項(xiàng)式：

可以用矩陣的形式將上述系統(tǒng)寫為

其中

將（7）式轉(zhuǎn)置［10］可得

由于A＋AT＝0和Bi＋都是實(shí)對(duì)稱矩陣，其特征值都是實(shí)數(shù)，并且存在正交矩陣P：

記

從而有

且

注意到正交變換不影響解的穩(wěn)定性，可以得到原點(diǎn)O的穩(wěn)定性與Bi＋的正定性之間的關(guān)系.

定理 1.1系統(tǒng)（5）中，當(dāng)所有2，3，4是負(fù)定的，則原點(diǎn)O是漸近穩(wěn)定的；當(dāng)所有是正定的，則原點(diǎn) O 是不穩(wěn)定的.

證明取Lyapunov函數(shù)

則有

從以上定理的證明中，易得如下2個(gè)定理：

定理 1.2系統(tǒng)（5）中，當(dāng)中有一個(gè)是負(fù)定的，其余是半負(fù)定的，則原點(diǎn)O是穩(wěn)定的；當(dāng)中有一個(gè)是正定的，其余是半正定的，則原點(diǎn)O是不穩(wěn)定的.

定理 1.3當(dāng)則在R4中，系統(tǒng)（5）有一個(gè)不變閉超曲面：

即原點(diǎn)是一個(gè)球形中心.

定理1.4當(dāng)是不定矩陣，且具有至少一個(gè)正的特征值其它3個(gè)矩陣與之滿足

則原點(diǎn)O是不穩(wěn)定的.

證明情形1有一個(gè)正的特征值其余3個(gè)特征值分別為.

由條件可知：存在一個(gè)正交矩陣 P1＝（pij）4×4使得

記

則

因?yàn)?/p>

用 -y2、-y3、-y4分別替代 y2、y3、y4，并做轉(zhuǎn)置，可得

取

令

可見V在D的邊界上取值為0，而V在D的內(nèi)部是正定的，可得

并注意到

與｜P1｜＝1 以及

有

由假設(shè)條件有

故存在一個(gè)常數(shù)σ＞0，使

因此，原點(diǎn)O不穩(wěn)定.

情形2 B1＋有2個(gè)正的特征值與，其余2個(gè)特征值分別為負(fù)值＜0與＜0.對(duì)這個(gè)情形，只需將V函數(shù)取為

將區(qū)域D取為

即可得到證明.

事實(shí)上，從定理的證明中，發(fā)現(xiàn)只需要Bi＋其中之一具有定理 1.4 所需的性質(zhì)，其余矩陣與此矩陣的距離如上所示就可以得到與定理1.4相同的結(jié)論.并且A的條件可以降低到只要滿足A＋AT＝0，即A是反對(duì)稱陣即可.

2 不變閉超曲面分岔

考慮對(duì)系統(tǒng)（3）細(xì)微的擾動(dòng)，這個(gè)擾動(dòng)是

其中0＜λ?1，I是4×4單位陣.可以得到，在Bi＋都是負(fù)定的條件下，系統(tǒng)存在不變閉超曲面分岔.

定理 2.1當(dāng)都是負(fù)定的矩陣，則系統(tǒng)（33）在原點(diǎn)O處至少存在一個(gè)不變閉超曲面，且此不變超曲面具有性質(zhì)：存在δ＞0，曲面的δ鄰域U（Σ，δ）以之為ω極限集.

證明當(dāng) λ＝0時(shí)，系統(tǒng)（33）變?yōu)橄到y(tǒng)（5），由定理1.1知：原點(diǎn)O是漸近穩(wěn)定的，當(dāng)λ＞0，原點(diǎn)O不穩(wěn)定.記，則有 b≤a＜0.若 b＜a，取 ρ＞0，令

則H＝0是一個(gè)閉超曲面，沿著系統(tǒng)（33）的導(dǎo)數(shù)為