“度量”在前 “關(guān)系”在后

周維娜

【摘要】遵循分數(shù)的本身特點，打破教材原結(jié)構(gòu)，重新建構(gòu)分數(shù)知識網(wǎng)絡(luò)：先從度量出發(fā)，認識分數(shù)是“分”出來的、有大小的一種新的數(shù)，也就是“數(shù)”維度的分數(shù);再教表示“關(guān)系”維度的分數(shù)，即分數(shù)的無量綱性。這樣的教學(xué)方式對解決教學(xué)上的困惑、學(xué)生的錯誤頑疾以及教材編排邏輯上的不講道理是行之有效的。

【關(guān)鍵詞】度量;關(guān)系;抽象;分數(shù)教學(xué)

分數(shù)是公認的小學(xué)階段最抽象、最復(fù)雜也是最容易出現(xiàn)問題的概念之一，對分數(shù)概念的學(xué)習(xí)和掌握是小學(xué)階段最難的學(xué)習(xí)任務(wù)之一。這不僅要求教師深刻理解分數(shù)的學(xué)術(shù)形態(tài)，還要研究如何有效落實“分數(shù)教學(xué)”，呈現(xiàn)學(xué)生容易接受的教育形態(tài)。

教材安排的“分數(shù)的初步認識”直接從“關(guān)系”維度入手學(xué)習(xí)分數(shù)，和學(xué)生原有的認數(shù)經(jīng)驗有沖突，學(xué)生不那么容易接受。無獨有偶，嘉興的朱國榮老師先教有單位的分數(shù)，“分數(shù)的初步認識”中的分數(shù)是始終帶著單位的;臺灣老師在“分數(shù)的簡單應(yīng)用”中的分數(shù)也是帶著單位的;余姚朱震緋老師主張“從自然數(shù)的角度認識分數(shù)”。受此啟發(fā)，筆者遵循分數(shù)的本身特點，打破教材原結(jié)構(gòu)，重新建構(gòu)分數(shù)知識網(wǎng)絡(luò)：先從度量出發(fā)，認識分數(shù)是“分”出來的數(shù)，有大小的，也就是“數(shù)”維度的分數(shù);再教表示“關(guān)系”維度的分數(shù)。

一、度量操作中“分”出分數(shù)

把五下“分數(shù)的意義”中“分數(shù)的產(chǎn)生”提前到“分數(shù)的初步認識”第一課，通過度量、分物等操作活動告訴學(xué)生：分數(shù)是在不能用自然數(shù)表示的情況下產(chǎn)生的，首先表示是數(shù)量的多少，分數(shù)后面可以有不同的單位;分數(shù)是在度量操作中“分”出來的數(shù)，是介于0和1之間的，是自然數(shù)系的擴充。

【“幾分之一”的教學(xué)片段】

●分蘋果，引出1/2個

師：今天的學(xué)習(xí)就從分蘋果開始。

4個蘋果平均分成2份，每份有幾個？（2個）

2個蘋果平均分成2份，每份有幾個？（1個）

1個蘋果平均分成2份，每份有幾個？（半個）

師：如果用一個數(shù)表示，誰有辦法？

●分物體，感知表示數(shù)量的1/2

依次呈現(xiàn)上圖。

師：1個月餅平均分成2份，一份是幾個？（1/2個）

師：1/2個月餅在哪里？你能指一指嗎？這里的1/2個是誰的1/2？

師：一張長方形紙平均分成2份，這一份是幾張？（1/2張）

師：1/2張紙又在哪里？是誰的1/2？

師：把1米長的彩帶平均分成2份，這一份是幾米？（1/2米）

師：1/2米在哪里？請你在圖上指出來。這個1/2米又是誰的1/2？

課堂上通過平均分，每份個數(shù)從“自然數(shù)個”到“一半”“半個”，不能再用自然數(shù)表示，讓學(xué)生很自然經(jīng)歷分數(shù)產(chǎn)生的過程。教學(xué)上這樣處理，教師的教和學(xué)生的學(xué)不會背道而馳，符合學(xué)生的認數(shù)認知，符合數(shù)系擴張的數(shù)學(xué)本質(zhì)。一個蘋果、一張紙平均分成2份，每份就是半個蘋果、半張紙，也就是1/2個、1/2張。這個環(huán)節(jié)，不出現(xiàn)一般的分數(shù)定義，只是用分數(shù)描述一些平均分意義下某個部分的具體大小，分數(shù)始終帶有單位，從“數(shù)量”的角度去認識分數(shù)，有助于學(xué)生不斷體會“分數(shù)是一種有大小的數(shù)”，是一個在度量操作中分出來的新的“數(shù)”。

二、具體數(shù)量中抽象出分數(shù)

史寧中教授認為，分數(shù)是一種無量綱（或稱量綱一）的數(shù)，認識分數(shù)的無量綱性對于分數(shù)的建模是非常重要的。教材沒有向?qū)W生揭示分數(shù)無量綱性的意義。為此，我們要創(chuàng)設(shè)行之有效的數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生體會分數(shù)無量綱性的意義，知“分數(shù)”其所以然。

【“幾分之一”教學(xué)片段】

●具體數(shù)量中抽象出1/2

師：為什么這些1/2表示的東西不一樣，卻都可以用1/2表示？

●1/2可以表示什么？

生1：一個西瓜平均分成2份，任何一份都可以用1/2表示。

生2：一個正方形平均分成2份，其中一份可以用1/2表示。

生3：一根繩子對折剪斷，每一段是繩子總長度的1/2。

這個環(huán)節(jié)設(shè)計就是給學(xué)生足夠多的素材，在這些素材中經(jīng)歷1/2的抽象、建模過程。先在“分物”的具體情境中產(chǎn)生“表示數(shù)量”的1/2這個分數(shù)，學(xué)生認識了一個個“接地氣”的“1/2個蘋果、1/2張紙、1/2米……”然后教師追問：“為什么這些1/2表示的東西不一樣，具體大小也不同，卻都可以用1/2表示？”這既是分數(shù)抽象建模的過程，也是讓學(xué)生體會分數(shù)“無量綱性”的過程。舍棄非本質(zhì)的東西：“1/2個蘋果、1/2張紙、1/2米”表示的形狀、大小不一樣。抽取共同、本質(zhì)的特征：凡是一個物體平均分成2份，表示其中的一份都是1/2，與物體本身的大小無關(guān)，這也是分數(shù)的無量綱性。抽象之后，又回到現(xiàn)實的問題情境中：“1/2還可以表示什么？”再次讓學(xué)生體會1/2的無量綱性。這樣來回，既建立了分數(shù)1/2表示“部分與整體關(guān)系”的模型，又讓學(xué)生理解了“1/2首先是一個數(shù)”。因為這個環(huán)節(jié)的單位1表示的數(shù)量都是1個，所以這里的1/2=1/2個。

三、比較中抽象出分數(shù)

圖5是“分數(shù)的簡單應(yīng)用”中例1的材料，學(xué)生在理解上難度很大，明明是1個正方形、2個蘋果，可以用整數(shù)1、2表示，為什么非要用1/3、1/4表示呢？“1個正方形是4個正方形的1/4”“1份是蘋果總數(shù)的1/3”就無法成為學(xué)生的內(nèi)需，只能成為教師“教新知識”的過程。解決這一問題，可以通過比較、找不同中的相同點，進而用分數(shù)的無量綱性來表達這種相同之處，即在比較中抽象出分數(shù)。

【“分數(shù)的簡單應(yīng)用”教學(xué)片段】

1.復(fù)習(xí)整體數(shù)量是1個的1/4（呈現(xiàn)圖6）

師：你能用一個分數(shù)表示藍色部分紙嗎？（1/4）

師：這個1/4表示誰的1/4？

師：這個1/4后面可以加單位“張”嗎？

2.引入整體數(shù)量4個的1/4（呈現(xiàn)圖7）

師：這張紙也能用1/4來表示，你猜一猜，這張紙的周圍還藏著這樣的幾張？

師：這張紙的周圍還藏著這樣的3張，那總共有幾張這樣的紙呢？（呈現(xiàn)圖8）藍色紙占了全部紙的——（生答1/4）

師：這個1/4能添加單位“張”嗎？為什么？

學(xué)生先認識分數(shù)是有大小的一種新的數(shù)，再理解分數(shù)的無量綱性：表示關(guān)系的分數(shù)。這樣的分數(shù)教學(xué)方式對解決教學(xué)上的困惑、學(xué)生的錯誤頑疾以及教材編排邏輯上的不講道理是行之有效的。

【參考文獻】

[1]史寧中.基本概念與運算法則：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問題[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2]朱國榮.像教自然數(shù)那樣教分數(shù)——“分數(shù)的初步認識”教學(xué)新思考[J].小學(xué)教學(xué)，2015（07）：41-45.

[3]朱國榮.分數(shù)表示關(guān)系的含義，該怎樣教——“分數(shù)的簡單應(yīng)用”教學(xué)實踐與思考[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2016（07）：66-71.

[4]朱震緋.從自然數(shù)的角度認識分數(shù)——“幾分之一，幾分之幾”教學(xué)實踐與思考[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2016（03）.