利用函數(shù)不等式解高考函數(shù)題的策略分析

摘?要：在近幾年的高考題中，活躍著一類(lèi)與自然底對(duì)數(shù)有關(guān)的不等式，其中有一部分題目通過(guò)等價(jià)變形最終可以轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的對(duì)數(shù)函數(shù)不等式：1-1/x≤lnx≤x-1（x>0）（以下統(tǒng)一稱(chēng)之為對(duì)數(shù)函數(shù)不等式）。這類(lèi)問(wèn)題因綜合性強(qiáng)、立意新穎、構(gòu)思巧妙、技巧性高等特點(diǎn)愈加得到命題者的青睞，且常作為各類(lèi)試卷的壓軸題出現(xiàn)，但學(xué)生往往因?yàn)槔聿磺鍡l件之間的關(guān)系，找不到解決問(wèn)題的入口而陷入困境，文章擬對(duì)這類(lèi)問(wèn)題加以探究、總結(jié)，希望找到解決這些問(wèn)題的規(guī)律，并對(duì)教師課堂教學(xué)形成一定的啟發(fā)。淺薄觀(guān)點(diǎn)，敬請(qǐng)同行指正。

關(guān)鍵詞：函數(shù)不等式;高考;函數(shù)題

一、 知識(shí)理解

對(duì)數(shù)函數(shù)不等式因其思維巧妙、形式簡(jiǎn)潔，因此經(jīng)常滲透于各種函數(shù)模型中考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，但也因?yàn)槠潆[秘性導(dǎo)致解題時(shí)對(duì)化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想要求較高，部分同學(xué)對(duì)這類(lèi)題型望而卻步，導(dǎo)致得分率都不高。事實(shí)上，教學(xué)時(shí)，可以以對(duì)數(shù)不等式為基礎(chǔ)，通過(guò)理論證明、直觀(guān)解釋?zhuān)瑤椭瑢W(xué)抓住問(wèn)題的本質(zhì)，在解答時(shí)從宏觀(guān)角度把握解題方向，有時(shí)會(huì)起到事半功倍的效果。

點(diǎn)評(píng)：本題為2013全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ卷的壓軸題，不僅考查函數(shù)、不等式等有關(guān)的傳統(tǒng)知識(shí)和方法，而且還考查導(dǎo)數(shù)等工具的掌握和靈活運(yùn)用。本題第（1）問(wèn)設(shè)計(jì)數(shù)形結(jié)合思想，從而迅速求得f（x）的單調(diào)區(qū)間，但第二問(wèn)若用同樣方法或者通過(guò)構(gòu)造函數(shù)尋找最值證明，顯然碰到了復(fù)雜運(yùn)算，其中f′（x）=0更是超越方程，一般無(wú)法直接求解。但若用對(duì)數(shù)函數(shù)不等式證明，思路明確，過(guò)程簡(jiǎn)捷，淡化繁難技巧，解法過(guò)程一氣呵成，真正實(shí)現(xiàn)“大題小做”，數(shù)學(xué)之精妙溢于言表。因此本題可充分考查考生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，符合新課改的精神，是難得的好題。

數(shù)學(xué)問(wèn)題千變?nèi)f化，解法靈活多變，即便是同一道題，也有多種解題切入點(diǎn)。教師在追求問(wèn)題能被解決的同時(shí)，不要拘泥常法、不恪守常規(guī)，應(yīng)善于開(kāi)拓、變異、發(fā)散，從多角度、多方位、多途徑進(jìn)行解答，合理運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，尋找最優(yōu)途徑。如文章例3、例6從正面直接入手很難取得突破，而如果對(duì)問(wèn)題的形式稍做轉(zhuǎn)化，從側(cè)面入手，問(wèn)題便會(huì)迎刃而解，因此在解題中我們需要靈活應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想，從而達(dá)到化難為易、化繁為簡(jiǎn)、化未知為已知、化陌生為熟悉的目的。適時(shí)地進(jìn)行一題多解的展示，能培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、激發(fā)學(xué)生的探究熱情，同時(shí)這些解題策略和方法之間必定有繁簡(jiǎn)優(yōu)劣之分，教師在講評(píng)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比分析，一定能加深學(xué)生的體會(huì)，從而優(yōu)化學(xué)生的解題思路和解題方法。而所有的這一切都是為了形成探索性的學(xué)習(xí)方式，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力。

總之，數(shù)學(xué)題目是永遠(yuǎn)出不完，也是永遠(yuǎn)做不完的，但是，如果善于運(yùn)用變式，在變式中掌握一類(lèi)問(wèn)題的解法，則會(huì)以少勝多，大大提高教學(xué)的效率、消除和防止因思維僵化、想法呆板而帶來(lái)的問(wèn)題。如，文章中對(duì)數(shù)函數(shù)不等式的三個(gè)變形體現(xiàn)的是同一個(gè)數(shù)學(xué)本質(zhì)（幾何解釋可說(shuō)明），但形式的差異可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣及對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，從而在解決不同類(lèi)型的題目時(shí)能以不變應(yīng)萬(wàn)變。當(dāng)然，變式不宜太多，否則學(xué)生將會(huì)陷入對(duì)數(shù)量繁多的變式的辨析中，忽視了知識(shí)的本質(zhì)，難以掌握知識(shí)的來(lái)龍去脈。建議在教學(xué)中安排的例題、習(xí)題的變式時(shí)應(yīng)注意設(shè)計(jì)結(jié)論的發(fā)生情境，重視公式、結(jié)論等的形成過(guò)程，讓學(xué)生自己去歸納概括。這不僅加深了學(xué)生對(duì)公式、結(jié)論的認(rèn)識(shí)和記憶，而且能提高學(xué)生的概括水平、思維能力，提高數(shù)學(xué)思維的品質(zhì)。

點(diǎn)評(píng)：本題是2011年普通高考湖北理科試卷壓軸題（第21題），以函數(shù)不等式立意，主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理論證的能力，滲透化歸、轉(zhuǎn)化的思想。題目起點(diǎn)低，落點(diǎn)高，綜合性強(qiáng)，通過(guò)三個(gè)問(wèn)題逐層推進(jìn)，難度逐步提高，全面檢測(cè)考生的觀(guān)察、試驗(yàn)、聯(lián)想、猜測(cè)、類(lèi)比、探究等思維品質(zhì)，考題蘊(yùn)含豐富的潛在價(jià)值。解法中對(duì)數(shù)函數(shù)不等式的使用可謂匠心獨(dú)運(yùn)，數(shù)學(xué)簡(jiǎn)捷美的本質(zhì)所帶來(lái)的震撼令人意猶未盡。

參考文獻(xiàn)：

[1]李洪洋.不等式“搭臺(tái)”?導(dǎo)數(shù)“唱戲”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)·高中版，2009（3）：27-30.

[2]方亞斌.ex的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式演繹高考題[J].數(shù)學(xué)通訊·下半月，2012（2）：50-53.

[3]江志杰.基于數(shù)學(xué)解題變式的高三教學(xué)主張[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2013（1）：24-58.

[4]周超.構(gòu)造函數(shù)巧解題[J].數(shù)學(xué)通訊·下半月，2013（6）：33-34.

作者簡(jiǎn)介：

王成焱，福建省廈門(mén)市，福建省廈門(mén)雙十中學(xué)。