MIMO多向中繼信道在完整數(shù)據(jù)交換模型下的自由度*

李勇，袁曉軍

(1 中國(guó)科學(xué)院上海微系統(tǒng)與信息技術(shù)研究所, 上海 200050； 2 上?？萍即髮W(xué)信息學(xué)院，上海 201210；3 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 101408； 4 電子科技大學(xué)通信抗干擾技術(shù)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 611731)

多向中繼信道模型(multiway relay channel, mRC)[1-2]主要有以下兩種數(shù)據(jù)交換模型：成對(duì)的數(shù)據(jù)交換模型，即兩個(gè)用戶相互交換信息；完整的數(shù)據(jù)交換模型，即一個(gè)用戶將相同的信息廣播給多個(gè)用戶。此模型在實(shí)際應(yīng)用中普遍存在。例如，社交網(wǎng)絡(luò)中，多個(gè)小組的用戶希望在同組中共享文件。由于網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)配置有多根天線，多輸入多輸出(multiple input multiple output, MIMO)mRC可以極大地提高復(fù)用增益。但是由于中繼信道的信道容量難以刻畫[3]，所以很多工作集中在模型自由度(degree of freedom, DoF)的分析上，即高信噪比下的性能特點(diǎn)。簡(jiǎn)單說，網(wǎng)絡(luò)的DoF是網(wǎng)絡(luò)中可以支持的獨(dú)立數(shù)據(jù)流數(shù)目[4]。

目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)于mRC的DoF分析已經(jīng)有了一些結(jié)果，但是大多數(shù)研究集中在成對(duì)的數(shù)據(jù)交換模型[5-9]中，尤其是基于成對(duì)數(shù)據(jù)交換模型的一種特殊模型，Y-信道模型[10-11]。并且由于成對(duì)數(shù)據(jù)交換模型上行和下行鏈路是對(duì)稱的，所以大多數(shù)工作集中在全雙工通信模型。相比來說，對(duì)于完整數(shù)據(jù)交換模型的分析相對(duì)較少，并且由于完整數(shù)據(jù)交換模型上行和下行鏈路是非對(duì)稱的，分析半雙工通信下系統(tǒng)可達(dá)的DoF也非常重要。文獻(xiàn)[12]給出全雙工通信下有多個(gè)用戶集群的完整數(shù)據(jù)交換模型一個(gè)可達(dá)的DoF。對(duì)于有多個(gè)用戶集群，每個(gè)用戶集群中有多個(gè)用戶的信道模型，通過設(shè)計(jì)信號(hào)對(duì)齊，給出此模型一個(gè)一般化的結(jié)果。文獻(xiàn)[13]分析半雙工通信下有一個(gè)用戶集群，用戶集群中有多個(gè)用戶的完整數(shù)據(jù)交換模型的DoF。此模型中，對(duì)于每一個(gè)用戶來說，沒有來自于其他用戶集群的干擾信號(hào)。作者推出此模型在半雙工通信下的DoF容量，即驗(yàn)證了此模型的割集上界是可達(dá)的。并且當(dāng)上行和下行時(shí)隙相等時(shí)，作者將半雙工通信的結(jié)果推廣到全雙工通信。由于有多個(gè)用戶集群的完整數(shù)據(jù)交換模型比較復(fù)雜，直接分析其DoF比較困難，文獻(xiàn)[14]結(jié)合優(yōu)化算法[15]推出一個(gè)優(yōu)化的結(jié)果。但是此算法僅對(duì)全雙工通信有效，對(duì)于半雙工通信下的DoF仍然未知。

本文研究半雙工通信下兩個(gè)用戶集群，每個(gè)用戶集群中多個(gè)用戶的MIMO mRC在完整數(shù)據(jù)交換模型下可達(dá)的DoF。同時(shí)對(duì)于全雙工通信，假設(shè)每個(gè)結(jié)點(diǎn)可以進(jìn)行自干擾消除。所以當(dāng)上行和下行時(shí)隙相等時(shí)，半雙工通信的結(jié)果可以推廣到全雙工通信，即此時(shí)全雙工通信的結(jié)果是半雙工通信的2倍。將半雙工通信下上行和下行時(shí)隙相等的結(jié)果推廣到全雙工通信，并且驗(yàn)證該信號(hào)對(duì)齊方案可以達(dá)到全雙工通信目前最優(yōu)的結(jié)果。

1 系統(tǒng)模型

1.1 信道模型

圖1 兩個(gè)用戶集群，每個(gè)集群中K個(gè)用戶的MIMO mRC 模型 Fig. 1 The MIMO mRC with two clusters each of which contains K users

考慮物理層網(wǎng)絡(luò)編碼[16]，整個(gè)數(shù)據(jù)交換包含兩個(gè)傳輸鏈路，即上行鏈路和下行鏈路。上行鏈路所有用戶將信號(hào)發(fā)送給中繼,下行鏈路中繼將信號(hào)廣播給所有用戶。假設(shè)上行和下行鏈路分別包含Tu和Td個(gè)時(shí)隙，則在第t個(gè)時(shí)隙，信道模型可以表示為

(1)

(2)

由于上行和下行鏈路分別包含Tu和Td個(gè)時(shí)隙，上述信道模型簡(jiǎn)化為

(3)

(4)

Hjk=diag{Hjk(1),…,Hjk(Tu)}

1.2 用戶端和中繼端的預(yù)處理

假設(shè)用戶Γjk發(fā)送信號(hào)Wjk給同一集群j中其他所有用戶，并且希望收到來自集群j中其他所有用戶發(fā)送的信號(hào)Wjk′，其中k′∈IK(〗k}，本文中符號(hào)AB表示從集合A中排除集合B。

(5)

接下來考慮中繼端的處理。為了描述方便，引入以下符號(hào)：

Mj=[Hj1Uj1,…,HjKUjK],j∈IL，

(6a)

(6b)

M=[M1,M2]，

(6c)

(6d)

PjyR=PjMjx′j+PjzR，

(7)

其中x′j=[x′j1,…,x′jK]T。式中，通過投影，集群j′≠j中的信號(hào)被去除了。

因此，中繼端發(fā)送的信號(hào)為

(8)

式中：α為中繼端滿足功率限制的縮放因子。

最終，用戶Γjk收到的信號(hào)為

(9a)

(9b)

1.3 自由度

由于MIMO mRC的香農(nóng)容量很難刻畫，因此本文主要分析網(wǎng)絡(luò)的DoF。簡(jiǎn)單來說，網(wǎng)絡(luò)的DoF是網(wǎng)絡(luò)中可以支持的獨(dú)立信息流數(shù)目。

(10)

式中：Cjk(P)單位是bit，log表示對(duì)數(shù)以2為底，同時(shí)，定義每個(gè)用戶可達(dá)到的DoF為

(11)

式中：duser表示用戶收到的獨(dú)立的數(shù)據(jù)流數(shù)目。

注意：考慮全雙工通信時(shí)，此信道模型的一個(gè)割集上界[12]為dsum≤min(KLM,KN)，即平均每個(gè)用戶收到的DoF為

(12)

2 問題討論

2.1 初期討論

分別對(duì)上行和下行鏈路進(jìn)行分析。

結(jié)合以上對(duì)上行和下行鏈路的分析，如果設(shè)計(jì)上行預(yù)處理矩陣Ujk和下行接收處理矩陣Vjk滿足

rank(PjMj)≥(K-1)duTu，

(13a)

(13b)

則用戶Γjk的自由度取決于上行鏈路集群j中其他所有用戶發(fā)送的數(shù)據(jù)流數(shù)目(K-1)duTu和下行鏈路它能接收到的數(shù)據(jù)流數(shù)目ddTd，即每個(gè)用戶可達(dá)的DoF為

(13c)

為描述方便，后文分別稱du和dd為上行和下行鏈路每個(gè)用戶可達(dá)的DoF。

由于我們的信號(hào)對(duì)齊方案不考慮多個(gè)時(shí)隙之間的信號(hào)對(duì)齊，所以接下來考慮單個(gè)時(shí)隙下(此時(shí)Tu=Td=1)如何設(shè)計(jì)信號(hào)對(duì)齊，使得du和dd最大。

2.2 相關(guān)引理和定義

對(duì)上行和下行鏈路設(shè)計(jì)信號(hào)對(duì)齊時(shí)，均使用了天線禁用技術(shù)和角點(diǎn)的概念[12]。接下來以上行鏈路為例對(duì)天線禁用技術(shù)進(jìn)行介紹，并且對(duì)角點(diǎn)進(jìn)行定義。

引理1(天線禁用技術(shù))對(duì)于所考慮的MIMO mRC，假設(shè)上行鏈路du=Nf(M/N)在一個(gè)固定的天線配置 (M=M0,N=N0)時(shí)，du=d0可達(dá)。那么通過在用戶端禁用M-M0根天線，(x=M/N0,y=du)在線段x∈[M0/N0,∞)，y=d0上的每個(gè)點(diǎn)可達(dá)；通過在中繼端禁用N0-(MN0/M0)根天線，(x=M/N0,y=du)在線段x∈(0,M0/N0],y=(d0N0/M0)x上的每個(gè)點(diǎn)可達(dá)。

通過天線禁用技術(shù)，只需要給出可達(dá)DoF曲線中特定的點(diǎn)，即可得到整個(gè)可達(dá)DoF曲線。接下來，稱這些特定點(diǎn)為角點(diǎn)，并給出以下定義。

定義1(角點(diǎn))已知上行鏈路一個(gè)可達(dá)的DoF曲線du=Nf(M/N)，固定中繼端天線N=N0。對(duì)于可達(dá)DoF曲線中某一點(diǎn)(M0/N0,d0)， 如果當(dāng)M>M0時(shí)，(M/M0,d0M/M0)不可達(dá)；并且當(dāng)M

以上對(duì)天線禁用技術(shù)的描述和角點(diǎn)的定義同樣適用于下行鏈路。接下來，只需找到上行和下行鏈路所有的角點(diǎn)，并且結(jié)合天線禁用技術(shù)，即可得上行和下行鏈路的可達(dá)DoF，即du和dd。為描述方便，定義g函數(shù)

(14)

式中a和b是常系數(shù)。

3 信號(hào)對(duì)齊

3.1 上行鏈路信號(hào)對(duì)齊

上行鏈路設(shè)計(jì)信號(hào)對(duì)齊滿足單個(gè)時(shí)隙下rank(PjMj)≥(K-1)du。接下來，給出候選角點(diǎn)(M/N,du)，并結(jié)合候選角點(diǎn)給出相應(yīng)的可達(dá)DoF。

引理2對(duì)于兩個(gè)用戶集群，每個(gè)集群K個(gè)用戶的M×NMIMO mRC，當(dāng)數(shù)據(jù)交換模型為完整數(shù)據(jù)交換模型時(shí)，對(duì)于上行鏈路以下候選角點(diǎn)(M/N,du)是可達(dá)的：

(15a)

(15b)

定義集合I包含式(15)中所有候選角點(diǎn)(M/N,du)，則上行鏈路每個(gè)用戶可達(dá)的一個(gè)DoF為

(16)

證明已知候選角點(diǎn)，根據(jù)天線禁用技術(shù)，可以得到式(16)。接下來設(shè)計(jì)信號(hào)對(duì)齊證明角點(diǎn)(U1)和(U2)滿足rank(PjMj)≥(K-1)du。

(17)

(18)

3.2 下行鏈路信號(hào)對(duì)齊

引理3 對(duì)于兩個(gè)用戶集群，每個(gè)集群K個(gè)用戶的M×NMIMO mRC，當(dāng)數(shù)據(jù)交換模型為完整數(shù)據(jù)交換模型時(shí)，下行鏈路以下候選角點(diǎn)(M/N,dd)是可達(dá)的：

(19a)

(19b)

(19c)

定義集合J包含(19)中所有候選角點(diǎn)(M/N,dd)，則下行鏈路每個(gè)用戶可達(dá)的一個(gè)DoF為

(20)

證明已知候選角點(diǎn)，根據(jù)天線禁用技術(shù)，可以得到式(20)。接下來我們?cè)O(shè)計(jì)信號(hào)對(duì)齊證明角點(diǎn)(D1), (D2)和(D3)滿足rank(WjGjkVjk)≥dd。

(21)

(22)

因此，span(Gj1Vj1,…,GjKVjK)=span(Gj1Vj1,…,GjkVjk)，并且以概率1是kN/(k+1)維度。此時(shí)，每個(gè)用戶接收dd=N/(k+1)個(gè)獨(dú)立數(shù)據(jù)流，經(jīng)過信號(hào)對(duì)齊，在中繼端一個(gè)集群接收的KN/(k+1)個(gè)數(shù)據(jù)流壓縮到kN/(k+1)個(gè)空間維度。所以中繼端發(fā)送給另一個(gè)集群的無干擾信號(hào)維度為N-kN/(k+1)=dd。即rank(WjGjkVjk)=N-kN/(k+1)=dd。

證畢。

4 主要結(jié)果

引理2和引理3分別給出兩個(gè)用戶集群，每個(gè)集群K個(gè)用戶的MIMO mRC完整數(shù)據(jù)交換模型上行鏈路的候選角點(diǎn)(M/N,du)∈I和下行鏈路的候選角點(diǎn)(M/N,dd)∈J。并根據(jù)候選角點(diǎn)給出相應(yīng)的可達(dá)DoF。 接下來，結(jié)合引理2和引理3，給出此模型一個(gè)可達(dá)的DoF。

考慮全雙工通信，假設(shè)每個(gè)結(jié)點(diǎn)都可以進(jìn)行自干擾消除，則以上對(duì)半雙工通信的分析經(jīng)過調(diào)整可以應(yīng)用于全雙工通信。全雙工通信和半雙工通信主要的區(qū)別在于，對(duì)于全雙工通信，每個(gè)結(jié)點(diǎn)同時(shí)發(fā)送和接收信號(hào)，因此上行和下行鏈路總是占用相同的時(shí)隙，即Tu=Td=T。由于引理2和引理3均考慮單個(gè)時(shí)隙下的信號(hào)對(duì)齊，由此，令Tu=Td=T，很容易推出此模型全雙工通信下一個(gè)可達(dá)的DoF。

定理1對(duì)于兩個(gè)用戶集群，每個(gè)集群K個(gè)用戶的M×NMIMO mRC，當(dāng)考慮完整數(shù)據(jù)交換模型，并且考慮全雙工通信時(shí)，每個(gè)用戶可達(dá)到的一個(gè)DoF為

(23)

令定理1中K=3和K=4，給出以下結(jié)論。

推論1對(duì)于L=2，K=3的M×NMIMO mRC，當(dāng)考慮完整數(shù)據(jù)交換模型，并且考慮全雙工通信時(shí)，每個(gè)用戶可達(dá)的一個(gè)DoF為

(24)

證明當(dāng)K=3時(shí)，下行鏈路存在以下候選角點(diǎn)(M/N,dd)：

由式(23)得到推論1。

推論2對(duì)于L=2，K=4的M×NMIMO mRC，當(dāng)考慮完整數(shù)據(jù)交換模型，并且考慮全雙工通信時(shí)，每個(gè)用戶可達(dá)的一個(gè)DoF為

(25)

證明當(dāng)K=4時(shí)，下行鏈路存在以下候選角點(diǎn)(M/N,dd)：

由式(22)得到推論2。

圖2和圖3分別給出L=2,K=3和L=2,K=4全雙工通信下系統(tǒng)可達(dá)到的DoF。對(duì)于L=2,K=3，將全雙工通信下的割集上界以及文獻(xiàn)[12]，[14]的結(jié)果加入進(jìn)去比較。由于得到2個(gè)更優(yōu)的角點(diǎn)(1/4，N/4)和(3/5，2N/5)，我們的結(jié)果在這2個(gè)角點(diǎn)附近優(yōu)于文獻(xiàn)[12]中的結(jié)果。同時(shí)，此結(jié)果和文獻(xiàn)[14]使用算法優(yōu)化得到的結(jié)果相同。而且這也是目前為止此模型最優(yōu)的可達(dá)DoF。對(duì)于L=2,K=4將全雙工通信下的割集上界以及文獻(xiàn)[12]的結(jié)果加入進(jìn)去比較。此時(shí)，得到3個(gè)更優(yōu)的角點(diǎn)(1/5，N/5)，(4/11,3N/11)和(5/9，N/3)，所以在這幾個(gè)角點(diǎn)附近我們的結(jié)果優(yōu)于文獻(xiàn)[12]中的結(jié)果。

圖2 全雙工通信L=2,K=3模型可達(dá)到的DoFFig. 2 Achievable DoF of MIMO mRC with L=2 and K=3 in full duplex model

圖3 全雙工通信L=2,K=4模型可達(dá)到的DoFFig. 3 Achievable DoF of MIMO mRC with L=2 and K=4 in full duplex model

注意：考慮全雙工通信時(shí)，由于網(wǎng)絡(luò)的瓶頸是下行鏈路，所以文獻(xiàn)[12]中作者考慮上行和下行鏈路對(duì)稱設(shè)計(jì)是足夠的,同時(shí)，作者假設(shè)每個(gè)用戶發(fā)送一個(gè)獨(dú)立的數(shù)據(jù)流，則將一個(gè)集群的信號(hào)盡可能壓縮到一維。這和我們下行鏈路設(shè)計(jì)信號(hào)對(duì)齊的要求(13b)是類似的。但是我們?cè)谠O(shè)計(jì)下行鏈路信號(hào)對(duì)齊時(shí)考慮了更多的信號(hào)對(duì)齊模式，所以得到了更優(yōu)化的結(jié)果。

通過定理1進(jìn)一步驗(yàn)證了對(duì)于完整數(shù)據(jù)交換模型，下行鏈路是網(wǎng)絡(luò)的瓶頸。所以對(duì)于半雙工通信，通過優(yōu)化上行和下行鏈路的時(shí)隙可以使系統(tǒng)的DoF進(jìn)一步提高。

定理2對(duì)于兩個(gè)用戶集群，每個(gè)集群K個(gè)用戶的M×NMIMO mRC，當(dāng)考慮完整數(shù)據(jù)交換模型，并且考慮半雙工通信時(shí)，優(yōu)化上行和下行鏈路的時(shí)隙分配為

(26a)

此時(shí)每個(gè)用戶可達(dá)的一個(gè)DoF為

(26b)

其中，集合I和集合J分別包含式(15)和式(19)中的角點(diǎn)，g函數(shù)定義在式(14)中。

令定理2中K=3，得到以下結(jié)果。

推論3對(duì)于L=2，K=3的M×NMIMO mRC，當(dāng)考慮完整數(shù)據(jù)交換模型，并且考慮半雙工通信時(shí)，優(yōu)化上行/下行鏈路的時(shí)隙分配為

(27a)

此時(shí)每個(gè)用戶可達(dá)的一個(gè)DoF為

(27b)

證明當(dāng)K=3時(shí)，上行鏈路存在以下候選角點(diǎn)(M/N,du)：

(28)

結(jié)合推論1下行鏈路可達(dá)的DoF以及定理2,得到推論3。證畢。

注意：根據(jù)2.1節(jié)的討論，當(dāng)上行鏈路設(shè)計(jì)信號(hào)對(duì)齊滿足rank(PjMj)≥(K-1)duTu。下行鏈路采用文獻(xiàn)[12]的結(jié)果，通過優(yōu)化上行和下行鏈路的時(shí)隙分配，可以得到L≥2 個(gè)用戶集群，每個(gè)用戶集群中K≥3個(gè)用戶的MIMO mRC模型在半雙工通信下可達(dá)的一個(gè)DoF。但是由于文獻(xiàn)[12]中下行鏈路設(shè)計(jì)信號(hào)對(duì)齊的方式并不是最優(yōu)的，所以最終得到的半雙工通信下的結(jié)果并非最優(yōu)。

圖4給出半雙工通信下L=2,K=3模型可達(dá)到的DoF。對(duì)于半雙工通信，當(dāng)不考慮上行和下行鏈路時(shí)隙優(yōu)化分配時(shí)，系統(tǒng)可達(dá)的DoF是全雙工通信的一半，很容易得到半雙工通信下兩個(gè)可達(dá)的DoF，即定理1中duser的1/2 以及文獻(xiàn)[12]結(jié)果的1/2。在圖4中將此不考慮時(shí)隙分配的結(jié)果加入進(jìn)行比較。同時(shí)，如前所述，結(jié)合2.1節(jié)的討論，文獻(xiàn)[12]的結(jié)果經(jīng)過上行和下行時(shí)隙優(yōu)化分配，很容易推廣到半雙工通信。對(duì)于L=2,K=3，當(dāng)上行鏈路設(shè)計(jì)信號(hào)對(duì)齊得到式(28)，下行鏈路采用文獻(xiàn)[12]中的信號(hào)對(duì)齊方式時(shí)，可以推出半雙工通信下經(jīng)過上行/下行時(shí)隙優(yōu)化后一個(gè)可達(dá)的DoF。將此結(jié)果加入圖4進(jìn)行比較。結(jié)果發(fā)現(xiàn)當(dāng)M/N<5/6時(shí)，進(jìn)行時(shí)隙優(yōu)化分配后的結(jié)果明顯優(yōu)于不進(jìn)行時(shí)隙分配的結(jié)果。同時(shí)，由于下行鏈路考慮了2個(gè)更優(yōu)的角點(diǎn)(1/4，N/4)和(3/5，2N/5)，在這2個(gè)角點(diǎn)附近可得到更優(yōu)化的DoF。

圖4 半雙工通信L=2,K=3模型可達(dá)到的DoFFig. 4 Achievable DoF of MIMO mRC with L=2 and K=3 in half duplex model

注意：半雙工通信時(shí)，上行和下行鏈路信號(hào)對(duì)齊非對(duì)稱設(shè)計(jì)使得系統(tǒng)DoF進(jìn)一步提高。這是因?yàn)閷?duì)于一次完整的數(shù)據(jù)交換，上行鏈路中繼端需要解出一個(gè)集群所有用戶發(fā)送的信號(hào)，對(duì)應(yīng)于式(13a)，下行鏈路中繼端為每個(gè)集群中的所有用戶發(fā)送相同的信號(hào)，對(duì)應(yīng)于式(13b)。很明顯，上行鏈路的信號(hào)對(duì)齊要求相比下行鏈路降低了，這是因?yàn)槿绻闲墟溌芬粋€(gè)集群的信息在中繼端壓縮得過于嚴(yán)重時(shí)，需要消耗多余的時(shí)隙將壓縮的信息解出來。

5 總結(jié)

由于L個(gè)用戶集群，每個(gè)集群K個(gè)用戶的MIMO mRC的完整數(shù)據(jù)交換模型較為復(fù)雜，目前此模型全雙工通信和半雙工通信下的信道容量是未知的。本文主要對(duì)兩個(gè)集群，每個(gè)集群K個(gè)用戶的MIMO mRC的完整數(shù)據(jù)交換模型進(jìn)行分析。由于數(shù)據(jù)交換模型的特殊性，上行和下行鏈路的信號(hào)對(duì)齊是不對(duì)稱的，所以對(duì)上行鏈路和下行鏈路分別設(shè)計(jì)信號(hào)對(duì)齊，得到相應(yīng)的角點(diǎn)，并根據(jù)角點(diǎn)給出每個(gè)用戶上行鏈路可以發(fā)送的獨(dú)立數(shù)據(jù)流數(shù)目du和下行鏈路可以接收的獨(dú)立數(shù)據(jù)流數(shù)目dd。對(duì)于全雙工通信，假設(shè)每個(gè)結(jié)點(diǎn)可以進(jìn)行自干擾消除，通過令Tu=Td=T，推出此模型在全雙工通信下的結(jié)果。同時(shí)，由于下行鏈路是網(wǎng)絡(luò)的瓶頸，通過上行和下行鏈路非對(duì)稱設(shè)計(jì)，并且優(yōu)化上行/下行鏈路時(shí)隙分配，得到半雙工通信下一個(gè)優(yōu)化的DoF。

通過給出全雙工通信下L=2,K=3和L=2,K=4的可達(dá)DoF，驗(yàn)證了我們的結(jié)果優(yōu)于目前已知的結(jié)果[12]，并和通過算法優(yōu)化得到的結(jié)果[14]相同。同時(shí)通過優(yōu)化上行/下行鏈路時(shí)隙分配Tu/Td，半雙工通信下的L=2,K=3系統(tǒng)的DoF進(jìn)一步得到提高。本文分析對(duì)于更一般的完整數(shù)據(jù)交換模型(L>2)在全雙工通信和半雙工通信下的DoF分析有參考價(jià)值。