淺談反證法在高中代數(shù)中的一些應(yīng)用

張昕

摘 要：反證法是高中階段需要掌握的基本證明方法，它在中學(xué)數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。了解反證法的思維方式，強(qiáng)調(diào)反證法中的逆向思維對(duì)于解決相關(guān)命題的重要性，引導(dǎo)并要求學(xué)生能用逆向思維解決更多的數(shù)學(xué)問題，特別是對(duì)于一些難度比較大的證明題，靈活地運(yùn)用反證法，就能迎刃而解。本文首先介紹了反證法的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，通過分析命題，總結(jié)反證法在各類命題中的使用規(guī)律，然后歸納出反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)代數(shù)解題中的應(yīng)用。

關(guān)鍵字：反證法;證明;逆向思維

反證法是間接論證的方法之一，是通過推論出與論題相矛盾的命題來確定原論題的真實(shí)性的一種方法。即肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而導(dǎo)出矛盾，推理而得。也就是說假設(shè)命題的結(jié)論不成立，在已知條件和“否定命題結(jié)論”的新條件下，通過邏輯推理，得出與公理、定理、題設(shè)相矛盾的結(jié)論或自相矛盾的結(jié)論，從而得出命題結(jié)論的反面不成立，即證明了原命題結(jié)論一定是正確的。

1.反證法的一般步驟

反證法的證明模式可以簡(jiǎn)單的概括為兩個(gè)否定，一個(gè)推理。也就是否定結(jié)論，再利用相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，正確無誤的推導(dǎo)出與邏輯矛盾的結(jié)果，最后便可以否定剛開始的否定。所以可以得出反證法證明命題的一般步驟，如下：

（1）反設(shè)。假設(shè)原命題反設(shè)成立;

（2）歸謬。從命題的假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過相關(guān)推理得出和反面命題矛盾，或者與定義、公理、定理相矛盾的結(jié)論;

（3）結(jié)論。得出假設(shè)命題不成立，即證明原命題成立

2.反證法在代數(shù)中的應(yīng)用

反證法是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一。盡管在平時(shí)一些定理或者命題的證明中，學(xué)生接觸過一些，但是接觸的都比較淺，印象不是特別的深，以至于在解題過程中，根本沒有運(yùn)用反證法來解決問題的意識(shí)。所以在平時(shí)的課堂中，可以加入反證法來對(duì)例題進(jìn)行另種方法的講解，在其講解過程中，反復(fù)地強(qiáng)調(diào)反證法的邏輯思維，讓反證法漸漸滲透到學(xué)生的數(shù)學(xué)思想中，培養(yǎng)學(xué)生多維度思考問題的能力以及學(xué)生的逆向思維能力。

下面我們來看看反證法在高中代數(shù)中的簡(jiǎn)單運(yùn)用。

2.1 肯定性命題

反證法可以用來解決結(jié)論里面出現(xiàn)“一定是”、“是”等肯定性詞語(yǔ)的命題。

分析：如果應(yīng)用反證法，那么首先要找到原命題結(jié)論的對(duì)立面，也就是有且只有的對(duì)立面，那就是至少有兩個(gè)，再根據(jù)相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，來推導(dǎo)出與已知矛盾的結(jié)論。

小結(jié)：可能同時(shí)大于的矛盾面，就是同時(shí)大于，從這個(gè)矛盾角度入手，去構(gòu)造出與原命題相關(guān)的式子，然后通過一系列的計(jì)算推導(dǎo)出與已知矛盾的結(jié)論，最后得出相對(duì)應(yīng)的結(jié)論，也就是原命題成立，得證。

分析：這個(gè)是一個(gè)用反證法證明不等式的問題，總體思想是，首先假設(shè)原命題不成立，試著推出與假設(shè)不一致的結(jié)論，進(jìn)而說明原命題是正確的。由題意知，要證中至少有一個(gè)大于0，可設(shè)都不大于0。即，那么接下來可以根據(jù)已知條件將化為的形式，判斷其取值范圍，與進(jìn)行比較即可解答。

2.4否定性命題

命題中含有某些像“沒有”、“不”、“無”等否定性的詞語(yǔ)，那么這個(gè)時(shí)候可以采用反證法來巧妙的解決證明題。

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