微進(jìn)給機(jī)構(gòu)垂向剛度建模求解

王夢(mèng)

摘要：基于一種微進(jìn)給機(jī)構(gòu)，采用剛?cè)狁詈系姆椒▽?duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行等效建模，在等效模型的基礎(chǔ)上對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行受力分析，并應(yīng)用軟件仿真及數(shù)值擬合的方法對(duì)機(jī)構(gòu)的垂向剛度進(jìn)行理論計(jì)算，構(gòu)建起機(jī)構(gòu)的垂向剛度與各項(xiàng)尺寸系數(shù)之間的理論模型。為給定垂向剛度下微進(jìn)給機(jī)構(gòu)的尺寸優(yōu)化奠定理論基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：微進(jìn)給機(jī)構(gòu);等效模型;垂向剛度;受力分析;軟件仿真

0? 引言

微進(jìn)給機(jī)構(gòu)作為微機(jī)械加工及精密加工的執(zhí)行機(jī)構(gòu)，廣泛應(yīng)用于精度要求高的非圓對(duì)稱截面及非軸對(duì)稱截面的加工。因此對(duì)機(jī)構(gòu)的性能要求很高[1]。由劉強(qiáng)教授等設(shè)計(jì)的微進(jìn)給機(jī)構(gòu)的工作原理是，一個(gè)音圈電機(jī)和壓電致動(dòng)器作為驅(qū)動(dòng)元件，兩個(gè)彎曲鉸鏈作為導(dǎo)向的機(jī)制[2]。但是這種設(shè)計(jì)易產(chǎn)生垂向跳動(dòng)。楊志軍教授等設(shè)計(jì)的一種微進(jìn)給機(jī)構(gòu)也采用柔性鉸鏈來進(jìn)行微位移放大，但同時(shí)采用對(duì)稱雙薄膜機(jī)構(gòu)，對(duì)垂向跳動(dòng)進(jìn)行了有效抑制[3]。

此微進(jìn)給機(jī)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化可通過有限元優(yōu)化軟件求解，但是對(duì)給定垂向剛度下尺寸優(yōu)化則需要通過建立理論模型求解。傳統(tǒng)的計(jì)算方法如變分法[4]等，求解復(fù)雜且不便于后續(xù)優(yōu)化。

本文給出了一種較為簡(jiǎn)單有效的方法來求解機(jī)構(gòu)的垂向剛度。并采用軟件驗(yàn)證及解析法對(duì)相關(guān)理論公式的推導(dǎo)進(jìn)行參數(shù)修正，建立了機(jī)構(gòu)的等效模型及垂向剛度與機(jī)構(gòu)尺寸參數(shù)之間的理論模型。

1? 微進(jìn)給機(jī)構(gòu)的理論受力分析

微進(jìn)給機(jī)構(gòu)的尺寸參數(shù)圖如圖1所示。為了便于計(jì)算，我們假設(shè)在梁右端加一豎直向下的力F，再求梁右端點(diǎn)的變形？棕。則機(jī)構(gòu)垂向剛度的求解式為：

1.1 微進(jìn)給機(jī)構(gòu)等效模型的建立

在對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行受力分析時(shí)，參閱相關(guān)力學(xué)書籍并無直接可以沿用的計(jì)算公式。因此本文采用部分剛化疊加的方法來簡(jiǎn)化分析，將此機(jī)構(gòu)等效為如下兩個(gè)模型：

1.1.1 剛性梁模型

即將薄膜與鉸鏈軸當(dāng)成柔性的，梁作為剛性。其等效模型如圖2所示。

其中ka為鉸鏈軸的等效拉伸剛度，kb、kc為薄膜的拉伸剛度。

1.1.2 柔性梁模型

即將薄膜與鉸鏈軸當(dāng)成剛性，梁當(dāng)成柔性。其中考慮到柔性梁受梁端點(diǎn)的垂向載荷時(shí)，AB段的變形可忽略不計(jì)。則其等效模型為：（圖3）

1.2 理論求解

按照上述等效模型，主要包括剛性梁及柔性梁的等效垂向剛度求解。

1.2.1 剛性梁的剛度求解（圖4）

將梁?jiǎn)为?dú)分析：（圖5）

其中，ya、yb、yc分別為鉸鏈軸及薄膜在分力Fa、Fb、Fc下的變形量。有：

其中，ka、kb、kc分別為鉸鏈及薄膜的拉伸剛度。

①薄膜的剛度計(jì)算。

按照軸的拉伸剛度計(jì)算公式[5]，有：

②鉸鏈軸等效剛度的計(jì)算。

為了驗(yàn)證所推導(dǎo)的鉸鏈軸理論拉伸剛度公式的準(zhǔn)確性，通過有限元分析軟件Comsol對(duì)理論計(jì)算公式進(jìn)行了驗(yàn)證。驗(yàn)證結(jié)果如表1所示。

可知，不同參數(shù)下的理論計(jì)算結(jié)果與軟件分析結(jié)果之間的誤差均在10%以內(nèi)，是可行的。

1.2.2 柔性梁的剛度求解

柔性梁的模型如圖4所示，其中BC段可等效為兩端鉸接簡(jiǎn)支梁，CD簡(jiǎn)化為左端點(diǎn)鉸接的懸臂梁。在計(jì)算柔性梁的等效剛度時(shí)，采用分段剛化來求解。處理的方式為：把梁分段并把每段按受力與變形等效的原則變成表中形式的梁（稱為原梁的等效梁），然后查表按疊加法計(jì)算梁的位移[6]。

①CD段剛化。

梁的受力變形示意圖6為：

②BC段剛化。

梁的受力變形示意圖7為：

因?yàn)闄C(jī)構(gòu)可作為剛性模型與柔性模型的串聯(lián)，結(jié)合式（11）、式（16），知微進(jìn)給機(jī)構(gòu)的等效垂向剛度為：

2? 軟件驗(yàn)證

利用多物理場(chǎng)有限元分析軟件Comsol對(duì)該機(jī)構(gòu)進(jìn)行仿真分析。為了得出不同參數(shù)下的軟件分析結(jié)果，對(duì)參數(shù)l3進(jìn)行參數(shù)化掃描，將軟件分析結(jié)果及理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，得到的擬合結(jié)果如表2所示?？梢钥闯?，理論誤差與分析誤差在10%內(nèi)。因此用這種方法對(duì)于該微進(jìn)給機(jī)構(gòu)的垂向剛度的理論建模是可行的。

參考文獻(xiàn)：

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[6]劉鴻文.材料力學(xué)[M].高等教育出版社，2004：188-189.