兩水平擴(kuò)大設(shè)計(jì)基于中心化L2-偏差的均勻性*

李 潔，歐祖軍

(吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 吉首 416000)

折疊反轉(zhuǎn)是部分因子設(shè)計(jì)去除效應(yīng)別名的一種重要方法.將通過(guò)折疊反轉(zhuǎn)方案得到的跟隨設(shè)計(jì)與初始設(shè)計(jì)合并得到的設(shè)計(jì)，稱(chēng)為擴(kuò)大設(shè)計(jì).折疊反轉(zhuǎn)方案不同，會(huì)導(dǎo)致擴(kuò)大設(shè)計(jì)的偏差值產(chǎn)生差異，所以要根據(jù)偏差值來(lái)篩選最優(yōu)折疊反轉(zhuǎn)方案.方開(kāi)泰等[1]首次采用均勻性準(zhǔn)則來(lái)評(píng)價(jià)最優(yōu)折疊反轉(zhuǎn)方案，并利用中心化L2-偏差來(lái)度量折疊反轉(zhuǎn)方案的優(yōu)劣.Li等[2]得到了兩水平部分因子設(shè)計(jì)的所有最優(yōu)折疊反轉(zhuǎn)方案.雷軼菊等[3]得到了中心化L2-偏差下折疊反轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)的一些下界.隨后，學(xué)者們[4-7]對(duì)偏差下界算法進(jìn)行了優(yōu)化和完善.胡柳平等[8]設(shè)計(jì)了一種計(jì)算偏差下界的新算法，相較于文獻(xiàn)[3-7]中的下界算法，新算法更依賴(lài)于設(shè)計(jì)本身，得到的下界更優(yōu).基于該新算法，筆者擬研究?jī)伤綌U(kuò)大設(shè)計(jì)基于中心化L2-偏差的均勻性.

1 基本概念

記有n個(gè)處理、k個(gè)因子的兩水平部分因子設(shè)計(jì)為d，用+1和-1來(lái)代表兩水平，+1代表高水平，-1代表低水平.當(dāng)設(shè)計(jì)d中各因子的每個(gè)水平出現(xiàn)的次數(shù)相同時(shí)，稱(chēng)該設(shè)計(jì)為U-型設(shè)計(jì)[9].所有兩水平U-型設(shè)計(jì)的集合記為U(n;2k).設(shè)計(jì)d對(duì)應(yīng)一個(gè)n×k階矩陣Xd=(xij)n×k=(x1,…,xk)，其中xi表示設(shè)計(jì)d的第i列，xij∈{+1，-1}.矩陣Xd的每一行對(duì)應(yīng)設(shè)計(jì)d中的一個(gè)處理，每一列對(duì)應(yīng)設(shè)計(jì)d中的一個(gè)試驗(yàn)因子.

中心化L2-偏差可作為評(píng)判折疊反轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)方案優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn).對(duì)于任意設(shè)計(jì)d∈U(n;2k)，CD(d)表示設(shè)計(jì)d的中心化L2-偏差值，其表達(dá)式為[11]

2 [CD(dγ))]2的新下界

對(duì)于任意設(shè)計(jì)d∈U(n;2k)和γ∈Γm,m=0,1,…,k,設(shè)計(jì)d的第i行和第j行的Hamming距離記為hij(d)，設(shè)計(jì)d的第i行和第j行相同元素的個(gè)數(shù)表示為cij(d)=k-hij(d).記N是由設(shè)計(jì)d中未反號(hào)的k-m列構(gòu)成的子設(shè)計(jì)，同理可標(biāo)記子設(shè)計(jì)N的第i行和第j行的Hamming距離hij(N)和相同元素的個(gè)數(shù)cij(N)=k-m-hij(N).對(duì)于任意兩水平設(shè)計(jì)d∈U(n;2k)和γ∈Γm，有

(1)

對(duì)于設(shè)計(jì)d∈U(n;2k)和γ∈Γm，筆者基于引理1給出了擴(kuò)大設(shè)計(jì)d(γ)的中心化L2-偏差CD(d(γ))的一個(gè)新下界：

證明由(1)式可知，

證畢.

對(duì)于設(shè)計(jì)d∈U(n;2k)和γ∈Γm，有如下相關(guān)的下界結(jié)論：

這里：

(2)

根據(jù)定理1和引理2給出的下界值進(jìn)行擇優(yōu)選取，可以得到如下結(jié)論：

考慮到設(shè)計(jì)d中任意2個(gè)不同行i,j(i≠j;i,j=1,…,n)的Hamming距離hij(d)為常數(shù)λ時(shí)，表達(dá)式有一定的簡(jiǎn)化，于是得到如下結(jié)論：

證明

證畢.

同樣地，對(duì)于設(shè)計(jì)d的任意2個(gè)不同行i,j(i≠j;i,j=1,…,n)之間的Hamming距離hij(d)是常數(shù)λ的情況，有如下下界算法：

針對(duì)設(shè)計(jì)d的任意2個(gè)不同行i,j(i≠j;i,j=1,…,n)之間的Hamming距離hij(d)是常數(shù)λ的情況，根據(jù)定理3和引理3給出的下界值進(jìn)行擇優(yōu)選取，可以得到如下結(jié)論：

3 數(shù)值實(shí)例

例1考慮設(shè)計(jì)d∈U(8;214)，它可以表示為如下矩陣形式：

表1給出了設(shè)計(jì)d的具體數(shù)值計(jì)算結(jié)果.

表1 設(shè)計(jì)d的數(shù)值結(jié)果Table 1 Numerical Results of d

從表1可知，當(dāng)1≤m≤14時(shí)，定理3中的下界LCD3(n,k,m)都比原有下界LCD4(n,k,m)更好，且大部分下界是達(dá)到偏差下界的.

表2 設(shè)計(jì)的數(shù)值結(jié)果Table 2 Numerical Results of

表2(續(xù))Table 2 (Conituned)

從表2可知，當(dāng)m=5和m=6時(shí)，定理1中的下界LCD1(n,k,m)比原有下界LCD2(n,k,m)更好，且當(dāng)m=9時(shí)，下界LCD1(n,k,m)是達(dá)到偏差下界的.