由一道高考題來探析庫侖定律的適用條件

摘 要：問題來源于學(xué)生，解答出現(xiàn)于教師.本文緣起于學(xué)生的問題，通過與學(xué)生的交流，多數(shù)學(xué)生對(duì)庫侖定律適用條件的理解存在一些誤區(qū)，因此，探究和重新審視庫侖定律適用條件有一定的現(xiàn)實(shí)意義.本文分析了庫侖定律三個(gè)適用條件，雖然與高考內(nèi)容不大相關(guān)，但對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維能力還是能有些作用.

關(guān)鍵詞：庫侖定律;適用條件;點(diǎn)電荷;真空;靜止

中圖分類號(hào)：G632 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ?文章編號(hào)：1008-0333（2020）10-0077-02

收稿日期：2020-01-05

作者簡介：周快林（1980.7-），男，安徽省無為人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中物理教學(xué)研究.

問題 （2016年全國新課標(biāo)Ⅱ卷，15）如圖1，P為固定的點(diǎn)電荷，虛線是以P為圓心的兩個(gè)圓.帶電粒子Q在P的電場中運(yùn)動(dòng).運(yùn)動(dòng)軌跡與兩圓在同一平面內(nèi)，a、b、c為軌跡上的三個(gè)點(diǎn).若Q僅受P的電場力作用，其在a、b、c點(diǎn)的加速度大小分別為aa、ab、ac，速度大小分別為va、vb、vc，則（ ?）.

最近在給高三學(xué)生復(fù)習(xí)時(shí)，講解上述這道高考題后，有學(xué)生就提出：庫侖定律中說的是兩個(gè)靜止的電荷之間的作用力表達(dá)式是：F=kQ1Q2r2，而本題中帶電粒子Q是運(yùn)動(dòng)的，能用庫侖定律討論嗎？問題提出后，學(xué)生分為兩派，一派認(rèn)為能用庫侖定律討論，因?yàn)槭歉呖碱}，不會(huì)出錯(cuò)的，并說很多資料上有過類似的題目，都是用庫侖定律來做的;一派認(rèn)為使用庫侖定律討論好像是不對(duì)，因?yàn)閹靵龆傻谋硎鰹椋赫婵罩械膬蓚€(gè)靜止點(diǎn)電荷之間的相互作用力，與它們的電荷量的乘積成正比，與它們的距離的二次方成反比，作用力的方向在它們的連線上.本題中電荷又沒說在真空中，同時(shí)電荷Q還是運(yùn)動(dòng)的，那就不能用定律來分析.但真讓這一派的學(xué)生說清楚為什么類似的問題我們還是用庫侖定律來做？他們也說不清楚.筆者以為，原因是出在對(duì)庫侖定律的條件的理解上.從庫侖定律的表述中，我們可以看出庫侖定律的三個(gè)條件：①在真空中②兩個(gè)靜止③點(diǎn)電荷.那如何認(rèn)識(shí)和理解庫侖定律的適用條件呢？

一、先分析“點(diǎn)電荷”

對(duì)點(diǎn)電荷模型，高中學(xué)生比較容易理解.在必修1教材中給學(xué)生介紹過質(zhì)點(diǎn)概念，類比質(zhì)點(diǎn)模型，點(diǎn)電荷概念易于理解.用庫侖定律計(jì)算兩個(gè)電荷之間的相互作用力，如何確定兩個(gè)電荷之間的距離是關(guān)鍵.只有對(duì)“點(diǎn)電荷”，兩帶電體之間的距離才有確切的意義，才能消除帶電體本身的幾何形狀、大小及帶電體電荷分布諸多因素對(duì)其相互作用力的影響.

通過一個(gè)例題來分析下：兩個(gè)半徑為R的帶電球所帶電荷量分別為q1和q2，當(dāng)兩球心相距3R時(shí)，相互作用的靜電力大小為（ ?）.

A.F=kq1q2（3R）2 B.F>kq1q2（3R）2 C.F

分析 因?yàn)閮汕蛐木嚯x不比球的半徑大很多，所以兩帶電球不能看做點(diǎn)電荷，必須考慮電荷在球上的實(shí)際分布.當(dāng)q1、q2是同種電荷時(shí)，相互排斥，電荷分布于最遠(yuǎn)的兩側(cè)，電荷中心距離大于3R;當(dāng)q1、q2是異種電荷時(shí)，相互吸引，電荷分布于最近的兩側(cè)，電荷中心距離小于3R，如圖2（1）（2）所示.所以靜電力可能小于kq1q2（3R）2，也可能大于kq1q2（3R）2，D正確.

圖2科學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，r在10-15m至107m范圍內(nèi)，庫侖定律是可靠的.盧瑟福用α粒子散射實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)原子核的模型時(shí)，證實(shí)兩個(gè)電荷間的距離在10-15m以上庫侖定律能嚴(yán)格成立;1980年7月11日，丁肇中在北京報(bào)告他的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，在r小到10-18m時(shí)，庫侖定律仍成立.同時(shí)，地球物理探測的大量的實(shí)驗(yàn)表明，在大到地球的線度（107m）內(nèi)，庫侖定律是可靠的.

了解了這些知識(shí)，在選修3-5物理教材第十九章原子核中，講到原子核內(nèi)核子之間要存在核力來平衡質(zhì)子之間的庫侖力，學(xué)生也就很容易理解原子核的穩(wěn)定性了.

二、再分析“在真空中”

定律中提出這個(gè)條件，讓高中學(xué)生以為兩個(gè)點(diǎn)電荷之間的作用力必須在真空中才滿足與“它們的電荷量的乘積成正比，與它們的距離的二次方成反比”這個(gè)規(guī)律，在其他環(huán)境中，電荷之間的作用力就不遵守這個(gè)規(guī)律了.為了理順這個(gè)關(guān)系，先認(rèn)識(shí)下庫侖定律表達(dá)式中的k，k是比例系數(shù)，它的數(shù)值取決于式中各量的單位.在國際單位制中，k寫成k=14πε0，ε0是物理學(xué)中一個(gè)基本物理常數(shù)，由實(shí)驗(yàn)測定，目前已知的最佳值為ε0=8.854187818×10-12C2N-1m-2，ε0稱為真空電容率，又稱為真空介電常數(shù).

在大學(xué)的物理教材里，庫侖定律的表達(dá)式一般寫F=14πε0Q1Q2r2.

當(dāng)兩個(gè)電荷不處在真空中，即所處的環(huán)境中有其他的介質(zhì)時(shí)，這些介質(zhì)會(huì)受到原來兩個(gè)電荷的電場的作用，從而出現(xiàn)極化電荷或感應(yīng)電荷，這極化電荷或感應(yīng)電荷與原來兩個(gè)電荷也有相互作用力，這時(shí)原來兩個(gè)電荷之間的作用力就比較復(fù)雜了.在大學(xué)的物理里，運(yùn)用介質(zhì)中的高斯定律，可以推到出在介質(zhì)中兩個(gè)點(diǎn)電荷之間的作用力的表達(dá)式為：F=14πε0εrQ1Q2r2，其中εr是相對(duì)介電常數(shù)（在教材第八節(jié)中出現(xiàn)）.由此可以看出，即使兩個(gè)點(diǎn)電荷不在真空中，其間的相互作用力還是遵守庫侖定律的，只不過表達(dá)式中的k值要修正.所以在高中階段里不必過分強(qiáng)調(diào)和應(yīng)用這個(gè)條件，在一些習(xí)題（包括一些高考題）里往往就沒有出現(xiàn)“真空”這個(gè)條件，可以默認(rèn)為在真空中.

三、后分析“兩個(gè)靜止”

英國物理學(xué)家麥克斯韋電磁場理論指出：任何隨時(shí)間變化的電場，都要在鄰近的空間激發(fā)磁場;任何隨時(shí)間變化的磁場，也都要在鄰近的空間激發(fā)電場.也就是說，充滿變化的電場（磁場）空間，同時(shí)也充滿變化的磁場（電場）空間.

對(duì)于源電荷Q1和Q2都靜止，它們在空間激發(fā)的電場也就是穩(wěn)定的，對(duì)Q1或Q2來說，周圍的空間沒有哪一個(gè)方向上的電場是有特殊的，這樣兩個(gè)點(diǎn)電荷之間的作用力用F=kQ1Q2r2來計(jì)算是完全正確的.但對(duì)于源電荷是運(yùn)動(dòng)的，其空間激發(fā)的電場是隨時(shí)間變化的，電荷之間的作用力就變得非常復(fù)雜了.

先討論一種簡單情況.如圖3，設(shè)點(diǎn)電荷Q1靜止不動(dòng)，Q2以勻速v運(yùn)動(dòng)到某一點(diǎn)，由于場源Q1在該點(diǎn)有確定的場強(qiáng)，則Q1作用在Q2上庫侖力的大小為：F=kQ1Q2r2，滿足庫侖定律.但反過來，Q2作用在Q1上的力卻不遵守庫侖定律，Q2不僅激發(fā)電場，而且產(chǎn)生磁場（變化的磁場也要激發(fā)電場），如果只討論電場情形，根據(jù)電動(dòng)力學(xué)，Q2在Q1處產(chǎn)生的總電場強(qiáng)度大小為：

式中θ是場點(diǎn)坐標(biāo)矢徑r與v的夾角，c為光速.總電場E中，既有電荷Q2按庫侖定律激發(fā)的電場，也有因磁場變化引起的感生電場.

由E的表達(dá)式可見，E的大小除了與源電荷Q2、矢徑r有關(guān)，還與源電荷的速度v有關(guān).所以Q1電荷受到Q2電荷的作用力大小為：F=14πε0Q1Q2（1-v2c2）r2（1-v2c2sin2θ）3/2

由此可見，靜止的Q1電荷受到運(yùn)動(dòng)的Q2電荷的作用力就不遵守庫侖定律了.但是，當(dāng)Q1電荷的運(yùn)動(dòng)速度v遠(yuǎn)小于光速c時(shí)，即vc→0時(shí)，靜止的Q1電荷受到運(yùn)動(dòng)的Q2電荷的作用力即為F=14πε0Q1Q2r2，符合庫侖定律.對(duì)于兩個(gè)電荷都是運(yùn)動(dòng)的，這種情況更復(fù)雜，在此就不討論了.

回到開始提出的問題中，在中學(xué)階段，我們討論電荷間的運(yùn)動(dòng)速度都是遠(yuǎn)比光速小的，即使它們是有相互運(yùn)動(dòng)，我們?nèi)耘f按照庫侖定律來分析處理是可以的.

總之，庫侖定律是高中物理中重要的定律，是解決許多靜電場問題的基礎(chǔ)，雖然它的三個(gè)條件在中學(xué)階段是不需要特別給學(xué)生研討，但對(duì)學(xué)生提出的問題，作為教師不能回避，更不能一句話給打發(fā)過去，有必要結(jié)合已學(xué)過的知識(shí)，讓學(xué)生能初步明白其中的物理道理，這樣有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)物理的興趣和探究物理的積極性，同時(shí)也深化學(xué)生對(duì)庫侖定律的本質(zhì)理解和促進(jìn)學(xué)生縝密思維能力的發(fā)展.

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