楊全李,唐國(guó)平
(中國(guó)科學(xué)院大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 北京 100049)
定義 1.1對(duì)階為素?cái)?shù)p的冪的交換群G,由有限生成交換群的結(jié)構(gòu)定理可將G唯一地表示為某些pki階循環(huán)群的直和,i=1,2,…,n,且k1≤k2≤…≤kn,數(shù)組(k1,k2,…,kn)p稱為群G的型。
證明見文獻(xiàn)[1-3]。
引理 1.2對(duì)代數(shù)數(shù)域F的代數(shù)整數(shù)環(huán)OF,有SK1(OF)=1。
證明見文獻(xiàn)[4]。
證明見文獻(xiàn)[5]。
證明見文獻(xiàn)[6]。
證明見文獻(xiàn)[7]。
0→D(Λ)→CL(Λ)→CL(Γ)→0.
引理 1.6有正合序列
且有
(i)
(ii)
其中Jp0是Γp0的Jacobson根。
證明見文獻(xiàn)[10]。
且
其中t=t(G)=m-1是G的非平凡循環(huán)子群的個(gè)數(shù)。
證明見文獻(xiàn)[10]。
證明見文獻(xiàn)[11]。
定理 2.1若G=Cpn,(n≥0),則
從而
于是由引理1.7得
當(dāng)n=0時(shí),上式顯然成立。
定理 2.2當(dāng)G=Cpn×Cpn,(0≤n)時(shí),則
=(p+1)ph-1.
根據(jù)文獻(xiàn)[12]有關(guān)分圓域的判別式的計(jì)算公式
于是在這種情形下有
由引理1.7得
=p2q,
上式對(duì)n=0情形顯然成立。
定理2.3當(dāng)G=Cpn1×Cpn2,0 其中 =(p+1)ph-1. =pn1. 綜上所得有 于是 由引理1.7 =p2q. 綜合定理2.1~定理2.3的結(jié)果有 定理 2.4對(duì)G=Cpn1×Cpn2,0≤n1≤n2,有 其中 對(duì)于任意(k1,k2,…,kn)p型的交換群,相應(yīng)的計(jì)算公式非常難以給出,然而對(duì)下面特殊情形,有 定理 2.5當(dāng)G=(Cpn)l,n≥0;l>0時(shí)有 其中 于是由引理1.7 =p2q, K1(Γ)=(Γ)×⊕SK1(Γ), =2. =24. =212. =1. =2. =24. =210. (i)由定理2.5可得 =24, (ii)由定理2.5可得 =211,
中國(guó)科學(xué)院大學(xué)學(xué)報(bào)2020年5期