中職數(shù)學(xué)“任意角的概念”教學(xué)分析

◎胡紅香 （甘肅省天水市清水縣天水農(nóng)校，甘肅 天水 741400）

在學(xué)習(xí)“任意角的概念”時，打破傳統(tǒng)教學(xué)模式的局限性，教師通過展示生活實踐與專業(yè)情景，吸引學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；通過具體的案例將初中角的概念推廣至任意角，讓學(xué)生體會將角推廣到任意角的必要性，引出角的概念推廣問題.

一、概念形成，體會探究歷程

角的定義：一條射線由位置OA繞端點O按順時針或逆時針方向旋轉(zhuǎn)到另一個位置OB的圖形.旋轉(zhuǎn)開始位置的射線OA是起始邊，終止位置的射線OB是終邊，端點O是頂點.先將概念展示給學(xué)生，讓學(xué)生通過教具展示，觀察角旋轉(zhuǎn)的位置.

任意角的概述圖

在中職數(shù)學(xué)中，任意角的三角函數(shù)是“任意角概念”的一個重要知識點，它同時是中職數(shù)學(xué)函數(shù)部分的重要內(nèi)容，是落實中職數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)內(nèi)容.下面我們通過幾個例題探討任意角的教學(xué)知識.

例 1已知 sinα·cosα＜0，sinα·tanα＜0.

（1）2α是第幾象限角？

（2）（90°－α）是第幾象限角？

分析由 sinα·cosα＜0，知α在第二、四象限；由 sinα·tanα＜0，知α在第二、三象限.因此α為第二象限的角.

解（1）由題設(shè)可知α是第二象限的角，即 90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°（k∈Z），∴ 180°＋2k·360°＜2α＜360°＋2k·360°（k∈Z），∴ 2α是第三、第四象限角或終邊在y軸非正半軸上的角.

（2）方法一∵ 90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°（k∈Z），

∴ －180°－k·360°＜－α＜－90°－k·360°（k∈Z）.

故 －90°－k·360°＜90°－α＜－k·360°（k∈Z）.

∴ 90°－α是第四象限的角.

方法二因為角α的終邊在第二象限，所以角－α的終邊在第三象限.

將－α的終邊按逆時針旋轉(zhuǎn) 90°，可知 90°－α的終邊在第四象限內(nèi).

說明①在確定形如α＋k·180°角的象限時，一般要分k為偶數(shù)或奇數(shù)討論；②確定象限時，α＋kπ 與α－kπ 是等效的.

例2設(shè)MP和OM分別是角的正弦線和余弦線，則給出的以下不等式：①MP＜OM＜0；②OM＜0＜MP；③OM＜MP＜0；④MP＜0＜OM，其中正確的是________（多選題）.

分析作出角的三角函數(shù)線圖像，由圖像進行判斷即可得到OM，0，MP之間的大小關(guān)系.

解MP，OM分別為角的正弦線、余弦線，如圖所示.

∴OM＜0＜MP，

∴答案為②.

說明此題主要考查的是任意角三角函數(shù)的知識點，通過作圖法對三角函數(shù)線的大小進行比較.

學(xué)生將所學(xué)知識與自身專業(yè)密切聯(lián)系起來，可以輕松完成教學(xué)任務(wù).有利于學(xué)生加深對概念知識的了解，讓學(xué)生深刻感悟正負角的差異性，對于烘托課堂氣氛具有重要意義.

二、概念理解，引發(fā)解題競技

為了加深學(xué)生對任意角概念的理解，設(shè)置了練習(xí)鞏固、課堂競技等環(huán)節(jié)，為學(xué)生創(chuàng)造良好的學(xué)習(xí)氛圍，幫助學(xué)生科學(xué)理解相關(guān)概念.在概念理解過程中，使用科學(xué)比例可以將概念的非本質(zhì)屬性剔除出來，把握概念的本質(zhì)屬性，概括形成概念；通過反例可以讓學(xué)生剔除概念的非本質(zhì)屬性，有效彌補正例教學(xué)的不足，有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思辨能力，加強學(xué)生對數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解.

例 3已知集合E＝｛θ｜cosθ＜sinθ，0≤θ≤2π｝，F(xiàn)＝｛θ｜tanθ＜sinθ｝，那么E∩F是區(qū)間（ ）.

分析解答本題必須熟練掌握各個象限三角函數(shù)的符號、各個象限的三角函數(shù)值隨角的變化而遞增或遞減的變化情況.本題可由三角函數(shù)的性質(zhì)判斷，也可由三角函數(shù)線判斷，用代入特殊值排除錯誤答案的方法解答也比較容易.

解由正、余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)，得因為當時，tanθ＜0，sinθ＞0，所以故選A.

例4有一個小于360°的正角，這個角的5 倍角的終邊與該角的終邊重合，那么這個角的大小應(yīng)該是（ ）.

A.90° B.180° C.270° D.90°，180°或 270°

解設(shè)這個角為α，

則 5α＝k·360°＋α（k∈Z），

α＝k·90°（k∈Z）.

∵ 0°＜α＜360°，

∴α＝90°，180°或 270°.故答案選 D.

三、概念延伸，彰顯思維拓展

教師可以在學(xué)習(xí)完概念后，通過課后延伸環(huán)節(jié)，加強學(xué)生非第一象限角的認識與理解.在這個學(xué)習(xí)過程中，教師主要是通過學(xué)生的討論，讓學(xué)生對終邊相同的角有一個簡單的認識，對課堂學(xué)習(xí)的知識點進行總結(jié)，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思辨能力，為后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ).

例5下列說法中，正確的是（ ）.

A.第一象限的角是銳角

B.銳角是第一象限的角

C.小于90°的角是銳角

D.0°到90°的角是第一象限的角

分析本題涉及幾個基本概念，即“第一象限的角”“銳角”“小于 90°的角”和“0°到 90°的角”.在角的概念推廣以后，這些概念容易混淆.因此，弄清楚這些概念及它們之間的區(qū)別，是正確解答本題的關(guān)鍵.

解第一象限的角可表示為｛θ｜k·360°＜θ＜90°＋k·360°，k∈Z｝，銳角可表示為｛θ｜0°＜θ＜90°｝，小于 90°的角為｛θ｜θ＜90°｝，0°到 90°的角為｛θ｜0°≤θ≤90°｝.因此，銳角的集合是第一象限角的集合當k＝0 時的子集，故A，C，D 均不正確，應(yīng)選B.

例6在平面直角坐標系中，畫出下列集合所表示的角的終邊所在區(qū)域（用陰影來表示）.

（1）｛α｜k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z｝；

（2）｛α｜k·180°≤α≤135°＋k·180°，k∈Z｝.

分析本題主要考查的是任意角三角函數(shù)的解法，重點考查學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的認知.主要運用作圖法來解題.

角α π 2 π 3π 2 2π sin α cos α tan α

變式問題1：已知角α的終邊經(jīng)過點P，點P的坐標為（2a，3a）（a＞0），試求角α的三角函數(shù)值.

變式問題2：已知角α的終邊與直線y＝3x重合，試求角α的三角函數(shù)值.

在教學(xué)過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考如下問題：若沒有限定參數(shù)a的符號，又該如何計算呢？ 教學(xué)時可以引導(dǎo)學(xué)生采用如下思路來分析：分類討論a的符號→確定點P所在的象限→構(gòu)建求解角α的模型→轉(zhuǎn)化三角函數(shù)式.

對于“任意角的三角函數(shù)”的概念教學(xué)，教師要尊重學(xué)生的認知水平，關(guān)注知識的衍生過程，合理設(shè)置預(yù)設(shè)；在定義概念時，教師需要設(shè)置具有啟發(fā)性的問題，充分調(diào)動學(xué)生參與思考，讓學(xué)生體會概念生成的過程；教師采用應(yīng)用強化、思想滲透的方式幫助學(xué)生內(nèi)化概念，發(fā)展學(xué)生的思維，使學(xué)生獲得知識和能力的雙重提高.

總之，在概念課的相關(guān)教學(xué)過程中，要根據(jù)學(xué)生的具體學(xué)習(xí)特點，有針對性地設(shè)置教學(xué)目標，展開適合學(xué)生個性化發(fā)展的教學(xué)計劃，為學(xué)生營造良好的學(xué)習(xí)氛圍，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思辨能力，加強其對任意角概念的理解.