微動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)柔性平板移動(dòng)副求解

陳海真，王紅梅，李愛軍

(山東理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 山東 淄博 255049)

全柔性微動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有無間隙、無摩擦、響應(yīng)快、誤差積累小、定位精度高、結(jié)構(gòu)緊湊等優(yōu)點(diǎn)，近年來在生命科學(xué)、微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS)、超精密加工等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1-3]?？咳嵝躁P(guān)節(jié)的受力而產(chǎn)生的彈性變形來實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)的傳遞是全柔性微動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)與傳統(tǒng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的區(qū)別，它的關(guān)節(jié)柔度與運(yùn)動(dòng)性能和力的傳遞密切相關(guān)。關(guān)節(jié)柔度是一個(gè)多元函數(shù)，影響關(guān)節(jié)柔度的因素很多，如材料性能、關(guān)節(jié)輪廓曲線形狀、關(guān)節(jié)尺寸、關(guān)節(jié)力等[4]。為了提高微動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)精度，本文對(duì)柔性關(guān)節(jié)的柔度求解進(jìn)行研究。

1 柔性平板移動(dòng)副的柔度矩陣

柔性平板移動(dòng)副常用的柔度計(jì)算公式[5]為

(1)

式中：b、l、t為移動(dòng)副的結(jié)構(gòu)尺寸；E為材料的拉伸彈性模量；μ為材料的泊松比。

式(1)雖然比較簡(jiǎn)潔，計(jì)算也比較方便，但是它給出的功能方向上柔度表達(dá)式存在較大的計(jì)算誤差。為了適應(yīng)現(xiàn)代科學(xué)，高精密微動(dòng)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)必須有相適應(yīng)的計(jì)算方法，下面利用卡氏第二定理得出具有較高精度的柔性平板移動(dòng)副柔度計(jì)算表達(dá)式。

1.1 柔性平板移動(dòng)副力學(xué)計(jì)算模型

柔性平板移動(dòng)副的受力簡(jiǎn)圖如圖1所示。圖1中移動(dòng)副左右對(duì)稱，變形部分薄板長(zhǎng)度為l、厚度為t，厚板長(zhǎng)度為a、沿z方向即橫向的寬度為b。中間CD段的厚度遠(yuǎn)大于兩側(cè)OC段和DB段的厚度，可視為剛體。移動(dòng)副上所加外載分別是彎矩M、軸向力Fx、垂直力Fy，它們作用于移動(dòng)副的A點(diǎn)。

圖1 柔性平板移動(dòng)副平面受力圖

簡(jiǎn)化移動(dòng)副受力，將移動(dòng)副視為變截面三次超靜定梁。因?yàn)樵谝苿?dòng)副的兩端O、B處都各有3個(gè)約束力，為將原結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)榛眷o定系，先代之以相應(yīng)的約束，除去O點(diǎn)原來的約束，基于原結(jié)構(gòu)在原約束處位移相一致的協(xié)調(diào)條件，再利用卡氏第二定理[6]建立補(bǔ)充方程，最后結(jié)合靜力平衡方程即可求得各約束力。

在工作平面內(nèi)，柔性平板移動(dòng)副的靜力平衡方程為

(2)

移動(dòng)副各段的軸向力、剪切力與彎矩分別為：

(3)

(4)

(5)

1.2 彈性變形應(yīng)變能

平板移動(dòng)副的應(yīng)變能為彎曲應(yīng)變能、軸向拉伸應(yīng)變能、剪切應(yīng)變能三部分[7]之和，即

(6)

式中：k為剪切影響系數(shù)，k=2.5；b為材料z方向的寬度；t為移動(dòng)副的橫截面積；μ為材料的泊松比?？倯?yīng)變能的表達(dá)式為

2(R1y+Fy)[Fy(l+a)+M1+M]f4+

[Fy(l+a)+M1+M]2l}

(7)

式中：

1.3 柔度矩陣求解

由卡氏第二定理可以求解柔度矩陣[8-10]。根據(jù)卡氏第二定理和O點(diǎn)的約束條件可得O點(diǎn)沿x、y、θ的位移分量分別為：

(8)

[Fy(l+a)+M1+M]f4=0

(9)

[Fy(l+a)+M1+M]l}=0

(10)

將式(8)、式(9)、式(10)聯(lián)立,求出O點(diǎn)各個(gè)約束力

(11)

式中：

應(yīng)用卡氏第二定理同樣得A點(diǎn)各方向的位移分量：

(12)

[2Fy(l+a)+M1+M+R1y(l+a)]f4+

[Fy(l+a)+M1+M](l+a)l}

(13)

[Fy(l+a)+M1+M]l}

(14)

將式(11)代入式(12)～(14)即可得到柔性關(guān)節(jié)輸出位移、所加載荷及柔度矩陣的表達(dá)式

(15)

2 柔度系數(shù)與結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系

柔度系數(shù)與平板移動(dòng)副的結(jié)構(gòu)參數(shù)、材料的泊松比μ、拉伸彈性模量E有關(guān)。確定了移動(dòng)副的材料后，柔度系數(shù)的大小僅取決于平板的結(jié)構(gòu)參數(shù)。利用MATLAB工具，可以得出各柔度系數(shù)與平板結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系。

平板移動(dòng)副各段尺寸為：a=10 mm；寬度b的變化范圍是8～12 mm；長(zhǎng)度l=20 mm；變形部分薄板厚度t=1～3 mm；材料為彈簧鋼65Mn，其泊松比μ=0.3；彈性模量E=190×103MPa；剪切影響系數(shù)k=2.5。在Fx作用下x方向的柔度系數(shù)為Cx-Fx，在Fy作用下y方向的柔度系數(shù)為Cy-Fy；M作用下，轉(zhuǎn)角θ方向的柔度系數(shù)為Cθ-M。通過MATLAB程序計(jì)算得到各柔度系數(shù)與平板厚度t與寬度b的關(guān)系圖，如圖2所示。

在關(guān)節(jié)厚度t與寬度b的變化范圍內(nèi)，柔度系數(shù)Cθ-Fy與Cy-M的最大值分別為2.959 4×10-19rad/N和7.809 9×10-19mm/(N·mm)；最小值分別為-8.120 5×10-19rad/N和-1.474 9×10-19mm/(N·mm)，兩個(gè)系數(shù)的值都非常小，因此可以將兩個(gè)系數(shù)的值近似看作零。

取變形部分薄板長(zhǎng)度l=15～25 mm；薄板厚度t=1.5 mm；中間剛體部分長(zhǎng)度a=10～15 mm；橫向?qū)挾瘸叽鏱=10 mm。各柔度系數(shù)與平板尺寸a、l的變化關(guān)系圖如圖3所示。

(a)柔度系數(shù)Cx-Fx隨l、a的變化圖 (b)柔度系數(shù)Cy-Fy隨l、a的變化圖 (c)柔度系數(shù)Cθ-M隨l、a的變化圖

在關(guān)節(jié)長(zhǎng)度尺寸a與l的變化范圍內(nèi)，柔度系數(shù)Cθ-Fy和Cy-M的最大值分別為5.684 3×10-19rad/N和4.8945×10-19mm/(N·mm)；最小值分別為-5.6843×10-19rad/N和-4.8390×10-19mm/(N·mm)，與各柔度系數(shù)隨平板厚度t和寬度b的變化情況相似，兩系數(shù)的值都非常小，因此近似計(jì)算時(shí)可以忽略兩個(gè)系數(shù)的影響。

由以上分析，可以得到下述結(jié)論：

(1)由圖2可知，3個(gè)主要柔度系數(shù)的值，隨著平板關(guān)節(jié)厚度t和寬度b的減小都是增大的。從圖2(b)和圖2(c)可知：當(dāng)關(guān)節(jié)厚度t的值較大時(shí)，柔度系數(shù)Cy-Fy與Cθ-M幾乎不受關(guān)節(jié)寬度b變化的影響。

(a)柔度系數(shù)Cx-Fx隨b、t的變化圖 (b)柔度系數(shù)Cy-Fy隨b、t的變化圖 (c)柔度系數(shù)Cθ-M隨b、t的變化圖

(2)從圖3(a)和圖3(b)可知，中間剛體部分尺寸a的變化對(duì)柔度系數(shù)Cx-Fx與Cy-Fy沒有影響，但是兩柔度系數(shù)都隨長(zhǎng)度l的增大而增大；由圖3(c)可知：隨l的增大和a的減小，柔度系數(shù)Cθ-M的值都是增大的。

因?yàn)槿岫认禂?shù)Cy-M與Cθ-Fy近似為零，忽略其對(duì)計(jì)算精度的影響，移動(dòng)副的簡(jiǎn)化柔度矩陣為

(16)

柔性平板移動(dòng)副沿y軸方向的輸出位移uAy為功能位移，而沿x軸方向的位移uAx及繞z軸的角位移uAθ則是由外載引起的位移誤差。為了減小誤差，要求柔性移動(dòng)副非功能方向上的位移盡可能小，而功能方向上的位移盡可能大。

3 柔性平板移動(dòng)副的有限元模型

用ANSYS軟件建立柔性平板移動(dòng)副的有限元模型，并對(duì)其功能方向上的彈性變形進(jìn)行靜力學(xué)分析。材料與前面相同，彈性平板移動(dòng)副的各段長(zhǎng)度尺寸為a=10 mm；l=20 mm；寬度b=10 mm;變形薄板部分厚度t=1.5 mm；驅(qū)動(dòng)載荷Fy=200 N。柔性平板移動(dòng)副功能方向上的位移云圖如圖4所示。

圖4 柔性平板移動(dòng)副y方向的位移云圖

在幾組不同驅(qū)動(dòng)力Fy作用下，柔性平板移動(dòng)副功能方向位移及誤差的計(jì)算結(jié)果與傳統(tǒng)方法計(jì)算結(jié)果的對(duì)比見表1。

分析表1的計(jì)算數(shù)據(jù)和實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，本文提出的計(jì)算方法與傳統(tǒng)的計(jì)算方法相比，計(jì)算結(jié)果的精度有了明顯提高，誤差穩(wěn)定在1.235%左右。

表1 柔性平板移動(dòng)副功能方向的位移及誤差分析Tab.1 Displacement analysis and error analysis of function dimension for flexible parallel-plate prismatic pair

4 結(jié)束語(yǔ)

本文建立了柔性平板移動(dòng)副力學(xué)簡(jiǎn)化計(jì)算模型，基于卡氏第二定理得到了柔性平板移動(dòng)副在其工作平面內(nèi)的柔度計(jì)算公式，并對(duì)各方向柔度系數(shù)隨柔性移動(dòng)副結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化規(guī)律進(jìn)行了分析。應(yīng)用ANSYS軟件建立柔性平板移動(dòng)副的有限元模型，并進(jìn)行了仿真分析，通過對(duì)比分析傳統(tǒng)方法計(jì)算數(shù)據(jù)、此方法理論計(jì)算數(shù)據(jù)及有限元分析數(shù)據(jù)可知，所得柔性平板移動(dòng)副的柔度計(jì)算公式計(jì)算精度有了明顯提高。本文提出柔性平板移動(dòng)副的柔度計(jì)算方法，還給出了平面內(nèi)非功能方向上的柔度系數(shù)，這為生命科學(xué)、超精密加工等領(lǐng)域中高精密微動(dòng)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)和精度分析提供了理論基礎(chǔ)。