不一樣的“邊邊角”

文董翠花

我們知道，在判定三角形全等的條件中，“邊邊角”是不能作為判定三角形全等的條件的。這是為什么呢？

如圖 1，在△ABC中，以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑畫弧，與BC相交于點(diǎn)D，此時△ABC和△ABD滿足AB=AB，∠B=∠B，AD=AC，但顯然△ABC和△ABD不全等。

那么，兩個三角形具備了“邊邊角”的條件，就一定不全等嗎？答案是否定的。

相信同學(xué)們不難想到“HL”定理。課本中給出了證明過程。我們通過畫圖來直觀感知。如圖 2，∠B=90°，AB長度一定，以點(diǎn)A為圓心，定長為半徑畫弧，與∠B的另一邊相交于點(diǎn)C，此時交點(diǎn)唯一。也就是說，兩個三角形如果具備了“邊邊角”的條件且相等的角是直角，那么三角形的形狀就確定了，這兩個三角形就全等。

在“邊邊角”的條件下，如果相等的角是鈍角呢？

如圖 3，∠B＞90°，AB長度一定，以點(diǎn)A為圓心，定長為半徑畫弧，與∠B的另一邊相交于點(diǎn)C，此時交點(diǎn)也唯一，三角形的形狀也確定了。因此，如果兩個三角形具備了“邊邊角”的條件且相等的角是鈍角，那么這兩個三角形全等。證明過程留給同學(xué)們。

在“邊邊角”的條件下，如果相等的角是銳角呢？

在圖1 中我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)∠B＜90°時，以點(diǎn)A為圓心，定長為半徑畫弧，圓弧與∠B的另一邊有兩個交點(diǎn)C、D，滿足“邊邊角”條件的三角形形狀就不確定了。是什么因素決定了交點(diǎn)的個數(shù)呢？相信同學(xué)們不難發(fā)現(xiàn)，這跟AB、AC的長度有關(guān)。當(dāng)AB＜AC時，如圖 4，圓弧與∠B的另一邊只有一個交點(diǎn)；當(dāng)AB=AC時，如圖5，圓弧與∠B的另一邊有兩個交點(diǎn)，但其中一個交點(diǎn)與點(diǎn)B重合。也就是說，在“邊邊角”的條件下，當(dāng)∠B是銳角時，如果AB≤AC，三角形的形狀是確定的，兩個三角形是全等的。具體的證明留給同學(xué)們。

我們回頭再看一下圖2 和圖3 會發(fā)現(xiàn)，在這兩種情形中，同樣有AB≤AC。因此，我們不難得出：兩個三角形在滿足“邊邊角”的條件下，只要該角的鄰邊小于或等于該角的對邊，這兩個三角形一定全等。