列一元一次方程解生活中的三類實際問題

姚勝

列方程解應(yīng)用題是用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的一個重要內(nèi)容.一元一次方程可以解決生活中的很多實際問題，如商品銷售問題、工程問題、方案選擇問題等.在解題時，同學(xué)們首先要抓住應(yīng)用題中的等量關(guān)系，列出一元一次方程，然后求解，再通過驗證一元一次方程解的合理性，達到解題的目的.

一、解答商品銷售問題

解答商品銷售類問題，首先要弄清一些概念，如商品的進價：商店購進商品的價格;商品的售價：商店售出商品時的實際價格;利潤：商店在銷售商品時所賺的錢;利潤率：商店在銷售商品時利潤占商品進價的百分比率等.其次，同學(xué)們在解題時還要弄清這些概念之間的數(shù)量關(guān)系：商品利潤=商品售價-商品成本價;商品利潤率=[商品利潤商品成本價]×100%;商品銷售額=商品銷售價×商品銷售量;商品的銷售利潤=（銷售價-成本價）×銷售量;打幾折出售就是按原標(biāo)價的百分之幾十出售.掌握了銷售問題中的概念和公式，同學(xué)們在解題時就能做到得心應(yīng)手了.

例1 2019年元旦，某超市將甲種商品降價30%，乙種商品降價20%開展優(yōu)惠促銷活動.已知甲、乙兩種商品的原銷售單價之和為2400元，某顧客參加活動購買甲、乙各一件，共付1830元.

（1）甲、乙兩種商品原銷售單價各是多少元？

（2）若商場在這次促銷活動中，甲種商品虧損25%，乙種商品盈利25%，那么商場是盈利還是虧損了？如果是盈利，求商場銷售甲、乙兩種商品各一件盈利了多少元？如果是虧損，求銷售甲、乙兩種商品各一件虧損了多少元？

分析：（1）設(shè)甲種商品原銷售單價為x元/件，則乙種商品原銷售單價為（2400-x）元/件，根據(jù)超市的優(yōu)惠方案，可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論;（2）設(shè)甲種商品的進價為m元/件，乙種商品的進價為n元/件，根據(jù)利潤=售價-進價，即可得出關(guān)于m（n）的一元一次方程，解之即可得出m（n）的值，再根據(jù)總利潤=兩件商品的售價-兩件商品的進價，即可得出結(jié)論.

二、解答工程進度問題

工程問題主要涉及工作總量、工作效率、工作時間三者間的關(guān)系.其基本關(guān)系式有：工作總量=工作效率×工作時間;工作效率=工作總量÷工作時間;工作時間=工作總量÷工作效率.解工程問題時，一般把工作總量看作整體“1”，工作效率用完成總量所需時間的倒數(shù)來表示.如果題目中存在變化了的工作效率，就要弄清變化前后的工作效率及其相互關(guān)系，再解題.

例2 為了打贏藍天保衛(wèi)戰(zhàn)，共建魅力和諧長沙，長沙市環(huán)保局對湘江河流中一段長2400米的河道進行整治，整治任務(wù)由甲、乙兩個工程隊來完成.已知甲工程隊每天完成30米，乙工程隊每天完成50米.

（1）若該任務(wù)由甲、乙兩個工程隊合作完成，請問整治這段河道要用多少天？

（2）若甲工程隊先單獨整治一段時間后離開，剩下的由乙工程隊來完成，兩隊共用時60天，求甲、乙工程隊分別整治了多長的河道？

分析：（1）完成整治這段河道任務(wù)用了x天，根據(jù)“甲的工作量+乙的工作量=2400”列出方程并解答.（2）設(shè)甲工程隊整治的河道長a米，則乙工程隊整治的河道長為（2400-a）米，根據(jù)“工作時間=總工作量÷工作效率結(jié)合兩隊共用時60天”列出方程并解答.

三、解答方案選擇問題

在我們的日常生活中，做一件事情通常會有很多種選擇，這就需要同學(xué)們學(xué)會解答方案選擇問題，也就是從幾種方案中選擇最優(yōu)方案.如選擇電話費套餐問題、團購優(yōu)惠問題等.解答方案選擇問題，一般先要將題目中的不同方案用方程的形式列出來，再得出不同方案的結(jié)果并進行比較，最后作出最優(yōu)選擇.

例3 某地寬帶上網(wǎng)有兩種收費方式，用戶可以任意選擇其中的一種：第一種是計時制，0.06元/分;第二種是包月制，72元/月（限一部個人住宅電話上網(wǎng)）.此外，每一種上網(wǎng)方式都得加收通訊費0.01元/分.

（1）若小明家一個月上網(wǎng)的時間為x小時，用含x的代數(shù)式分別表示采用兩種收費方式的情況下，小明家一個月應(yīng)該支付的費用;

（2）若小明估計自家一個月內(nèi)上網(wǎng)的時間為25個小時，你認為他家采用哪種方式較為劃算？

（3）小明的姑姑也準(zhǔn)備給家里安裝寬帶，請為她選擇一種劃算的方式（直接寫出方案即可）.

分析：（1）根據(jù)兩種收費方式，即可用含x的代數(shù)式表示出采用計時制應(yīng)付的費用及采用包月制應(yīng)付的費用;（2）代入x=25，求出采用計時制應(yīng)付的費用及采用包月制應(yīng)付的費用，比較后即可得出結(jié)論;（3）設(shè)小明的姑姑家一個月內(nèi)上網(wǎng)m小時，兩種方式收費相同，根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合兩種收費方式費用相等，得出關(guān)于m的一元一次方程，解方程求出m的值，再結(jié)合（2）的結(jié)論即可求解.

綜上所述，當(dāng)一個月內(nèi)上網(wǎng)時間少于20個小時時，選擇計時制較劃算;一個月內(nèi)上網(wǎng)時間等于20個小時時，兩種方式一樣劃算;一個月內(nèi)上網(wǎng)時間多于20個小時時，選擇包月制較劃算.

我們在實際生活中遇到的很多問題，都需要用列方程的方法來解決.同學(xué)們要善于觀察生活，關(guān)注日常生產(chǎn)生活中的各種問題，學(xué)會具體情況具體分析，靈活運用所學(xué)知識，列出方程解決實際問題.