兩種改善CEEMD端點效應方法的研究分析

嚴開軍,譚康熹,單德山

(1.中電建路橋集團工程設計研究院,北京 100048;2.西南交通大學土木工程學院，四川成都 610031)

經(jīng)驗模態(tài)分解[1](Empirical Mode Decomposition，IMF)是1998年由Huang等提出的一種時頻分析方法。它用不同特征尺度的數(shù)據(jù)序列本征模函數(shù)(Instrinsic Mode Function)分量來逐級分解信號。雖然EMD具有很多優(yōu)點，但在實際應用中存在“端點效應”等問題，即在運用經(jīng)驗模態(tài)分解的過程中，因信號兩端點不一定是極值點，導致構成上、下包絡的三次樣條曲線在數(shù)據(jù)序列的兩端出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象，并且這種發(fā)散的結果會逐漸向內(nèi)“污染”數(shù)據(jù)而使得結果嚴重失真[2]。

Yeh[3]等提出了一種補充的總體平均經(jīng)驗模態(tài)分解方法(Complementary Ensemble Empirical Mode Decomposition，CEEMD)，CEEMD主要是通過向原信號添加兩對相反的白噪聲信號分別進行EMD分解，然后將分解的結果進行組合即可得到最終的本征模函數(shù)(IMF)。利用CEEMD分解可明顯提升重構信號的完備性，完備性好即意味著信號的重構誤差小，而此時的分解效果與總體平均經(jīng)驗模態(tài)分解(Ensemble Empirical Mode Decomposition，EEMD)相當。

國內(nèi)外有許多學者對CEEMD的端點效應問題進行了深入的研究[4]。當前，用于CEEMD端點效應的處理方法有平行延拓法、多項式延拓法、鏡像對稱延拓、邊界局部特征尺度匹配延拓等。本文選擇鏡像對稱延拓與邊界局部特征尺度匹配延拓進行對比分析，最終得到一些對實際工程應用有指導意義的結論。

1 CEEMD方法

CEEMD建立在EMD基礎之上，由以下幾個步驟構成：

步驟1：向原信號中加入n組正、負成對的高斯白噪聲，經(jīng)過EMD分解后生成兩大組IMF：

式中：x1為加入正負成對高斯白噪聲信號后合成的信號；加入正負成對高斯白噪聲信號后合成的信號；x為原始信號；x為高斯白噪聲。

步驟2：對集合中每一個信號都做一次EMD分解，每個信號都會得到一組IMF分量，其中第i個信號的第j個IMF分量用cij表示。

步驟3：通過多組分量組合的方式得到第j個IMF分量:

CEEMD具有EMD的二進濾波作用，即首先分解出的第一個IMF分量IMF1，其頻率段是信號中最高的頻率段，中心頻率為f1，第二個分量分解的頻率是第一個的1/2，因此分量IMF2的中心頻率f1=f2/2,而分量IMF3的中心頻率為f3=f2/2,依次類推就是EMD的濾波器作用。

2 兩種處理端點效應的方法

本論文將兩種改善CEEMD端點效應的方法在Matlab上實現(xiàn)，并進行比較研究：

(1)鏡像對稱延拓：以信號兩端的邊界為對稱，把信號向外映射，得到原始信號的鏡像，形成一個閉合的曲線，從而得到完整的包絡曲線。

(2)邊界局部特征尺度延拓:把調(diào)幅趨勢和端點處局部極值點的時間間隔相結合，在信號兩端分別添加一對極大值點和極小值點。

3 “端點效應”數(shù)值指標

本論文采用平均相對誤差RMSE_IMF[5]、相似系數(shù)corr_IMF[5]、程序運行時間T來評價兩種處理“端點效應”的處理效果。

(1)平均相對誤差：經(jīng)CEEMD分解后的到的各IMF分量和原始信號分量之間的平均相對誤差。

式中：N表示信號的總個數(shù)；xi(k)表示原始信號中第i個分量；IMFi(k)表示CEEMD分解后得到的相應分量。RMSE_IMFi越小，說明端點效應的抑制越好。

(2)相似系數(shù)：計算經(jīng)CEEMD 分解后各分量信號與對應的原始信號之間的相似系數(shù)corr_IMF信號的包絡發(fā)生形狀畸變，引起“端點效應”，從而使各個分量的分解不準確?？梢员容^經(jīng)CEEMD分解后的各IMF分量和原信號分量之間的相似度，來評價兩種“端點效應”算法的處理效果。

式中：cov(·)表示協(xié)方差；σ(·)表示方差；IMFi表示信號經(jīng)過CEEMD分解后的第i個模態(tài)分量；xi為相對應的原始信號組成分量。corr_IMF值越大，說明端點效應的抑制越好。

(3)程序運行時間：不同“端點效應”處理算法的實際運行時間以滿足實際工程應用當中的實時性。

4 仿真實驗分析

本文在Matlab平臺上做仿真實驗時選擇了合成的調(diào)幅信號，其表達式如下：

x(t)=sin(2π×150t)+(1+0.2×sin(2π×10t))×

cos (2π×50t+0.5sin (2π×20t))

該仿真信號是由周期信號sin(2π×150t)與調(diào)幅信號(1+0.2×sin(2π×10t))×cos (2π×50t+0.5sin(2π×20t))組合而成的。其中：采樣點數(shù)為250，采用頻率為1 000 Hz，在Matlab上實現(xiàn)的原始信號時域波形如圖1所示。

圖1 合成信號及分量

為了比較研究兩種“端點效應”處理方法的抑制效果，將兩種方法與未做“端點效應”處理進行對比，得出了圖2～圖5實驗分析結果。圖中的紅線表示未做邊界處理的結果，藍線代表經(jīng)鏡像對稱延拓處理后的結果，綠線代表經(jīng)邊界局部特征尺度匹配延拓處理后的結果。

圖2 不同“端點效應”方法IMF1整體對比

圖3 不同“端點效應”方法IMF1局部對比

圖4 不同“端點效應”方法IMF2整體對比

圖5 不同“端點效應”方法IMF2局部對比

由以上各仿真實驗實驗結果圖像可知：鏡像對稱延拓與邊界局部特征尺度匹配延拓都有效改善了CEEMD的“端點效應”問題，但是邊界局部特征尺度匹配延拓法在處理“端點效應”時抑制效果最佳。

表1給出了上述兩種方法的數(shù)值分析評價指標。

表1 “端點效應”數(shù)值指標分析

由表1的數(shù)值分析表可以看出：在合成的調(diào)幅仿真信號上，邊界局部特征尺度匹配延拓法的平均相對誤差最小，相似系數(shù)最大，平均相對誤差最小，程序運行時間最短。

5 結論

通過鏡像對稱延拓法與邊界局部特征尺度匹配延拓法的圖像與數(shù)值指標與“端點效應”不做處理的對比分析可知：邊界局部特征尺度匹配延拓法的分解精度最高，經(jīng)CEEMD分解后的各IMF分量和原信號分量之間的相似度最高，經(jīng)CEEMD分解后的到的各IMF分量和原始信號分量之間的平均相對誤差最小，且程序運行時間最短。因此，在本論文所用的仿真信號上邊界局部特征尺度匹配延拓法對“端點效應”的抑制效果最好。所以在實際的工程中，遇到與本論文的仿真信號類似的信號時，可優(yōu)先考慮使用邊界局部特征尺度匹配延拓法對實際的信號進行“端點效應處理”。