千舉萬(wàn)變 其道一也

摘 要：本文通過(guò)對(duì)一道分段函數(shù)題目的改編，試圖將函數(shù)的零點(diǎn)、對(duì)稱性、單調(diào)性、極值等性質(zhì)貫穿起來(lái)，從而引導(dǎo)學(xué)生在解決函數(shù)問(wèn)題時(shí)關(guān)注其圖象與性質(zhì)，學(xué)會(huì)以點(diǎn)帶面，將知識(shí)學(xué)通.

關(guān)鍵詞：函數(shù);性質(zhì);圖象

中圖分類號(hào)：G632 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ?文章編號(hào)：1008-0333（2020）10-0032-03

收稿日期：2020-01-05

作者簡(jiǎn)介：程春暖（1988.2-），女，安徽人，博士，中學(xué)一級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的主線，是學(xué)生進(jìn)入高中之后接觸到的第一個(gè)難點(diǎn)，也是讓許多學(xué)生望而生畏的數(shù)學(xué)概念.從初中的注重直觀到高中的逐步抽象，學(xué)生對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)在理論上應(yīng)當(dāng)上升了一個(gè)層次.但實(shí)際上，許多學(xué)生還是：

看到函數(shù)，慌了;

沒(méi)有頭緒，亂了;

陷于計(jì)算，涼了;

再有參數(shù)，完了.

本文以一道分段函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題為背景，通過(guò)對(duì)題目的改編，以求讓學(xué)生體會(huì)解決函數(shù)問(wèn)題關(guān)注其圖象與性質(zhì)才是關(guān)鍵.

原題 （2006年北京理）已知fx=3a-1x+4a，x<1

logax，x≥1， 是（-∞，+∞）上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是（ ?）.

A.（0，1） B.（0，13） C.17，13 D.17，1

分析 本題考查了一次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及分段函數(shù)的單調(diào)性.要使函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則需要滿足：① f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減;② f（x） 在（1，+∞）上單調(diào)遞減;③當(dāng)自變量x從-∞趨近于1時(shí)，f（x）的極限不小于f（1）.從而有 3a-1<0，

0 3a-1+4a≥loga1， 解得17≤a<13，故選C.

改編角度1 單調(diào)性的定義

本練習(xí)在原題的基礎(chǔ)上考查了函數(shù)單調(diào)性的定義.作為第一種變形，知識(shí)跨度較小，易于理解，學(xué)生接受度也較高.

改編角度2 單調(diào)性與零點(diǎn)的關(guān)系

零點(diǎn)是函數(shù)的重要性質(zhì)，零點(diǎn)個(gè)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間有密切關(guān)系，因此將問(wèn)題定位在零點(diǎn)個(gè)數(shù)考查單調(diào)性也是一種常見的方式.

練習(xí)2.1 已知fx=3a-1x+4a，x<1，logax，x≥1，若對(duì)于任意m∈R，fx=m 至多有1個(gè)根，求a的取值范圍.

分析 因?yàn)椤叭我鈓∈R，fx=m 至多有1個(gè)根”，所以fx 在R上必是單調(diào)函數(shù).若 fx 在R上單調(diào)遞減，則同原題，得a∈17，13;若fx 在R上單調(diào)遞增，由分段函數(shù)的單調(diào)性可知 3a-1>0，a>1，3a-1+4a≤loga1， 此方程組無(wú)解.綜上，a∈17，13.

數(shù)學(xué)解題本質(zhì)上就是一個(gè)不斷轉(zhuǎn)化的過(guò)程，將未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題.這種思想可以幫助我們解題，也可以幫助我們改編題目.沿著此思路，就函數(shù)的零點(diǎn)，筆者又進(jìn)行了如下的變形設(shè)計(jì)：

練習(xí)2.2 已知fx=3a-1x+4a，x<1，

logax，x≥1，若對(duì)于任意m∈R，fx=m 有且只有1個(gè)根，求a的取值范圍.

分析 本題條件由練習(xí)2.1中的“至多1個(gè)根”改為“有且只有1個(gè)根”，對(duì)函數(shù)的要求由“單調(diào)”增強(qiáng)為“單調(diào)且連續(xù)”.結(jié)合練習(xí)2.1的分析可知：3a-1+4a=loga1， a=17 . 經(jīng)檢驗(yàn)，a=17 時(shí)，fx單調(diào)遞減且連續(xù)，所以a=17.

函數(shù)單調(diào)的情況研究清楚了，不單調(diào)的情況自然也就了然于心了.考慮此，筆者設(shè)計(jì)了如下的變式練習(xí)：

分析 “存在m∈R， 使得fx=m 有2個(gè)不同的根”意味著fx在R上不單調(diào).因此由練習(xí)2.1 及對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)a的要求（a>0 且 a≠1）可得 a∈0，17∪13，1∪1，+∞.

.

原題是函數(shù)中有字母考查單調(diào)性，反過(guò)來(lái)，在已知單調(diào)性的基礎(chǔ)上考查其應(yīng)用尤其是與不等式相關(guān)的問(wèn)題亦是一個(gè)常見的角度，故此在原題中取a=14 設(shè)置了如上的變形.

分析 函數(shù)解析式是自變量與因變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)對(duì)解析式的分析可以得到該函數(shù)的相關(guān)性質(zhì).同時(shí)我們也應(yīng)注意到，圖象也是函數(shù)的重要表達(dá)形式，且從圖象觀察性質(zhì)更形象直觀.對(duì)于不需要嚴(yán)謹(jǐn)推理證明過(guò)程的小題，借助圖象可以更快捷方便.本題fx的圖象如圖所示，由圖象可知fx在R上單調(diào)遞減.故若想求解fa2-a>-12 只需求得函數(shù)值為-12 的自變量即可.又由圖象可知函數(shù)值為-12的自變量必大于1，因此由-log4x=-12 求得x=2，從而 a2-a<2，解得-1 ? ? 改編角度4 單調(diào)性與對(duì)稱性

分析 因?yàn)榇嬖?x>1，使得 fx=f（2-x），即 fx 的圖象上存在關(guān)于 x=1對(duì)稱的兩點(diǎn)，所以fx在R上不單調(diào).由練習(xí)2.3可得 a∈0，17∪13，1∪1，+∞. 接下來(lái)為了更好地觀察對(duì)稱性，我們借助函數(shù)的圖象：

由本題可以進(jìn)一步體會(huì)圖象的重要性.若單純地借助解析式進(jìn)行代數(shù)推導(dǎo)將陷入復(fù)雜沒(méi)有頭緒的計(jì)算之中.

改編角度5 單調(diào)性與極值、最值

分析 由于該分段函數(shù)在-∞，1及1，+∞內(nèi)分別都是單調(diào)函數(shù)，故fx若存在極值點(diǎn)，極值點(diǎn)必在分段點(diǎn)x=1處產(chǎn)生，從而fx在R上一定是不單調(diào)的.結(jié)合練習(xí)4的圖象及極值（點(diǎn)）的定義，可得a∈0，17 時(shí)，x=1為極大值點(diǎn);a∈1，+∞ 時(shí)，x=1為極小值點(diǎn);其余情況下fx都不存在極值點(diǎn).故a∈0，17∪1，+∞.

感悟 1.解析式與與圖象是函數(shù)的兩種非常重要的表示方法，通過(guò)解析式研究性質(zhì)可以鍛煉學(xué)生的邏輯思維、數(shù)學(xué)抽象，要求學(xué)生對(duì)概念有深刻的認(rèn)識(shí)，對(duì)函數(shù)有本質(zhì)的理解，而通過(guò)圖象獲取函數(shù)的性質(zhì)在解決小題時(shí)的優(yōu)點(diǎn)更為顯著.圖象提供了更多的形象思維，更直觀、易于理解，且性質(zhì)一目了然.筆者在教學(xué)過(guò)程中針對(duì)此類題目總結(jié)了如下的口訣，深受學(xué)生喜歡.

遇見函數(shù)心莫慌，借助圖象來(lái)幫忙.

慧眼識(shí)珠多發(fā)現(xiàn)，性質(zhì)利用是關(guān)鍵.

含有參數(shù)困難增，留心觀察變不變.

困難就像霧霾天，大風(fēng)起兮藍(lán)天見！

2.作為教師，要勤于思考，善于改編，用盡量少的題面幫助學(xué)生梳理盡量多的知識(shí).教師的首要職責(zé)之一是不能給學(xué)生下列印象：數(shù)學(xué)題相互之間幾乎沒(méi)有什么聯(lián)系，與其他事物也根本毫無(wú)聯(lián)系.因此在同樣的問(wèn)題背景下改編設(shè)問(wèn)，知識(shí)之間的聯(lián)系更容易產(chǎn)生，知識(shí)網(wǎng)絡(luò)更容易形成，更有利于學(xué)生的整體認(rèn)知及思維形成.

參考文獻(xiàn)：

[1]G.波利亞.怎樣解題＼[M＼].上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2002.

[責(zé)任編輯：李 璟]