彈性碰撞次數(shù)與π的關(guān)聯(lián)

張 偉

(重慶市萬州高級中學(xué)，重慶 404120)

1 題目

圖1

如圖1所示，在光滑水平面上，有一質(zhì)量為M的小球A向墻運動，速度為v,A和墻之間的連線上停著另一個質(zhì)量為m的小球B.假設(shè)A與B，B與墻之間的碰撞均為完全彈性碰撞，兩物體可以看成質(zhì)點.顯然當(dāng)兩個球質(zhì)量相等時，A碰上B，A停下來，B繼續(xù)運動，B碰到墻再返回碰A.A與B、B與墻之間一共發(fā)生了3次碰撞.

如果M>m，那么小球A碰完小球B之后還會繼續(xù)向墻運動，總共的碰撞次數(shù)可能會大于3.實際上，

當(dāng)M=104m時，共碰撞314次;

當(dāng)M=106m時，共碰撞3141次；

當(dāng)M=108m時，共碰撞31415次.

隨著A和B質(zhì)量之比的增大，總共的碰撞次數(shù)會和圓周率的數(shù)值有關(guān).如何解釋這個關(guān)系？

2 推導(dǎo)分析

設(shè)第i次小球B與小球A碰撞后，小球B的速度為ui，小球A的速度為vi，由機械能守恒

(1)

由數(shù)學(xué)知識可知，當(dāng)x2+y2=C(C為常數(shù))，滿足該方程的點(x，y)在平面直角坐標(biāo)系中為組成了一個圓.

設(shè)M=Nm，代入(1)式，得

(2)

將式(2)化簡，得

(3)

在最開始的時候，即小球A與B第一次碰撞之前，A的速度為v，B的速度為0，在圖3中用點a(v,0)來表示該狀態(tài).不妨設(shè)以向左為正方向.

圖2 式(3)直角坐標(biāo)系下的圓

圖3 用點在圓中表示每次碰撞

上述過程可以重復(fù)下去，直到ui≤vi時為止.此時，兩個滑塊都向右運動，B塊追不上A，于是不會再發(fā)生碰撞.把所有的點依次用直線連接起來，如圖3.

考慮A與B碰撞過程中動量守恒，假設(shè)兩個小球由于碰撞前從相向而行(如圖4甲)到碰撞后同向而行(如圖4乙)，則

圖4

Nmvi-mui=Nmvi+1+mui+1.

(4)

將式(2)兩邊同時除以v2,得

(5)

(6)

(7)

由和差化積公式

代入式(7)，得

(8)

化簡得

(9)

同理可得，在圖5中的上半圓與下半圓每個兩點之間的弧長都是定值.由式(9)，可得

(10)

(11)

圖5中上半圓中所有兩點之間的弧長個數(shù)表示A與B碰撞的次數(shù)， 圖5中下半圓中所有兩點之間的弧長個數(shù)表示B與墻碰撞的次數(shù)，則B與A，B與墻之間的碰撞次數(shù)k，

圖5 在“圖3”所示的圓中表示α與β

(12)

其中[ ]表示取整.

至此，問題得解.

3 結(jié)束語

通過能量守恒和動量守恒，采用圓方程和三角函數(shù)的數(shù)學(xué)手段，解釋了小球間、小球與墻之間的彈性碰撞次數(shù)與π的關(guān)聯(lián).在物理競賽教學(xué)中多和學(xué)生進(jìn)行這樣的分析討論，無論對于提升學(xué)生的理論水平、分析能力，還是對于提升學(xué)生物理學(xué)習(xí)的興趣，都能起到較大的推動作用．