肺結核隨機SEIQR模型的穩(wěn)定性

王來全，魏成花，李 碩

(1.昌吉職業(yè)技術學院 基礎部,新疆 昌吉 831100；2.昌吉高新技術產業(yè)開發(fā)區(qū)管委會 產業(yè)局, 新疆 昌吉 831100；3.昌吉學院 數學系,新疆 昌吉 830046)

作為傳染病學和數學理論的交叉學科的傳染病數學模型理論迅速發(fā)展起來,許多學者對確定性傳染病模型的持久性和平衡點的穩(wěn)定性做了研究并得到很好的結果。文獻[1]分析了一類具有接種免疫和潛伏期的SEIR傳染病模型的全局性,但沒有考慮潛伏期疾病的傳播情況。文獻[2]研究了一類具有雙線性發(fā)生率的潛伏期與傳染期均傳染的SEIQR傳染病模型,但沒有考慮對染病者和隔離者進行恢復治療的情況。文獻[3]說明對染病者采取隔離措施是控制肺結核蔓延的重要措施,但是,很少有討論傳染病模型在肺結核病防控中的應用。近年來,學者用飽和發(fā)生率研究了確定性傳染病模型[4],但是人群的生存環(huán)境充滿了隨機性(如波動，噪聲，地震等干擾因素),人群易受到持續(xù)的干擾[5],導致傳染病的傳播具有隨機性。肺結核是危害群眾健康的呼吸道傳染病,易于受到氣候等因素的影響,所以考慮肺結核傳播過程中存在的隨機模型尤為重要。基于文獻[6-7]的理念,本文討論潛伏者和染病者在不同的感染率下,對染病者和隔離者實施治療的一類具有非線性發(fā)生率的肺結核隨機SEIQR模型,利用Lyapunov函數分析模型正解的全局存在性及唯一性,討論無病平衡點E0的p-階指數穩(wěn)定。

1 模型的建立

本文將總人口Nt分成易感者St、潛伏者Et、染病者It、隔離者Qt、恢復者Rt,A為易感人群的輸入量,假設新生兒均為易感者,βE,βI分別表示肺結核潛伏者和患病者的傳染率,θ為飽和接觸率,μ為死亡率,從潛伏者到發(fā)病者的轉化率為ξ,對潛伏者的隔離措施為σ,對病人的治療率為ρ,在隔離期的治療率為σ0,r表示對染病者的隔離措施,δ表示噪聲的干擾,Bt是布朗運動，t是時間變量。根據生物意義,以上參數均為正數。建立如下隨機模型：

(1)

2 預備知識

把文獻[7]中的引理3.3與引理3.4記為本文的引理1與引理2。

引理1假設存在一函數V(t,x)∈C1,2,(t,x)∈(R+×Rm),滿足不等式:

K1|x|p≤V(t,x)≤K2|x|p,

LV(t,x)≤-K3|x|p。

其中：K1>0；K2>0；K3>0；p>0。則系統(tǒng)

的無病平衡點p-階指數穩(wěn)定。

引理2 根據Yang不等式,令p≥2,ε>0,x,y>0,則不等式成立:

3 平衡點及基本再生數

本文計算出系統(tǒng)(1)的無病平衡點為E0(S0,0,0,0,0),基本再生數R0。其中:

假設δ=0,當R0>1時,系統(tǒng)(1)存在一正的平衡點E*(S*,E*,I*,Q*,R*)。其中:

令X(t)=(St,Et,It,Qt,Rt)。系統(tǒng)(1)的解集為

4 正解的全局存在性及唯一性

定理1 對任意給定的初值(St0,Et0,It0,Qt0,Rt0)∈Δ,系統(tǒng)(1)存在唯一的正解依概率1位于Δ中。

P(τm≤T)≥ε(?m≥m1)

(2)

根據伊藤公式[7],得

(3)

則

=

(4)

對式(3)兩端分別從0到τm∧T積分,并取期望得

(5)

對m≥m1,令Ωm={τm≤T},由式(5)得

由式(2)和式(5)得

其中IΩm表示Ωm的示性函數。

從上述證明得到τ=+,顯然能得出P{τ=}=1,與式(2)矛盾,也就是說,X(t)依概率1不會在有限時間內爆破。

5 無病平衡點的全局漸近穩(wěn)定性

根據文中引理1和引理2得到系統(tǒng)(1)的無病平衡點E0的p-階指數穩(wěn)定。

選取

使得引理1中的不等式成立。

則

對所有的t≥0,X(t)∈Δ,得

由文中引理1和引理2得

其中:

Λ5=-λ4pμ+λ4σ0(p-1)ε+λ4ρ(p-1)ε。

6 結論

考慮了具有非線性發(fā)生率的肺結核隨機SEIQR模型,得到基本再生數R0,定理1利用Lyapunov函數分析了模型正解的全局存在性及唯一性,定理2討論了隨機SEIQR模型的無病平衡點的p-階指數穩(wěn)定,證明了隨機SEIQR模型的無病平衡點圍繞確定性模型平衡點的漸近行為:如果隨機擾動δ較小,系統(tǒng)(1)的平衡點的漸近穩(wěn)定性將接近δ=0時確定性SEIQR模型的平衡點的漸近穩(wěn)定性。