例談判斷充分與必要條件的方法

馬嵐

充分條件與必要條件是高中數(shù)學(xué)《常用邏輯用語》中的重要概念.判斷充分與必要條件是高考中的一個常見考點(diǎn)，通常以選擇或填空題的形式出現(xiàn)，難度一般不大，但涉及的知識面較廣.本文結(jié)合幾個例題，談一談如何判斷充分與必要條件，以供大家參考.

一、充分條件與必要條件的定義及關(guān)系

已知p為命題的條件，q為命題的結(jié)論，當(dāng)該命題為真命題，即由p通過推理可得出q時，我們就說，由p可推出q，或p?q，此時p是q的充分條件，q是p的必要條件.p是q的充分條件與q是p的必要條件描述的是同一種邏輯關(guān)系，只是說法不同.而p是q的充分條件只說明p?q，與q能否推出p沒有任何關(guān)系.因此，我們可以說，若p?q且q p，則p是q的充分不必要條件;若pq且q?p，則p是q的必要不充分條件;若p?q，則p是q的充要條件，若pq且q p，則p是q的既不充分也不必要條件.

二、判定充分條件與必要條件的方法

1.定義法

定義法是判斷充分條件與必要條件的基本方法，一般適用于解答比較簡單的問題.在運(yùn)用定義法判斷充分與必要條件時，我們要首先根據(jù)題意確定命題的條件和結(jié)論，然后判斷由條件是否能推出結(jié)論、由結(jié)論是否能推出條件，最后根據(jù)定義得出結(jié)論.

同學(xué)們在判斷充分與必要條件時，一定要注意挖掘題目中的隱含條件，比如平方數(shù)大于或等于0、分母不為0、直線垂直于x軸時斜率不存在、兩直線斜率相等時有可能平行也有可能重合等.這些是我們解題的重要依據(jù).

2.等價轉(zhuǎn)化法

等價轉(zhuǎn)化法是判斷充分與必要條件的常用方法.它是根據(jù)充分條件和必要條件的定義，借助原命題與其逆否命題的等價關(guān)系來判斷的方法.當(dāng)直接判斷原命題的真假有困難時，同學(xué)們可以將問題轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題的真假，從而使問題獲解.

例2.已知p：方程a2+a-n=0沒有實(shí)根，q：n≤0，則p是q的什么條件？

解析：在解答此問題時，很多同學(xué)得到的結(jié)論是：p是q的即不充分也不必要條件.因?yàn)樵摲匠虥]有實(shí)根，所以n≤- ，不是n≤0，所以從p推不出q.導(dǎo)致出現(xiàn)這一結(jié)果的原因是忽略了因?yàn)閚≤- ，所以n≤0這個邏輯關(guān)系.但是若將這個命題可轉(zhuǎn)化為判斷原命題的真假就簡單明了多了，很顯然原命題為真，所以其逆否命題也必為真，則由p能推出q，因此答案應(yīng)該是充分不必要條件.

同學(xué)們利用等價轉(zhuǎn)化法解題時，一定要注意等價的兩個命題的真假性.當(dāng)遇到從正向考慮難度較大的問題時，不妨改變思考的角度，將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從其等價命題入手，這樣問題就能迎刃而解.

3.集合法

我們還可以利用充分與必要條件和集合之間的關(guān)系來判斷充分與必要條件.同學(xué)們在采用集合法進(jìn)行判斷時，要從集合與集合間的關(guān)系上著手分析條件之間的關(guān)系：設(shè)p的對象組成的集合P，滿足命題q的對象組成的集合為Q，①若A? B，則A是B的充分條件;②若B?A，則A是B的必要條件;③若A=B，則A是B的必要條件;④若A?B，且B?A?，則A即不是B的充分條件，也不是B的必要條件.同學(xué)們可借助數(shù)軸或者平面直角坐標(biāo)系來輔助解題，這樣可以降低解題的難度.

例3.已知集合A={1，a}B={1，2，3}，則a=3是A? B的（?? ）.

A.充分必要條件?????????? B.必要而不充分條件

C.充分而不必要條件?????? D.即不充分也不必要條件

解析：因?yàn)榧螦={1，a}，B={1，2，3}，若a=3，則A={1，3}，所以A? B;若A? B，則a=2或q=3，所以A? B不能推出a=3，所以a=3是A? B的充分而不必要條件，所以此題的正確選項(xiàng)應(yīng)為C.

綜上所述，無論運(yùn)用上述哪一種方法判斷充分與必要條件，同學(xué)們都要靈活運(yùn)用充分與必要條件的定義，正確運(yùn)用邏輯語言來表達(dá)命題之間的邏輯關(guān)系，然后利用所學(xué)的知識，如解不等式、解方程、判斷直線垂直的方法等合理進(jìn)行判斷、推理，得出結(jié)論.

（作者單位：江蘇省鹽城高級實(shí)驗(yàn)中學(xué)）