一“畫”知之本

江蘇無錫市勤新實驗小學 蔣燕霞

希爾伯特曾經(jīng)說過這樣一句話：“數(shù)學學科是一個不可分割的有機整體，它的生命力在于各個部分之間的聯(lián)系。”如果每節(jié)數(shù)學課都能從“關(guān)系”出發(fā)，將學習置于知識體系的建構(gòu)之中，學生獲得的就不是局部的、零散的知識，而是有結(jié)構(gòu)的知識。長此以往，學生的關(guān)系思維、邏輯思維等就能得到很好的滋養(yǎng)和發(fā)展。所以在平時的教學中，要充分發(fā)揮“畫”的作用。數(shù)量之間的關(guān)系，數(shù)與形的關(guān)系，平面和立體的關(guān)系，具體和抽象的關(guān)系，初級和高級的關(guān)系……一切數(shù)學似乎都可以歸結(jié)到“關(guān)系”里面來。

一、畫圖懂算理

畫圖的使用，要能夠結(jié)合學生當前的思維水平，抓住學生的已有知識作為生長點，并且要根據(jù)學生思維能力的不斷提高而進行變化。在開展數(shù)學教學的過程中，教師要依據(jù)不同的年級確定不同的目標，這樣才能夠循序漸進，最終培養(yǎng)出學生采用畫圖解決問題的意識。如教學蘇教版數(shù)學二年級上冊“認識平均分”時：在學生學習了例1后，教師出示例2的8個桃子圖，要平均分給4名同學，可以怎么分？教師可以放手讓學生在圖中分一分，再交流。學生通過在實物圖上分一分，使他們清楚地理解了平均分的意義，這是對學生理解能力的鍛煉，同時使得他們的口頭表達能力也得到了顯著提高。

教師要在平時的課堂練習過程中，注重培養(yǎng)學生畫圖解題的意識，這對學生形成解答數(shù)學問題的能力具有重要作用。讓學生在平時自己解決問題的過程中，能夠養(yǎng)成在審題時隨手畫圖的思路，利用畫圖的形式使解決問題的過程變得既簡潔，又直觀形象。教師在教學中采用“數(shù)形結(jié)合”的方法，引導學生用畫圖的形式來表示分數(shù)乘分數(shù)的意義，并且引導學生用分數(shù)乘法算式表示畫有陰影的圖所要表達的意義，以此來鞏固“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”的分數(shù)乘法的意義，讓學生能夠不僅掌握分數(shù)乘分數(shù)的計算過程，更能清楚地理解每一個分數(shù)的意義。如在教學蘇教版數(shù)學六年級上冊“分數(shù)乘法”單元例4，和時，教師讓學生結(jié)合圖形，先說一說每個分數(shù)表示的意義，深刻地理解這兩個算式的意義，再根據(jù)圖形寫出計算結(jié)果，這樣能更好地引導學生弄明白這些算式的積的意義。

數(shù)形結(jié)合思想每個數(shù)學教師都有，但這個結(jié)合的過程絕對不是單純地由抽象變?yōu)橹庇^的過程，而應(yīng)該是“抽象→直觀→抽象”這樣一個過程，將“以形論數(shù)”和“以數(shù)表形”進行有效結(jié)合。學生只有在經(jīng)歷了數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)換，才能真正地感知“數(shù)形結(jié)合”帶來的好處，才能自主地運用數(shù)形結(jié)合思想來解決問題。

二、畫圖理方法

在日常教學中，教師為了讓學生自然、形象地認識示意圖或線段圖，真正地體會到畫圖的作用，我們往往會用教具將“圖”進行初始化。教師經(jīng)常用擺小棒的方法引導學生抽取出線段圖的模型，進而引導學生整理思路，找到解決問題的辦法。這樣，讓那些找不到解題思路的學生的思維有了依據(jù)，有了條理，產(chǎn)生“柳暗花明又一村”的感慨。其實，學生學會運用畫圖策略解決復雜數(shù)學問題不是一蹴而就的，而是一個循序漸進的過程。在問題中如何有效地提煉信息，轉(zhuǎn)化成合理的圖像和形象的形式表達題意，在邏輯思維能力和動手實踐能力這兩方面，對學生都有著比較高的要求。所以，教師在平時的教學過程中，要注重培養(yǎng)學生運用畫圖解決問題的能力。

蘇教版數(shù)學六年級下冊“解決問題的策略——假設(shè)”中的“雞兔同籠問題”，是本冊書上的一個教學難點。在教學這個內(nèi)容時就可以利用畫圖的方法，讓學生把題目中的信息先畫出來再思考，這樣解決起來會容易很多。通過畫圖能比較清楚地顯示出數(shù)量關(guān)系，畫圖示意法既能提高學生的動手能力，又能鍛煉學生的分析能力。在教學例題2時，除了給學生介紹假設(shè)法、一一列舉法，先假設(shè)再調(diào)整，筆者還給學生介紹了畫圖的方法。學生小蕊畫出了一幅圖畫：假設(shè)10條船都是大船，一共可以坐50人，比實際42人多了8人，每條大船比每條小船多2人，所以有四條小船被看成了大船，因此大船就是6條。

師：用圓圈來表示人，那么，不管大船小船具體有幾只，我們首先要畫幾個圓圈？

師：每個圓圈里畫5個小圓圈，這樣就有多少人？

師接著畫，邊畫邊數(shù)：1，2，……

師：實際有42人，多了幾人？

師（引導）：再看！小蕊為什么要在這四條船上每條撇去2個小圓？

師（強調(diào)）：我們得2個2個地去。

師：看來，畫圖是個好方法！

這部分內(nèi)容的教學是在六年級進行的，針對高年級學生，教師就可以充分發(fā)揮學生的自主權(quán)，鼓勵學生用畫圖來分析解決問題，培養(yǎng)學生獨立畫一個正確、完整的線段圖或示意圖的能力。教師在指導學生畫圖時，應(yīng)該“想方設(shè)法”“千方百計”，因為小學階段學生的思維還處于初級階段，教師應(yīng)該結(jié)合學生的思維特征，利用畫圖的直觀性、表象性來幫助學生理解抽象的等量關(guān)系。同時，教師也應(yīng)該把握好時機，幫助學生獲得畫圖的基本方法和技能，真正成為學生學習的引導者。

三、畫圖明關(guān)系

畫圖的使用能夠有效地幫助學生理解數(shù)學題目的含義，提高學生的語言表達能力，還可以通過看圖列出算式，使學生能較清晰地表達題意和數(shù)量關(guān)系。如蘇教版數(shù)學四年級下冊“解決問題的策略”這一單元中，學生在學習例2時，要引導學生根據(jù)題目的條件和問題，先用示意圖表示條件和問題，畫圖時理清“長增加了3米，面積就增加了18平方米”這句話，根據(jù)這句話，能知道什么信息？如果憑空想，很多學生想不明白這可以知道寬的米數(shù)。對于四年級學生，教師可以對他們提出一些更高的要求，嘗試自己畫示意圖。有了示意圖，就能很清楚地從圖上知道，增加的面積除以增加的長，得到原來的寬。利用示意圖來對題目中的數(shù)量關(guān)系進行分析，對題目的含義就會有進一步的理解。

如在學習蘇教版數(shù)學六年級上冊“列方程解決稍復雜的百分數(shù)實際問題”例11時，六年級學生已經(jīng)有一定的畫圖經(jīng)驗，教師完全可以放手讓學生畫線段圖，然后結(jié)合線段圖正確理解題意，厘清數(shù)量關(guān)系，幫助學生理解“1+20%”的含義。引導學生會畫圖表示“增加百分之幾”的意義，學會畫線段圖解決稍復雜的百分數(shù)實際問題。

從以上線段圖中學生能很快地看出單位“1”是指原計劃植樹的棵數(shù)，并且能體會到實際植樹棵數(shù)就是原計劃的120%，從而寫出正確的數(shù)量關(guān)系，找到合適的解題方法。

“數(shù)無形時不直觀，形無數(shù)時難入微?！边@是我國著名數(shù)學家華羅庚先生所講的一句話。這句話充分表明了在數(shù)學教學過程中，畫圖策略具備重要的教學意義。它與學生的學習需求與成長需要是非常契合的，所以，教師要高度重視培養(yǎng)學生的畫圖策略意識。同時，在實際教學過程中，教師不能生搬硬套地向?qū)W生傳授畫圖策略，要在對畫圖策略深刻理解與研究的基礎(chǔ)上靈活應(yīng)用，突破創(chuàng)新，從而提高學生利用畫圖策略解決問題的能力，促進學生數(shù)學思維能力的發(fā)展。