從選做題《極坐標(biāo)與參數(shù)方程》看高考數(shù)學(xué)的變化

摘 要：以高考數(shù)學(xué)選做題《極坐標(biāo)與參數(shù)方程》為例，認(rèn)真剖析高考數(shù)學(xué)的變化，尤其2019年數(shù)學(xué)試卷突出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，重視揭示數(shù)學(xué)核心概念的本質(zhì)屬性，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用和學(xué)生的生活體驗(yàn).高考試題的創(chuàng)新引導(dǎo)著我們重新去審視教學(xué)以及學(xué)習(xí)過(guò)程.

關(guān)鍵詞：高考數(shù)學(xué);變化;反思

中圖分類(lèi)號(hào)：G632 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ?文章編號(hào)：1008-0333（2020）10-0021-03

收稿日期：2020-01-05

作者簡(jiǎn)介：羅紅（1986.9-），女，云南省元陽(yáng)縣人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

高考是我國(guó)重要的選拔性考試，是教學(xué)的指揮棒，研究高考試題是我們一線教師和學(xué)生都應(yīng)該認(rèn)真做的事情.近幾年高考數(shù)學(xué)試題也在不斷的發(fā)生變化，以選做題《極坐標(biāo)與參數(shù)方程》全國(guó)3卷為例，來(lái)看一下試題是怎么“進(jìn)化”的.

一、題目問(wèn)題直接，學(xué)生容易入手，得分高

2016年這道題第一問(wèn)問(wèn)得直接，只需要會(huì)轉(zhuǎn)換方程即可，第二問(wèn)考查的知識(shí)點(diǎn)單一，一個(gè)點(diǎn)到直線的距離公式就可以完成.

2016高考新課標(biāo)全國(guó)3 在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x=3cosα，

y=sinα（α為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+π4）=22.

（1）寫(xiě)出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程;

（2）設(shè)點(diǎn)P在C1上，點(diǎn)Q在C2上，求PQ的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo).

解析 試題分析 （1）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系中的平方關(guān)系化曲線C1的參數(shù)方程為普通方程，利用公式ρcosθ=x與ρsinθ=y代入曲線C2的極坐標(biāo)方程即可;（2）利用參數(shù)方程表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式建立|PQ|=d（α）的三角函數(shù)表達(dá)式，接著求出最值與相應(yīng)的點(diǎn)P坐標(biāo)即可.

解析 （1）C1的普通方程為x23+y2=1，C2的直角坐標(biāo)方程為x+y-4=0.

（2）由題意，可設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)3cosα，sinα，因?yàn)镃2是直線，所以PQ的最小值即為P到C2的距離dα的最小值，dα=3cosα+sinα-42=2sinα+π3-2.

當(dāng)且僅當(dāng)α=2kπ+π6k∈Z時(shí)，dα取得最小值，最小值為2，此時(shí)P的直角坐標(biāo)為32，12.

這道題屬于容易題，常規(guī)題，只要學(xué)生認(rèn)真學(xué)習(xí)過(guò)，訓(xùn)練過(guò)，那么是可以很快入手并且很容易得滿分，從學(xué)生的角度來(lái)講，遇到這樣的題就該偷著樂(lè)了，所以很多學(xué)生當(dāng)年都選做了這題.

二、題目問(wèn)題直接，有一定的難度，入手容易解對(duì)難 ?2017年第一問(wèn)雖然也是求方程，但是方程里還含有參數(shù)，參數(shù)是大部分同學(xué)不能理解的一個(gè)難點(diǎn)，比起2016年來(lái)難度有所增加.

2017高考新課標(biāo)全國(guó)3 在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為x=2+t，

y=kt（t為參數(shù)），直線l2的參數(shù)方程為x=-2+m，

y=mk（m為參數(shù)）.設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為P，當(dāng)k變化時(shí)，P的軌跡為曲線C.

（1）寫(xiě)出C的普通方程;

（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l3：ρcosθ+sinθ+2=0，M為l3與C的交點(diǎn)，求M的極徑.

解析 試題解析 （1）消去參數(shù)t 得l1 的普通方程l1：y=kx-2;消去參數(shù)m得l2的普通方程l2：y=1kx+2.設(shè)Px，y，由題設(shè)得y=kx-2，

y=1kx+2，，消去k得x2-y2=4y≠0.所以C的普通方程為x2-y2=4y≠0.

（2）C的極坐標(biāo)方程為

2017年這道題與2016年相比，雖然問(wèn)題直接，但是里面涉及到的內(nèi)容很多，學(xué)生必須學(xué)會(huì)從中提煉出關(guān)鍵，找到突破口，重點(diǎn)考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力.要懂得遇到求曲線交點(diǎn)、距離、線段長(zhǎng)等幾何問(wèn)題時(shí)，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解，或者直接利用極坐標(biāo)的幾何意義求解.還要結(jié)合題目本身特點(diǎn)，確定選擇何種方程.

這道題題目，第2問(wèn)不光這種解法，學(xué)生也可以把極坐標(biāo)方程改為普通方程，用普通方程把M點(diǎn)坐標(biāo)求出，從而求出極徑.

三、題目問(wèn)題不常規(guī)，入手已不容易

2018年這道題難度比2017年略有增加，主要是第一問(wèn)不好入手，第二問(wèn)和2017年第二問(wèn)基本持平.

2018年高考新課標(biāo)全國(guó)3 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O的參數(shù)方程為x=cosθ，

y=sinθθ為參數(shù)，過(guò)點(diǎn)0，-2且傾斜角為α的直線與圓O交于A，B兩點(diǎn).

（1）求α的取值范圍;

（2）求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程.

解析 （1）圓O的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=1.

2018年這道題第一問(wèn)已經(jīng)不像前兩年一樣簡(jiǎn)單，直白，前兩年第一問(wèn)都是寫(xiě)方程，學(xué)生只需進(jìn)行簡(jiǎn)單訓(xùn)練就可以完成，至少可以保住5分，但是今年的第一問(wèn)就是參數(shù)，學(xué)生最怕的就是參數(shù)，所以第一問(wèn)得分不高，第二問(wèn)考查的是中點(diǎn)的t的意義以及求法，要考的概念雖然清晰，但在第一問(wèn)的前提下，這個(gè)點(diǎn)也就變成了難點(diǎn)，所以這一年這題學(xué)生得分不高.

四、題目讀不懂，無(wú)從下手

2019年與前幾年相比，題目新穎，學(xué)生必須具備很強(qiáng)的數(shù)學(xué)閱讀能力才能讀懂題意，這道題也上了今年高考的熱搜，考生普遍反映《極坐標(biāo)和參數(shù)方程》這道選做題越來(lái)越難.

2019年高考新課標(biāo)全國(guó)卷3 如圖，在極坐標(biāo)系Ox中A2，0，B2，π4，C2，3π4，D2，π，弧AB，弧BC，弧CD所在圓的圓心分別是1，0，1，π2，1，π，曲線M1是弧AB，曲線M2是弧BC，曲線M3是弧CD.

（1）分別寫(xiě)出M1，M2，M3的極坐標(biāo)方程;

（2）曲線M由M1，M2，M3構(gòu)成，若點(diǎn)P在M上，且OP=3，求P的極坐標(biāo).

2019年這道題學(xué)生得分率極低，大部分同學(xué)連題目都讀不懂，根本就是無(wú)從下手，感覺(jué)平時(shí)練了那么多題白練了，本來(lái)以為數(shù)學(xué)換湯不換藥，誰(shuí)知今年連碗都換了，真是刷題無(wú)數(shù)遍，敗給一片云.

2019年的這道題是突然變難的嗎？其實(shí)不然，覺(jué)得它難是因?yàn)闆](méi)有好好研究這幾年這道題的變化，題目從一開(kāi)始的可以直接下手，慢慢變成需要?jiǎng)幽X筋、多計(jì)算，再到后來(lái)的需要學(xué)生從題目中提煉出數(shù)學(xué)信息，題目考查看似知識(shí)點(diǎn)難度在加大，其實(shí)考查學(xué)生解決問(wèn)題的能力，不再是單一的知識(shí)點(diǎn)的考查，是在跟現(xiàn)實(shí)生活接軌，要學(xué)生真正懂得數(shù)學(xué)的意義何在.從這道題的背后，我們也能看出，2019年數(shù)學(xué)試卷突出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，重視揭示數(shù)學(xué)核心概念的本質(zhì)屬性，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用和學(xué)生的生活體驗(yàn)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化.

高考是教學(xué)的指揮棒，從今年的這道題目中我也在思考，在反思，給學(xué)生練了那么多，是不是每次都是針對(duì)知識(shí)點(diǎn)，方程的轉(zhuǎn)化，t的意義，中點(diǎn)的運(yùn)用，軌跡的求法……卻缺少對(duì)試題提供的信息進(jìn)行分揀、結(jié)合和加工能力的訓(xùn)練，這就好像在生活中，一個(gè)滿身本領(lǐng)的人，遇到問(wèn)題卻不知道要用什么本領(lǐng)，那他學(xué)了這么多又有何用，高考是具有選拔功能的考試，數(shù)學(xué)試題的命制強(qiáng)調(diào)“以能力立意”.以能力立意命題，是從問(wèn)題入手，把握學(xué)科的整體意義，用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)組織材料，對(duì)知識(shí)的考查著重于理解和應(yīng)用，特別是知識(shí)的綜合性和靈活運(yùn)用.這就要求考生善于抓住問(wèn)題的本質(zhì)，能對(duì)試題提供的信息進(jìn)行分揀、結(jié)合和加工，尋找解題途徑.這樣的問(wèn)題，無(wú)現(xiàn)成的題型、模式或方法套用，需要的是創(chuàng)造精神和創(chuàng)新意識(shí).

長(zhǎng)期以來(lái)數(shù)學(xué)教師在備課時(shí)已經(jīng)把教材內(nèi)容進(jìn)行了提煉，在課堂上通過(guò)自己的語(yǔ)言表達(dá)給學(xué)生，而大部分學(xué)生是被動(dòng)地接受和理解，學(xué)生沒(méi)有進(jìn)行課前預(yù)習(xí)，對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解印象不深，時(shí)間一長(zhǎng)容易忘記.所以，在以后的教學(xué)中我們也應(yīng)該轉(zhuǎn)變觀念，要注重學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的體驗(yàn)，要有一個(gè)整體的過(guò)程體驗(yàn)，這就好像授人以漁，不能只教釣魚(yú)的方法，還應(yīng)該讓他學(xué)著做魚(yú)竿，學(xué)著找材料，學(xué)著做魚(yú)餌，這樣才算是他自己的本領(lǐng).

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提出，以及今年題目的變化，都在告訴我們要重視數(shù)學(xué)核心概念的本質(zhì)屬性，重視數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用和學(xué)生的生活體驗(yàn)，重視數(shù)學(xué)文化.要著重培養(yǎng)學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)的能力，更要培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題，分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力，這才是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義所在！

參考文獻(xiàn)：

[1]2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試全國(guó)Ⅲ卷.

[2]2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試全國(guó)Ⅲ卷.

[3]2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試全國(guó)Ⅲ卷.

[4]2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試全國(guó)Ⅲ卷.

[責(zé)任編輯：李 璟]