彭樸
摘要:把高考試題當作例題或習題來講解,可以吸引學生的注意力,激發(fā)學生學習數(shù)學的積極性.筆者把2019年上海高考的第18題第(2)問作為例題,組織學生一起討論、探究、交流,學生體驗到解決高考題的樂趣和成就感,取得了良好的教學效果.高三復習課如果多給學生一點自由思考的時間,引導學生積極思考,激發(fā)他們探究的熱情,鼓勵他們大膽發(fā)表自己的見解,將有助于提高高三復習效益。
關鍵詞:高考試題 ?零點 ?數(shù)學思想方法 ?效益
高考數(shù)學試題是命題者有意潛心研究、匠心獨運、精心設計的精品,往往蘊含著豐富的數(shù)學基礎知識和數(shù)學思想方法,具有很高的練習價值與研究價值.一直受到高三教師和學生的青睞,在高三復習時,教師喜歡把高考試題當作例題或習題來講解,可以吸引學生的注意力,激發(fā)學生學習數(shù)學的積極性,培養(yǎng)學生解題的規(guī)范性,幫助學生領會數(shù)學思想方法,增強數(shù)學學習的能力,提高高三復習的效益.在高三復習函數(shù)零點時,筆者聯(lián)想到2019年上海高考的第18題第(2)問考到了零點這個知識點,于是課堂上把這道題作為例題,組織學生一起討論、探究、交流,取得了意想不到的教學效果.
一.高考試題
(2019年上海高考數(shù)學第18題)已知,.
(1)略
(2)若在時有零點,求的取值范圍.
二、課堂實錄
教師:在時有零點是什么意思?
學生:在有零點,即方程在時有解.
教師:對的,的零點就是方程的根,方程在時有解,如何求的取值范圍,哪位同學來說說?
學生1:問題等價于在內有解,
當時,左邊=,方程無解,舍去.
當時,由,得或,根據(jù)求根公式得:,,所以與至少有一個成立.
(1)若,即或
無解.
(2)若,即或,解得:.
綜上,由(1)(2)知.
教師:好!你的解法很自然,直接把方程的根解出來,然后分類討論,當方程的根至少有一個屬于時,求出的取值范圍,運用了方程、分類討論的思想方法.其他同學有沒有不同的解法?
學生2:我覺得學生1的解法涉及到解無理不等式,有點復雜,可以進行參變分離得,令,則函數(shù)在上單調遞增,值域為,從而得:.
這時有一名女生迫不及待地舉手示意要展示自己的解答.
學生3:我也是用參變分離的方法,不過我不是直接分離,而是先分離,再求的取值范圍,,函數(shù)()的值域為,所以,解得:.
教師:非常好!解法2和解法3,避開了分類討論,直接把參數(shù)或分離出來,將方程的解的存在條件轉化為求函數(shù)的值域,運用了函數(shù)與方程的思想方法,請問還有沒有不同的解法?
這時,一位班級數(shù)學成績中等,性格開朗的男生站起來.
學生4:我覺得他們3位同學的方法都有點復雜,我有更簡單的方法,設,然后令.
這時班級里同學開始小聲議論起來,有學生認為學生4的解法簡單有效,妙!有學生認為高考題不會這么簡單吧,但又找不到這樣解的漏洞.
教師:學生4解答結果是對的,他的解法是否正確?請問學生4,你是怎么想到用這種方法的?
學生4:我是根據(jù)零點定理得到的,如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有,那么,函數(shù)在區(qū)間內至少存在一個零點,根據(jù)題目要求,只需即可.
教師:你們認同他的解法嗎?
教室頓時氣氛變得活躍起來,相互之間開始討論,過了一會兒,數(shù)學課代表站起來發(fā)言.
學生5:我認為學生4的解答結果雖然正確,但方法不夠妥當,因為零點定理只是說,可以斷定函數(shù)在區(qū)間內至少存在一個零點,反過來,如果函數(shù)在區(qū)間內存在零點,推不出,比如,函數(shù)在上顯然有零點,但.
教師:好!課代表發(fā)現(xiàn)了學生4解法的漏洞,是由于對零點定理的理解產(chǎn)生了偏差.既然學生4的方法是錯誤的,為什么他的解答結果卻是正確的,你能解釋一下原因嗎?
學生5:記,所以只需二次函數(shù)在內有零點.
當時,左邊=,方程無解,舍去.
當時,由,得或,要使得與軸的交點在內,分以下情況討論:(1)或,解得:或.
(2)在內有零點.因為對稱軸不在區(qū)間內,不可能有2個零點. 時,在內單調遞增;時,在內單調遞減.所以只需,解得:.
綜上,
如果畫出的圖像,可以很容易發(fā)現(xiàn)的取值范圍.
教師:好,你到黑板上畫一下圖,畫完圖以后,跟大家解釋一下,其他同學在草稿紙上畫圖,觀察一下圖形的特征.
學生5:記,所以只需二次函數(shù)在內有零點.
由于此二次函數(shù)的對稱軸為在區(qū)間外,所以函數(shù)在上具有單調性,且函數(shù)圖像恒過點,如圖1,從而在內有零點,等價于:,即,解得:.
教師:非常棒!學生5從數(shù)與形兩個角度進行了分析,不僅找到了學生4的答案正確的原因是由于函數(shù)在上具有單調性,而且完善了學生4解法,給出了嚴謹?shù)慕夥ǎ埓蠹医o他點個贊(此時教室響起熱烈的掌聲),大家還有沒有其他的解法?
這時,班長舉手示意.
學生6:我也是用數(shù)形結合的方法解的,不過所畫圖形與學生5不一樣.
教師:你也到黑板上畫一下,然后把你的解法分享給大家.
學生6:由移項得,原問題等價于當時,函數(shù)
的圖像與函數(shù)的圖像
有公共點.由圖2可知,只需滿
足時,兩函數(shù)就
有公共點,解得.
教師:非常好!班長將方程的根的存在性問題轉化為直線與部分雙曲線的交點問題,從圖上容易發(fā)現(xiàn)有交點的條件.
上課前,我完全沒有意料到到你們會想出這么多好方法,為你們的精彩表現(xiàn)點贊!
三、思考
課前,我本想以例題的形式直接講授這道高考試題的解答,后來,到了課堂上,我突發(fā)奇想,這道試題難度不大,學生會怎么解這道題?能否拿到滿分?于是,我改變主意,自己不講,讓學生進行探究、討論、交流,意料之外的是,學生會如此主動、積極參與教學,而且能想到多種方法.借助這道高考試題的探究,學生能正確掌握零點概念、零點定理,領會函數(shù)與方程、數(shù)形結合、分類討論的思想方法,提升數(shù)學學習的能力,體驗到解決高考題的樂趣和成就感,取得了良好的教學效果.
高三數(shù)學課由于復習的內容多、難度大、綜合性強,教師上課節(jié)奏往往比較快,課堂上沒有足夠的時間留給學生思考、討論、發(fā)言交流,這樣的復習效果有時并不理想.如果教學中多給學生一點自由思考的時間,把課堂還給學生,注意傾聽他們的聲音,引導學生積極思考,點燃他們思維之火,激發(fā)他們探究的熱情,鼓勵他們大膽發(fā)表自己的見解,將有助于提高高三復習課效率.
參考文獻:
[1]王劍明 2015年浙江卷文理“非線性”試題的探究 [J].數(shù)學教學,2016(4):11-14
[2]陳曉明 一節(jié)令人難忘的數(shù)學公開課[J].數(shù)學教學,2016(7):6-7