交換p群的整群環(huán)以及它的極大序的K1群*

楊全李，唐國平

(中國科學(xué)院大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 北京 100049)

1 預(yù)備知識

定義 1.1對階為素數(shù)p的冪的交換群G，由有限生成交換群的結(jié)構(gòu)定理可將G唯一地表示為某些pki階循環(huán)群的直和，i=1,2,…,n，且k1≤k2≤…≤kn,數(shù)組(k1,k2,…,kn)p稱為群G的型。

證明見文獻[1-3]。

引理 1.2對代數(shù)數(shù)域F的代數(shù)整數(shù)環(huán)OF，有SK1(OF)=1。

證明見文獻[4]。

證明見文獻[5]。

證明見文獻[6]。

證明見文獻[7]。

0→D(Λ)→CL(Λ)→CL(Γ)→0.

引理 1.6有正合序列

且有

(i)

(ii)

其中Jp0是Γp0的Jacobson根。

證明見文獻[10]。

且

其中t=t(G)=m-1是G的非平凡循環(huán)子群的個數(shù)。

證明見文獻[10]。

證明見文獻[11]。

2 主要結(jié)果

定理 2.1若G=Cpn,(n≥0)，則

從而

于是由引理1.7得

當(dāng)n=0時，上式顯然成立。

定理 2.2當(dāng)G=Cpn×Cpn，(0≤n)時，則

=(p+1)ph-1.

根據(jù)文獻[12]有關(guān)分圓域的判別式的計算公式

于是在這種情形下有

由引理1.7得

=p2q，

上式對n=0情形顯然成立。

定理2.3當(dāng)G=Cpn1×Cpn2,0

其中

=(p+1)ph-1.

=pn1.

綜上所得有

于是

由引理1.7

=p2q.

綜合定理2.1～定理2.3的結(jié)果有

定理 2.4對G=Cpn1×Cpn2,0≤n1≤n2，有

其中

對于任意(k1,k2,…,kn)p型的交換群，相應(yīng)的計算公式非常難以給出，然而對下面特殊情形，有

定理 2.5當(dāng)G=(Cpn)l,n≥0;l>0時有

其中

于是由引理1.7

=p2q,

K1(Γ)=(Γ)×⊕SK1(Γ),

=2.

=24.

=212.

=1.

=2.

=24.

=210.

(i)由定理2.5可得

=24,

(ii)由定理2.5可得

=211,