基于相關(guān)性分析的高精度相位求取方法

章程 王景霖 徐麗清 沈勇 /1 中國(guó)航空工業(yè)集團(tuán)公司上海航空測(cè)控技術(shù)研究所 2 故障診斷與健康管理技術(shù)航空科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室

0 引言

旋翼平衡對(duì)于直升機(jī)非常重要，旋翼的不平衡會(huì)加劇直升機(jī)的振動(dòng)程度，造成飛行員的不適或直升機(jī)機(jī)械部件的磨損加劇[1-2]。相位是旋翼動(dòng)平衡調(diào)整的兩個(gè)關(guān)鍵參數(shù)之一，另外一個(gè)為調(diào)整量。通過(guò)相位和調(diào)整量可以得出旋翼系統(tǒng)的不平衡點(diǎn)，通過(guò)矢量分解和一定規(guī)則可以得到調(diào)整建議[3]。相位的不準(zhǔn)確或者不精確會(huì)影響旋翼動(dòng)平衡調(diào)整效果，嚴(yán)重時(shí)導(dǎo)致越調(diào)越差，甚至完全錯(cuò)誤[4]。

為了獲取高精度的相位信息，本文首先分析現(xiàn)有常用的離散傅里葉求取相位在速度和精度上的局限性，針對(duì)這些局限，從信號(hào)相位求取原理出發(fā)，研究出一種快速、高精度的基于信號(hào)相關(guān)性的相位求取方法，最后通過(guò)理論分析和舉例說(shuō)明驗(yàn)證本文提取方法的有效 性。

1 旋翼平衡調(diào)整分析

直升機(jī)旋翼由幾片槳葉構(gòu)成，由于存在槳葉規(guī)格不完全一致、裝配誤差等原因，在旋翼旋轉(zhuǎn)平面上會(huì)有一個(gè)不平衡質(zhì)心，如果這個(gè)不平衡質(zhì)心較大或者偏離旋翼平面中心較遠(yuǎn)，將影響旋翼的工作性能，甚至造成旋翼無(wú)法工作。

由于不平衡質(zhì)心偏離旋翼旋轉(zhuǎn)中心，在旋翼的轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，質(zhì)心產(chǎn)生一個(gè)離心力，通過(guò)旋翼結(jié)構(gòu)帶動(dòng)整個(gè)機(jī)體振動(dòng)，振動(dòng)過(guò)大時(shí)需要進(jìn)行旋翼動(dòng)平衡調(diào)整。通常是在質(zhì)心關(guān)于軸心對(duì)稱位置進(jìn)行配重，以減低旋翼引起的振動(dòng)，而配重的位置和大小通過(guò)振動(dòng)信號(hào)的幅值和相位換算得到。通常的做法是在直升機(jī)旋翼附近位置安裝振動(dòng)加速度（速度）傳感器、轉(zhuǎn)速傳感器，通過(guò)轉(zhuǎn)速信號(hào)來(lái)截取振動(dòng)信號(hào)，求取振動(dòng)信號(hào)的相位和幅值。

為簡(jiǎn)要說(shuō)明，可以通過(guò)振動(dòng)加速度信號(hào)獲取旋翼動(dòng)平衡調(diào)整建議，需對(duì)旋翼轉(zhuǎn)動(dòng)進(jìn)行受力分析，以一圓盤作為直升機(jī)旋翼轉(zhuǎn)動(dòng)平面的簡(jiǎn)化模型，分析不平衡狀態(tài)下的振動(dòng)信號(hào)的特點(diǎn)，如圖1所示。在圓盤某個(gè)位置貼上反光條或磁片作為起始位置，在水平方向安裝振動(dòng)加速度傳感器、光電或磁電轉(zhuǎn)速傳感器。

隨著圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)，不平衡質(zhì)心會(huì)產(chǎn)生一個(gè)離心力，使圓盤的軸心軌跡產(chǎn)生周期性的變化。為了更好地進(jìn)行說(shuō)明，假設(shè)圓盤的恒定轉(zhuǎn)速為ω，圓盤/直升機(jī)整體質(zhì)量為M1，不平衡質(zhì)心為A，質(zhì)量為m1，則質(zhì)心A 在旋翼轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的離心力F 為：

離心力F 帶動(dòng)整個(gè)直升機(jī)的振動(dòng)，假設(shè)直升機(jī)整機(jī)的加速度為a，即加速度傳感器采集的加速度a，則有

圖1 圓盤不平衡狀態(tài)受力分析

隨著圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)，加速度a 呈現(xiàn)周期性變化，信號(hào)如圖2 所示。然而在直升機(jī)動(dòng)平衡調(diào)整測(cè)試過(guò)程中，實(shí)際采集的振動(dòng)信號(hào)與轉(zhuǎn)速信號(hào)可能不同步，旋翼轉(zhuǎn)動(dòng)平面（圓盤）不平衡質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的振動(dòng)信號(hào)（能量）從振動(dòng)源傳遞到傳感器上可能需要一定的時(shí)間，這些都會(huì)導(dǎo)致信號(hào)延時(shí)，表現(xiàn)為一定的初始相位。雖然該相位和本文提到的相位求解有關(guān)，但由于該初始相位隨著振動(dòng)加速度傳感器、轉(zhuǎn)速傳感器的安裝位置的確定而確定，不會(huì)隨著旋翼轉(zhuǎn)動(dòng)而變化，對(duì)本文求解相位影響很小，可以暫不考慮。

2 傅里葉變換求取相位的局限性

信號(hào)的相位通常是通過(guò)傅里葉變換求得。信號(hào)經(jīng)過(guò)傅里葉變換后，通過(guò)聯(lián)立對(duì)應(yīng)的余弦系數(shù)（實(shí)部）與正弦系數(shù)（虛部）可以得到相位。由于計(jì)算機(jī)只能處理離散形式的數(shù)據(jù)，相位是通過(guò)離散傅里葉變換得到的。假設(shè)存在一個(gè)序列x（n），其離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT）定義為：

逆離散時(shí)間傅里葉變換（IDTFT）定義為：

兩組患者術(shù)前的空腹血糖值、餐后2 h血糖值及糖化血紅蛋白值均相當(dāng)，均差異無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P>0.05）；兩組患者術(shù)后的空腹血糖值、餐后2 h血糖值及糖化血紅蛋白值均有顯著改善，且改善程度顯著優(yōu)于對(duì)照組，均差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P<0.05）。見表1。

自然指數(shù)的冪級(jí)數(shù)ejw可以利用歐拉公式轉(zhuǎn)化為正弦形式，歐拉公式如下：

式（6）的矩陣形式為：

從式（7）可以看出，傅里葉變換是以序列x（n）的長(zhǎng)度作為一個(gè)周期（基頻），然后構(gòu)造與序列相同點(diǎn)數(shù)的1 倍頻、2 倍頻、…、K 倍頻正弦函數(shù)基（實(shí)部為余弦，虛部為正弦），通過(guò)這些正弦函數(shù)基和序列相乘得出相關(guān)性系數(shù)，如圖3 所示。將旋翼旋轉(zhuǎn)頻率（如w0）代入到式（7）可以得出此頻率點(diǎn)上的實(shí)部與虛部，繼而得到此點(diǎn)的幅值與相位φ0。

傅里葉變換求相位，首先會(huì)截取一定長(zhǎng)度的采樣數(shù)據(jù)作為序列x（n）（如210=1024 個(gè)點(diǎn)），但不能確保這段序列剛好是整數(shù)個(gè)周期（如圖3 中的非整數(shù)周期）數(shù)據(jù)，因此對(duì)這種非整數(shù)周期數(shù)據(jù)做傅里葉變換求取相位是不準(zhǔn)確的。假設(shè)存在一個(gè)采樣率為100Hz、10個(gè)周期的余弦信號(hào)cos（x+30/180π），即此信號(hào)有30°的初始相位（見圖4），然后對(duì)此信號(hào)進(jìn)行截取，截取兩個(gè)整數(shù)周期之間的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)，依次做傅里葉變換求取相位，驗(yàn)證由非整數(shù)周期數(shù)據(jù)做傅里葉變換求相位的不準(zhǔn)確 性。

圖2 圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)下的振動(dòng)加速度信號(hào)

圖3 整數(shù)周期與非整數(shù)周期數(shù)據(jù)傅里葉變換

依次取5 個(gè)周期（500 點(diǎn)）～6 個(gè)周期（600 點(diǎn)）之間的數(shù)據(jù)，使用快速傅里葉變換（FFT）求取相位，得到的相位如圖5 所示。從圖5 可以看出，取整數(shù)周期數(shù)據(jù)（500 點(diǎn)、600 點(diǎn)）做FFT 求取的相位為30°，為正確的相位，但取500 和600 之間非整數(shù)周期做FFT 求取相位會(huì)得到不同的相位值。以上分析說(shuō)明，對(duì)非整數(shù)個(gè)周期的信號(hào)做傅里葉變換求取相位存在缺陷，將得到不準(zhǔn)確的相位。另外，對(duì)有限個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)做傅里葉變換只會(huì)得到一定的相位分辨率，最終求得的相位精度 有限。

在旋翼動(dòng)平衡調(diào)整中，某些設(shè)備通常是采用FFT 求取相位的。由于旋翼轉(zhuǎn)速不穩(wěn)定，每次取的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)并不能保證都是相同的周期數(shù)，導(dǎo)致用FFT 求取相位存在一定的誤差。因此，在旋翼動(dòng)平衡調(diào)整中，即使是對(duì)同一狀態(tài)試驗(yàn)，用FFT 求相位也會(huì)得到不一樣的 結(jié)果。

圖4 采樣率為100Hz、10個(gè)周期余弦信號(hào)

3 基于相關(guān)性的高精度相位求取

3.1 高精度相位求取原理

傅里葉變換原本就是求信號(hào)與余弦、正弦函數(shù)集合的相關(guān)性系數(shù)，為此相位求取可以通過(guò)與余弦、正弦函數(shù)做相關(guān)性分析得到。另外，由于直升機(jī)旋翼等旋轉(zhuǎn)部件的位移、速度、加速度信號(hào)是周期性的，這些信號(hào)的相位可以通過(guò)與標(biāo)準(zhǔn)正弦信號(hào)做相關(guān)性計(jì)算得到。通過(guò)平移標(biāo)準(zhǔn)正弦信號(hào)與被測(cè)信號(hào)做乘積，即兩個(gè)信號(hào)的卷積，可以得到周期性的相關(guān)性系數(shù)，當(dāng)相關(guān)性系數(shù)最大時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)的相位即為被測(cè)信號(hào)的相位，如圖6 所示。

圖6 通過(guò)相關(guān)性系數(shù)求取相位

圖7 高精度相位求取示意圖

3.2 基于相關(guān)性的高精度相位求取過(guò)程

在傅里葉變換求相位過(guò)程中計(jì)算所有頻率點(diǎn)的值會(huì)占用一定的計(jì)算時(shí)間，但旋翼平衡調(diào)整中只需要求取旋翼轉(zhuǎn)動(dòng)頻率點(diǎn)的相位，這導(dǎo)致傅里葉變換大部分的計(jì)算結(jié)果是用不到的。傅里葉變換是求信號(hào)和余弦信號(hào)、正弦信號(hào)的相關(guān)性系數(shù)。為此，針對(duì)旋翼動(dòng)平衡調(diào)整中相位的計(jì)算問(wèn)題，可以通過(guò)構(gòu)建一組特別的余弦、正弦信號(hào)，先通過(guò)與余弦、正弦信號(hào)求相關(guān)性系數(shù)取得初步相位，然后微調(diào)具有初步相位的正弦函數(shù)的平移步長(zhǎng)，求最大相關(guān)性以獲取高精度的相位，具體步驟如下。

1）截取信號(hào)的整數(shù)個(gè)周期的數(shù)據(jù)：在旋翼平衡調(diào)整過(guò)程中，先通過(guò)轉(zhuǎn)速信號(hào)換算出旋翼轉(zhuǎn)速ω，并通過(guò)轉(zhuǎn)速脈沖數(shù)據(jù)截取旋翼M 個(gè)整數(shù)旋轉(zhuǎn)周期、包含N 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的振動(dòng)加速度信號(hào)，通過(guò)異常點(diǎn)剔除、濾波等預(yù)處理，得到信號(hào)為xInt。

2）求取相關(guān)性系數(shù)：構(gòu)造M 個(gè)周期的包含N 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的零相位余弦信號(hào)xcos與正弦信號(hào)xsin，通過(guò)式（6）求xInt與xcos、xsin的相關(guān)性系數(shù)。

3）初步相位求?。和ㄟ^(guò)反正切函數(shù)計(jì)算，并根據(jù)相關(guān)系數(shù)［Corrcos，Corrsin］所在的象限，可以得到在0°～ 360°的初步相位值φ0。

根據(jù)［Corrcos，Corrsin］所在象限得到

4）高精度相位求取：構(gòu)建具有初步相位φ0的正弦信號(hào)sin（x+φ0），在一個(gè)正負(fù)相位分辨之間，逐步平移此正弦信號(hào)，求與振動(dòng)加速度信號(hào)xInt的相關(guān)性系數(shù)，假設(shè)在sin（x+φ0+mΔθ）時(shí)取得最大相關(guān)性系數(shù)，則此刻正弦信號(hào)的相位φ0+mΔθ 為該被測(cè)信號(hào)的相位。

4 相位精度分析與驗(yàn)證

受計(jì)算速度的限制，傅里葉變換通常只取有限個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，只能得到一定的頻譜分辨率和一定的相位分辨率。例如，某信號(hào)為y=sin（x+30.1°），一個(gè)周期抽樣1000 個(gè)點(diǎn)，則一個(gè)周期360°對(duì)應(yīng)1000 個(gè)點(diǎn)，相位分辨率為360/1000=0.36°，經(jīng)過(guò)FFT 后，求取相位為30.24°，而不是30.1°，具體原因?yàn)椋?/p>

1）相位分辨率：360/1000=0.36°；

2）具體點(diǎn)數(shù)：30.1/0.36= 83.6111，F(xiàn)FT 變換后只能取最接近的整數(shù)為84；

3）求取的相位：84×0.36= 30.24°。

使用傅里葉變換（如FFT）求相位的方法得到的相位分辨率為360°/ 1000=0.36°，如采用本文提出高精度相關(guān)性求相位方法，當(dāng)Δθ 取360°/ 10000=0.036°，求得相位的精確度是FFT方法的10 倍。

特別是當(dāng)一個(gè)周期內(nèi)數(shù)據(jù)點(diǎn)不多時(shí)，高精度相關(guān)性求相位方法相比于FFT 求相位在相位精度的提升上將會(huì)非常明顯。例如，一個(gè)周期只有83 個(gè)點(diǎn)，這時(shí)FFT 的相位分辨率為360°/ 83=4.3373°，但利用高精度相關(guān)性求相位方法可以取Δθ=360°/1000=0.036°，相位求解精度提高了12 倍多。這說(shuō)明本文提出的方法能夠顯著提高低采樣率情況下的相位精度。

5 總結(jié)

處于工作時(shí)的旋轉(zhuǎn)部件如直升機(jī)旋翼通常轉(zhuǎn)速不恒定，即使轉(zhuǎn)速恒定也不能保證為做FFT 而選取的數(shù)據(jù)剛好為整數(shù)個(gè)旋轉(zhuǎn)周期。對(duì)非整數(shù)周期數(shù)據(jù)做離散傅里葉變換求取相位存在不確定性，同時(shí)受數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)的限制，求取的相位精度有限。為此，本文從信號(hào)求相位原理出發(fā)，根據(jù)轉(zhuǎn)速脈沖取整數(shù)個(gè)周期的信號(hào)，與同樣整數(shù)個(gè)周期的標(biāo)準(zhǔn)余弦信號(hào)、余弦信號(hào)做相關(guān)性求取初步相位，構(gòu)造整數(shù)個(gè)周期、具有初步相位的正弦函數(shù)，在正負(fù)一個(gè)相位分辨率之間，微平移該正弦信號(hào)與被測(cè)信號(hào)求最大相關(guān)性系數(shù)，從而得到高精度相位。通過(guò)分析和案例驗(yàn)證，本文提出的方法具有兩點(diǎn)優(yōu)勢(shì)：1）不需要FFT，只需要和正弦、余弦信號(hào)求一次相關(guān)性系數(shù)就可以得到用FFT 求得的初步相位，計(jì)算量大大降低；2）根據(jù)需要，設(shè)計(jì)微平移步數(shù)長(zhǎng)度，可以得到高精度的相 位。