能量高低與穩(wěn)定性的探討

張念依 鄧楚楚 林 琪 李國(guó)榕 葉晴瑩

(福建師范大學(xué)物理與能源學(xué)院，福建 福州 350117)

教學(xué)中，我們常說(shuō)“能量越低越穩(wěn)定”，這是一個(gè)普遍適用的結(jié)論嗎？現(xiàn)結(jié)合全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽理論考試第1題，討論這個(gè)問(wèn)題.

圖1

(1) 為了使茶水杯所盛茶水盡可能多并保持足夠穩(wěn)定，杯中茶水的最佳高度是多少？

(2) 略.

解析： 為了便于分析問(wèn)題，我們僅考慮第一小題 .題中所述的“使茶水杯所盛茶水盡可能多并保持足夠穩(wěn)定”指的是：使茶杯和其中所盛茶水(水盡可能多)組成的系統(tǒng)具有足夠的穩(wěn)定性.高中階段，學(xué)生學(xué)習(xí)的是通過(guò)降低重心以提高系統(tǒng)的穩(wěn)定程度.[1]考慮到此題所給情景，對(duì)于茶杯和茶水這一系統(tǒng)，質(zhì)心和重心是重合的.因此，此題可以通過(guò)質(zhì)心來(lái)求解.

以凳面中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過(guò)O點(diǎn)向上的豎直線為y軸.茶杯(包括茶水在內(nèi))的質(zhì)心位置yCM為

(1)

式中h是杯中茶水的高度，λ=ρπr2.

事實(shí)上，考慮在茶杯中茶水的水平面從杯底逐漸緩慢上升的過(guò)程，茶水杯整體的質(zhì)心先是逐漸降低，然后再逐漸上升.為了使茶水杯盛盡可能多的茶水并保持足夠穩(wěn)定，茶水杯整體的質(zhì)心應(yīng)盡可能接近凳面，處于最低點(diǎn)的位置yCM(h=hmax)=(yCM)min，故有

(2)

由(1)、(2)式可得

(3)

舍棄負(fù)值(不合題意)，杯中茶水的最佳高度為

(4)

以上是利用質(zhì)心(重心)越低越穩(wěn)定的思想解出的答案.如果這道題從“能量越低越穩(wěn)定”的角度考慮，可以從定性和定量?jī)蓚€(gè)維度進(jìn)行分析.

首先，我們可以從定性的角度簡(jiǎn)易推斷：水杯是靜止的，零勢(shì)能面(凳面)位置不變時(shí)，其重力勢(shì)能自然不變.倒入水的過(guò)程中，隨著水位的上升，水的重力勢(shì)能增大，系統(tǒng)的重力勢(shì)能也隨之上升.反之，可推斷出，水最少時(shí)系統(tǒng)重力勢(shì)能最小.但這與我們之前求出的系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)水的最佳高度明顯不符.

(5)

若求系統(tǒng)勢(shì)能的最小值，有

(6)

由(6)式可以看出，h=0時(shí)取得勢(shì)能最小值.這與上述有關(guān)勢(shì)能的定性分析一致，但是卻與標(biāo)準(zhǔn)答案的結(jié)果相悖！“能量越低越穩(wěn)定”在這里為什么行不通了？

本文討論的競(jìng)賽題在杯中加入水的過(guò)程里，水的質(zhì)量在不斷增加，說(shuō)明系統(tǒng)屬于變質(zhì)量體系，因此這道題用勢(shì)能極值來(lái)解題的方法是錯(cuò)誤的.