試析高中數(shù)學(xué)中的恒成立問(wèn)題

吳國(guó)連

摘 要：近些年來(lái)，隨著我國(guó)教育體制的深化改革，素質(zhì)教育的全面推進(jìn)，傳統(tǒng)的教學(xué)模式已經(jīng)無(wú)法適應(yīng)當(dāng)前的教育需求。為此，如何改變這一現(xiàn)狀已經(jīng)成為教育部分與學(xué)校主要面臨的問(wèn)題之一。在這種形勢(shì)下，怎樣有效解決高中數(shù)學(xué)中恒成立問(wèn)題是師生共同關(guān)注的熱點(diǎn)之一，本文章主要針對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行了深入的分析與研究。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);恒成立問(wèn)題;解析

恒成立問(wèn)題作為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要構(gòu)成部分之一，其相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)與問(wèn)題的解答長(zhǎng)久以來(lái)都是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)與難點(diǎn)，同時(shí)也是數(shù)學(xué)高考題目中的必考問(wèn)題之一。為此，如何通過(guò)科學(xué)高效的方法來(lái)快速、準(zhǔn)確的解決之一問(wèn)題已經(jīng)成為高中生不斷探究的問(wèn)題之一。為此，下述內(nèi)容主要針對(duì)恒成立的概念、類型與學(xué)習(xí)方法進(jìn)行了詳細(xì)的敘述。

1.恒成立的基本概念

恒成立主要是在包含有兩個(gè)或者是兩個(gè)以上未知數(shù)取值關(guān)于方程或不等式的解或解集無(wú)影響的式子基礎(chǔ)上，尋找未知數(shù)的取值范圍或解集。

2.高中數(shù)學(xué)中恒成立的基本類型

2.1類型1

一次函數(shù)型：其具體是指在某一個(gè)變化過(guò)程當(dāng)中，分別設(shè)兩個(gè)變量x與y，若二者如果滿足y=kx+b（其中，k為一次項(xiàng)系數(shù)，且k≠0，b指任意常數(shù)）這一關(guān)系，那么就可以認(rèn)為y是x的一次函數(shù)。其中x為自變量，y為因變量（又被稱作函數(shù)）。

2.2類型2

二次函數(shù)型：在一般情況下，經(jīng)常將形如y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）這種函數(shù)稱為二次函數(shù)。其中，a為二次項(xiàng)系數(shù)，b具體是指一次項(xiàng)系數(shù)，c被稱為常數(shù)項(xiàng)。X與y分別為自變量與因變量。同時(shí)，等號(hào)右邊自變量的最高次數(shù)為2。

2.3類型3

變量分離型：該類型主要是將一個(gè)方程中的含有各個(gè)變量項(xiàng)相互分離出倆，從而將原有方程拆分成多個(gè)簡(jiǎn)單，且只包含一個(gè)自變量的常微分方程。通過(guò)線性疊加原理來(lái)把非齊次方程拆合理拆分成多個(gè)齊次方程或者是便于求解的方程。再應(yīng)用高數(shù)知識(shí)與級(jí)數(shù)求解知識(shí)來(lái)找出多種巧妙的解題方法，并求出每一個(gè)方程的通解，最后將通解合理“組裝起來(lái)”。

3.高中數(shù)學(xué)中恒成立問(wèn)題的解析

3.1定義域中恒成立問(wèn)題解析

例題：已知f（x）的定義域?yàn)閇-2，3]，求取函數(shù)F（x）=f（x）-f（-x）的定義域。這種類型的試題是較為典型的定義域恒成立問(wèn)題，在解答這種類型題的過(guò)程中，大部分情況下要先從其自身的定義域開(kāi)始入手，通過(guò)-2<=x<=3，學(xué)生能力推理出f（-x）中，-2<=-x<=3，要想確保該例題中f（x）與f（-x）共同成立，就要求-2<=x<=2，為此，可以得出統(tǒng)一的結(jié)論，F(xiàn)（x）的定義域?yàn)閇-2，2]。

針對(duì)定義域中恒成立這一問(wèn)題來(lái)說(shuō)，其難度系數(shù)均較為簡(jiǎn)單。為此，教師在教學(xué)的過(guò)程中，首先要讓學(xué)生熟練掌握函數(shù)定義域的具體含義，并從其入手，明確函數(shù)對(duì)各個(gè)條件起到的限制作用，以此來(lái)準(zhǔn)確的判斷出函數(shù)具體的定義域范圍。近些年來(lái)，定義域恒成立這一問(wèn)題在高考數(shù)學(xué)命題中所占的比重在逐年增加，同時(shí)也會(huì)將更加復(fù)雜的知識(shí)穿插其中。學(xué)生在解析這類問(wèn)題時(shí)一定要保持沉著冷靜，從已知的實(shí)際條件出發(fā)，明確多個(gè)條件的限制，最后求取出正確的取值范圍。

3.2不等式中恒成立問(wèn)題解析

在高中數(shù)學(xué)恒成立問(wèn)題中，不等式恒成立問(wèn)題的出題率較高，出題次數(shù)較為頻繁。例題：一元二次不等式f（x）=ax2+（2a-4）x+3-a>0，求取出這一不等式中函數(shù)x的取值范圍，并滿足不等式的成立條件？在解題這種一元二次不等式方程期間。首先，教師要要求學(xué)生靈活掌握與應(yīng)用一元一次函數(shù)與一元二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，在明確a=0的情況下，不等式會(huì)由一個(gè)一元二次不等式轉(zhuǎn)化成一個(gè)一元一次不等式，但根據(jù)題目中給出的要求，將不等式轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元二次不等式。為此，學(xué)生要想從根本上保證該不等式的成立，首要明確的問(wèn)題就是a≠0。其次，學(xué)生在求取取值范圍時(shí)要反其道而行，先把傳統(tǒng)變量x與常數(shù)a的身份進(jìn)行順利的轉(zhuǎn)化，把a(bǔ)當(dāng)作變量，把x當(dāng)作常量，并要同時(shí)設(shè)g（a）=（x2+2x-1）a-4x+3，此時(shí)，a就在[-1，1]這一區(qū)間內(nèi)，在此基礎(chǔ)上，學(xué)生就可以推動(dòng)出，若x的取值范圍在[-1，1]之間，就可以保證一元二次不等式f（x）=ax2+（2a-4）x+3-a>0的成立。

學(xué)生在求解這一類型的恒成立問(wèn)題中，實(shí)現(xiàn)要熟練掌握傳統(tǒng)變量與常量之間的靈活轉(zhuǎn)換，并準(zhǔn)確求取出其子變量函數(shù)的具體取值范圍，進(jìn)而對(duì)變量的具體取值范圍進(jìn)行推斷。通過(guò)這種解題思路與解題方式，不僅可以大大降低不等式中恒成立問(wèn)題的求解難度，同時(shí)也可以進(jìn)一步提高學(xué)生計(jì)算取值范圍的準(zhǔn)確度。為此，該種解題方式應(yīng)該得到教師與學(xué)生廣泛的推廣與應(yīng)用。

總結(jié)：總而言之，恒成立作為一種綜合性較強(qiáng)，內(nèi)容較為復(fù)雜的高中數(shù)學(xué)問(wèn)題之一，學(xué)生通過(guò)單一的解題思路與方法是無(wú)法進(jìn)行解決的。為此，教師在日常關(guān)于恒成立問(wèn)題的教學(xué)過(guò)程中，要充分重視學(xué)生思維的訓(xùn)練與培養(yǎng)，通過(guò)多樣化的練習(xí)方法來(lái)不斷糾正學(xué)生單一的解題思維，幫助學(xué)生深入挖掘恒成立問(wèn)題與特定數(shù)學(xué)思想方法之間某種特點(diǎn)的練習(xí)，以此來(lái)實(shí)現(xiàn)舉一反三，大大提高學(xué)生解決恒成立問(wèn)題的正確率。

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