均值-半方差投資組合優(yōu)化問題的HHO算法求解

倪百秀，朱佩佩，王雪瑩，岳 芹

(皖西學(xué)院 金融與數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 六安 237012)

1990年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎獲得者M(jìn)arkowitz于1952年提出了均值-方差(Mean-Variance, MV)模型[1]，開創(chuàng)了證券組合理論的新紀(jì)元，奠定了現(xiàn)代金融投資理論的基礎(chǔ)。然而，大量的實(shí)證研究結(jié)果表明資產(chǎn)收益率具有尖峰厚尾的特性[2]，這與均值-方差模型假設(shè)資產(chǎn)收益率服從正態(tài)分布相悖。為了克服均值-方差模型在實(shí)際投資組合應(yīng)用中的局限性，同時考慮到收益率向上方的波動即高于收益平均值的波動為超額收益而收益率向下方波動即低于收益平均值的波動為損失風(fēng)險，因而Markowitz后來的研究表明半方差比方差更適合度量投資風(fēng)險，進(jìn)而構(gòu)建均值-半方差(Mean - Semivariance, MSV)模型[2,3]。隨后，很多學(xué)者對均值-半方差投資組合選擇問題進(jìn)行了大量的實(shí)證研究，如Pla-Santamaria和Bravo基于道瓊斯藍(lán)籌股2005-2009年的日收益率數(shù)據(jù)構(gòu)建均值-半方差投資組合優(yōu)化模型并與均值-方差進(jìn)行對比，實(shí)證研究的結(jié)果表明前者很好地刻畫了下方風(fēng)險[4]；Vasant等人用約翰內(nèi)斯堡證券交易所的2003-2013年間的股票數(shù)據(jù)進(jìn)行均值方差和均值半方差模型優(yōu)化的比較[5]，結(jié)果表明半方差的風(fēng)險度量方式在一定的投資組合規(guī)模范圍內(nèi)是有效的，一旦投資組合規(guī)模變大，收益將會減少。王性玉和薛桂筠選取54只封閉式證券投資基金2003-2008年的周收盤價數(shù)據(jù)進(jìn)行方差與半方差的風(fēng)險刻畫方法的比較研究[6]，其結(jié)果表明半方差比方差更加適用于我國這個新興金融市場的風(fēng)險刻畫。

盡管諸多的實(shí)證研究結(jié)果更傾向于用半方差來刻畫投資組合的風(fēng)險，但均值-半方差模型不再是二次規(guī)劃模型，其半方差目標(biāo)函數(shù)是不可微的，因而經(jīng)典的基于梯度的優(yōu)化算法不再適用，其模型求解存在很大的困難。Markowitz等提出一種臨界線性算法[3]，進(jìn)而獲得其有效前沿；Ballestero借助于啟發(fā)式搜索算法實(shí)現(xiàn)均值-半方差模型的求解[7]，并與均值-方差模型進(jìn)行比較研究；Estrada提出一種啟發(fā)式搜索算法來求解均值-半方差模型[8]，其求解精度較高；Huang構(gòu)建了均值-半方差模糊投資組合選擇模型[9]，借助遺傳算法求解模型效果很好。

近年來，隨著智能算法理論和應(yīng)用的蓬勃發(fā)展，其在復(fù)雜的投資組合優(yōu)化問題求解方面取得了豐碩的研究成果[10-14]。哈里斯鷹優(yōu)化算法(HHO)是由Heidari等人于2019年通過模仿美洲最典型的猛禽哈里斯鷹的種群捕食策略而建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)而構(gòu)造出一種新型仿生群智能算法[15]，并成功應(yīng)用于函數(shù)優(yōu)化[15-16]、圖像分割以及工程優(yōu)化等問題[17-18]。本文擬探尋用HHO算法來求解均值-半方差投資組合優(yōu)化模型，并通過實(shí)證研究來與均值-方差模型進(jìn)行對比以檢驗(yàn)半方差的風(fēng)險度量方式的有效性。

一、問題描述與數(shù)學(xué)模型

(一)均值-方差模型

(二)均值-半方差模型

文獻(xiàn)[19]給出了資產(chǎn)i和資產(chǎn)j的收益率間的半?yún)f(xié)方差的定義如下：

(5)

(6)

因此，用投資組合收益的半方差來代替方差，即可得到均值-半方差投資組合優(yōu)化模型如下：

式(7)—(10)所描述的均值-半方差投資組合模型已不再是二次規(guī)劃問題，其中式(7)所描述的目標(biāo)函數(shù)是不可微的，因而經(jīng)典的基于梯度的優(yōu)化算法已不再適用于該模型的求解。文獻(xiàn)[8]構(gòu)建了一種啟發(fā)式搜索算法實(shí)現(xiàn)求解，文獻(xiàn)[20]采用遺傳算法進(jìn)行求解，均取得不錯的效果。本文探尋用新型的仿生群智能算法HHO來求解該模型。

二、哈里斯鷹優(yōu)化算法

(一)HHO算法描述

Heidari等人于2019年模擬哈里斯鷹種群捕食策略而構(gòu)造出一種新型群智能仿生優(yōu)化算法——哈里斯鷹優(yōu)化算法[15]。該算法通過模擬北美的哈里斯鷹群搜尋、追蹤獵物的過程以及豐富多變的攻擊策略構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而形成一種無梯度優(yōu)化算法用于求解各種優(yōu)化問題。其構(gòu)建過程簡述如下[15]：

1.勘探階段

考慮由N只哈里斯鷹組成的鷹群，設(shè)在時刻t鷹群中第i只鷹隨機(jī)棲息在位置Xi(t)，其基于以下兩種策略保持長時間等待、觀察和監(jiān)視地面區(qū)域以發(fā)現(xiàn)野兔等獵物，即下一時刻其所在位置為：

(11)

其中Xrabbit(t)表示時刻t野兔的位置，Xrand(t)為從鷹群中隨機(jī)選擇一只鷹的位置，r1,r2,r3,r4和q均為(0,1)中的隨機(jī)數(shù)，且在每一步迭代中均進(jìn)行更新，LB和UB為搜索空間的下界和上界向量，Xm(t)表示時刻t時鷹群位置向量的平均值，即“中心位置”，其計(jì)算式如下：

(12)

2.轉(zhuǎn)換機(jī)制

在HHO算法中，哈里斯鷹通過對野兔的逃逸能量的判斷結(jié)果來實(shí)現(xiàn)勘探和開發(fā)兩種搜索機(jī)制的轉(zhuǎn)換。時刻t野兔的逃逸能量E(t)定義如下：

(13)

其中E0∈(-1,1)為野兔的初始逃逸能量，T為最大迭代次數(shù)。當(dāng)E(t)≥1時哈里斯鷹開啟勘探模式，即在較大范圍內(nèi)搜索野兔；當(dāng)E(t)<1時，其采用開發(fā)模式，即在較小區(qū)域內(nèi)搜索野兔。

3.開發(fā)階段

在HHO算法的開發(fā)階段，基于野兔所處形勢下成功逃逸的機(jī)會r和逃逸能量E(t)的大小，設(shè)計(jì)出四種局部搜索策略：

(1)軟包圍策略

當(dāng)r≥0.5且|E(t)|≥0.5時，第i只鷹的位置更新如下：

(14)

其中ΔXi(t)=Xrabbit(t)-Xi(t)是野兔與鷹的位置向量之差，J=2(1-r5)表示野兔逃逸過程中隨機(jī)跳的強(qiáng)度，在每次迭代中通過生成隨機(jī)數(shù)r5∈(0,1)來隨機(jī)改變其值。

(2)硬包圍策略

當(dāng)r≥0.5且|E(t)|<0.5時，第i只鷹的位置更新如下：

(15)

其中ΔXi(t)的定義如前。

(3)軟包圍+漸進(jìn)式快速俯沖策略

當(dāng)r<0.5且|E(t)|≥0.5時，第i只鷹的位置更新如下：

(16)

其中f為適應(yīng)度函數(shù)，Y和Z的定義如下：

其中D是問題的維度，S是D維隨機(jī)行向量，算子LF(·)為執(zhí)行Lévy飛行操作，定義如下：

(19)

其中u和v均是(0,1)內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，β是常數(shù)，且通常設(shè)為1.5。

(4)硬包圍+漸進(jìn)式快速俯沖策略

當(dāng)r<0.5且|E(t)|<0.5時，第i只鷹的位置更新如下：

(20)

其中f和Z的定義同前，Y的定義如下：

(21)

(二)HHO算法步驟

HHO算法步驟概括如下：

Step 1 初始化基本參數(shù)：鷹群規(guī)模N和最大迭代次數(shù)T。

Step 2 為每只鷹隨機(jī)生成初始位置Xi(0),i=1,2,…,N。

Step 3 計(jì)算每只鷹的適應(yīng)度值，將其最優(yōu)值對應(yīng)的位置設(shè)為野兔的位置。

Step 4 按式(13)更新野兔的逃逸能量E(t)，并根據(jù)其值來決定執(zhí)行Step5或Step6。

Step 5 執(zhí)行勘探搜索模式，按式(11)更新鷹的位置。

Step 6 執(zhí)行開采搜索模式，根據(jù)成功逃逸的機(jī)會r和逃逸能量E(t)的值來決定執(zhí)行其搜索策略，更新鷹的位置。

Step 7 重復(fù)Step3—6直到達(dá)到最大迭代次數(shù)，輸出野兔的位置(最優(yōu)解)和其適應(yīng)度值(最優(yōu)值)。

三、哈里斯鷹優(yōu)化算法求解均值-半方差模型的算法架構(gòu)

(一)個體構(gòu)成

鷹群中的每一只哈里斯鷹的位置向量X=(x1,x2,…,xn)代表一個投資組合的策略，其第i維分量xi表示該投資組合中持有第i種資產(chǎn)的資金比例，即該資產(chǎn)在投資組合中所占權(quán)重。

(二)適應(yīng)度函數(shù)的表示

按照前文式(7)所描述的均值-半方差投資組合優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)，可得HHO算法求解均值-半方差投資組合優(yōu)化問題時用于評價個體優(yōu)劣的適應(yīng)度函數(shù)可定義如下：

(22)

(三)約束的處理

利用拉格朗日乘子法將該約束加入到目標(biāo)函數(shù)，得到新的適應(yīng)度函數(shù)如下：

(23)

其中非常大的正數(shù)M為懲罰因子，本文設(shè)為1000，[x]+=max{x,0}。

2)約束和非負(fù)約束：0≤xi≤1,i=1,2,…,n

通過設(shè)置變量的取值區(qū)間為[0,1]和迭代過程中執(zhí)行變量邊界檢測來實(shí)現(xiàn)。

四、實(shí)證研究

(一)樣本數(shù)據(jù)的選取與統(tǒng)計(jì)特征

本文選取上海證券交易所十只不同行業(yè)的股票構(gòu)造投資組合進(jìn)行實(shí)證研究，數(shù)據(jù)時間期限為2009年1月1日到2019年12月31日。十只股票分別為中國石化(600028)、中信證券(600030)、招商銀行(600036)、中國聯(lián)通(600050)、上汽集團(tuán)(600104)、東方航空(600115)、兗州煤業(yè)(600188)、貴州茅臺(600519)、山東黃金(600547)和中國平安(601318)，利用雅虎財(cái)經(jīng)獲得574周收盤價數(shù)據(jù)，采用對數(shù)收益率，如下圖1給出十只股票的價格變化趨勢。

圖1 中國石化等十個資產(chǎn)2009—2019年的周收盤價數(shù)據(jù)

所選十個資產(chǎn)的周收益率數(shù)據(jù)基本統(tǒng)計(jì)特征如表1所示，并采用Jarque-Bera檢驗(yàn)法對其周收益率是否服從正態(tài)分布進(jìn)行檢驗(yàn)，其J-B值和P值的結(jié)果如表1所示。

表1 10個資產(chǎn)的周收益率的基本統(tǒng)計(jì)特征和J-B檢驗(yàn)結(jié)果

表1顯示十只股票周收益率樣本數(shù)據(jù)的峰度值最小者為3.9458，大于3(正態(tài)分布的峰度值)，其最大者高達(dá)13.7184，表現(xiàn)為尖峰性，不同于正態(tài)分布；同時其偏度(Skewness)值均不等于零，具有偏態(tài)，有異于正態(tài)分布的對稱性；Jarque-Bera檢驗(yàn)的結(jié)果表明十只股票的周收益率均在99%的置信水平下拒絕正態(tài)分布的假設(shè)。圖2描繪出招商銀行、中國平安、山東黃金和東方航空等四只股票周收益率的正態(tài)分布檢驗(yàn)Q-Q圖，較為清晰地顯示這些股票周收益率樣本數(shù)據(jù)并不服從正態(tài)分布。

圖2 招商銀行等四個資產(chǎn)的周收益率樣本數(shù)據(jù)的Q-Q圖

(二)實(shí)驗(yàn)設(shè)置

為了便于對比HHO算法求解均值-半方差投資組合優(yōu)化模型的有效性本文選用經(jīng)典的智能算法——遺傳算法(GA)和粒子群優(yōu)化算法(PSO)進(jìn)行算法對比，同時為了驗(yàn)證半方差風(fēng)險度量方式的在實(shí)際投資組合中的應(yīng)用效果，設(shè)定31個不同的收益水平，將其最優(yōu)投資組合對應(yīng)的有效前沿與經(jīng)典的均值-方差投資組合優(yōu)化模型的有效前沿進(jìn)行對比。HHO、GA和PSO三種算法的種群規(guī)模均為40，最大迭代次數(shù)為500，其他參數(shù)設(shè)置同文獻(xiàn)[15]。

(三)結(jié)果與分析

本文分別用HHO、GA和PSO三種算法對所構(gòu)建的MSV模型進(jìn)行求解，得到31個不同收益水平下投資組合的風(fēng)險值和最優(yōu)投資比例。表2給出了三種算法所得到的風(fēng)險值，其中三種算法求得的結(jié)果中最優(yōu)者以“黑體”標(biāo)識。從表2可以看出，在31個不同收益水平下，HHO算法有26次為最優(yōu)，GA有3次，PSO有7次，其中包含并列最優(yōu)。從31個不同收益水平對應(yīng)的投資組合收益的風(fēng)險平均值也清晰地顯示HHO算法所得到的平均風(fēng)險最小。三種智能算法求解MSV模型的結(jié)果表明HHO算法求解精度最高，所獲得的最優(yōu)投資組合所承受的風(fēng)險最低，其次是GA，最差的是PSO。這表明HHO算法求解MSV模型是可行和有效的。

圖3描繪出HHO、GA和PSO三種算法求解MSV模型所得到的有效前沿。從圖3可以看出，HHO算法所得到的投資組合的有效前沿更加靠近左上方，表明在滿足相同收益水平下，HHO算法求得的最優(yōu)投資組合所承受的風(fēng)險更低，同時在相同風(fēng)險承受能力的情況下，其所獲得收益更高。同時，從圖中也可以看出HHO算法較為穩(wěn)定，而PSO算法求解MSV模型的結(jié)果波動性較大。

圖3 三種算法求解得到的有效前沿對比

表3給出了其中7個不同收益水平下的最優(yōu)投資比例。從表3可以看出三種算法所得的最優(yōu)投資組合比例存在一定的差異，在資產(chǎn)選擇上差異不大，但在投資比例上差異較為明顯，這表明三種智能算法的尋優(yōu)精度上的差異較大，進(jìn)而表明HHO算法的求解精度較高。

表2 三種算法求解MSV模型所得最優(yōu)投資組合的風(fēng)險值

表3 不同收益水平下三種算法所得最優(yōu)投資比例對比

此外，本文對半方差風(fēng)險度量方式的有效性也進(jìn)行了探究，利用Matlab軟件中的金融優(yōu)化工具箱得到31個不同收益水平下的MV模型的最優(yōu)投資組合比例，計(jì)算出這些組合收益的半方差，進(jìn)而描繪出其有效前沿，并與MSV模型得到的有效前沿進(jìn)行對比如圖4所示。從圖4可以看出，MSV模型所得到的最優(yōu)投資組合在相同的收益水平下，其承擔(dān)的風(fēng)險更低，這也進(jìn)一步佐證了這些股票收益率樣本數(shù)據(jù)不服從正態(tài)分布，從而表明用半方差來刻畫投資組合收益的風(fēng)險更為準(zhǔn)確和有效。

圖4MV和MSV模型所得到的有效前沿對比

五、結(jié)論

本文針對均值-半方差投資組合優(yōu)化模型難以用經(jīng)典優(yōu)化方法進(jìn)行求解的問題，探尋用哈里斯鷹優(yōu)化算法來實(shí)現(xiàn)對其求解，合理地設(shè)置了個體構(gòu)成、構(gòu)造了適應(yīng)度函數(shù)和有效地處理了約束條件，并與經(jīng)典的遺傳算法和粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行對比，實(shí)證結(jié)果表明哈里斯鷹優(yōu)化算法能夠高效地求解均值-半方差投資組合優(yōu)化問題，求解精度較高，取得了很好的實(shí)際應(yīng)用效果。同時，本文的實(shí)證研究也表明半方差風(fēng)險度量方式能夠很好地刻畫投資組合的風(fēng)險，對風(fēng)險的控制更為精準(zhǔn)，進(jìn)而表明均值-半方差投資組合優(yōu)化模型更為合理。