一道教材習(xí)題的結(jié)論及其應(yīng)用

劉才華

摘 要：本文給出了函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性與函數(shù)的奇偶性間的相關(guān)關(guān)系及其應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：函數(shù)圖象;對(duì)稱(chēng)性;奇偶性

中圖分類(lèi)號(hào)：G632 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ?文章編號(hào)：1008-0333（2020）10-0019-02

收稿日期：2020-01-05

作者簡(jiǎn)介：劉才華（1969.10-），男，山東省泰安寧陽(yáng)人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

題目 我們知道，函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù).有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)P（a，b）成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)y=f（x+a）-b為奇函數(shù).

（1）求函數(shù)f（x）=x3-3x2圖象的對(duì)稱(chēng)中心;

（2）類(lèi)比上述推廣結(jié)論，寫(xiě)出“函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)”的一個(gè)推廣結(jié)論.

這是最新普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第87頁(yè)的一道拓廣探索題目，題目結(jié)論給出了如何判斷一個(gè)函數(shù)圖象成中心對(duì)稱(chēng)或軸對(duì)稱(chēng)的一個(gè)有效的判定方法.

眾所周知，奇函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心為原點(diǎn)，若y=f（x）的圖象對(duì)稱(chēng)中心為點(diǎn)P（a，b），可以通過(guò)將y=f（x）的圖象向左（或右）平移變換和向上（或下）平移變換，將其對(duì)稱(chēng)中心平移到原點(diǎn)處，得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象;同樣地，若y=g（x）的圖象的對(duì)稱(chēng)中心為原點(diǎn)，可以通過(guò)將y=g（x）的圖象向左（或右）平移變換和向上（或下）平移變換，將其對(duì)稱(chēng)中心平移到P（a，b）處，得到一個(gè)關(guān)于P（a，b）成中心對(duì)稱(chēng)的函數(shù)的圖象.于是我們得到如下

命題1 函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)P（a，b）成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)y=f（x+a）-b為奇函數(shù).

例1 （2018年全國(guó)新課標(biāo)Ⅲ文科試題）已知函數(shù)f（x）=ln（1+x2-x）+1，f（a）=4，則f（-a）=

.

解 設(shè)g（x）=f（x）-1=ln（1+x2-x），則g（x）+g（-x）=ln（1+x2）-x2=0，從而g（x）為奇函數(shù).由命題1得f（x）的圖象關(guān)于P（0，1）對(duì)稱(chēng)，所以f（a）+f（-a）=2.

例2 （2012年全國(guó)新課標(biāo)文科試題）設(shè)函數(shù)f（x）=（x+1）2+sinxx2+1的最大值為M，最小值為m，則M+m

.

解 設(shè)g（x）=f（x）-1=（x+1）2+sinxx2+1-1=2x+sinxx2+1，則g（x）為奇函數(shù).由命題1得f（x）的圖象關(guān)于P（0，1）對(duì)稱(chēng)，所以M+m=2.

例3 （2017年全國(guó)新課標(biāo)Ⅲ文科試題）函數(shù)y=1+x+sinxx2的部分圖象大致為（ ?）.

解 設(shè) f（x）=1+x+sinxx2，g（x）=f（x）-1=x+sinxx2，則g（x）為奇函數(shù).由命題1得f（x）的圖象關(guān)于P（0，1）對(duì)稱(chēng)，排除選擇支（B），（C）.當(dāng)x取非常小的正角時(shí)，f（x）>0，排除選擇支（A）.故選擇答案：（D）.

例4 （2008年高考重慶理科試題）若定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：對(duì)任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，則下列說(shuō)法一定正確的是（ ?）.

A.f（x）為奇函數(shù) ? ?B.f（x）為偶函數(shù)

C.f（x）+1為奇函數(shù)D.f（x）+1為偶函數(shù)

解 令x1=x2=0，代入f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1得f（0）=-1.令x1=x，x2=-x，代入f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1得f（x）+f（-x）=f（0）-1=-2.所以f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)P（0，-1）對(duì)稱(chēng)，則f（x）+1為奇函數(shù)，選擇答案：C.

我們知道，偶函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為y軸，若y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng)，可以通過(guò)將y=f（x）的圖象向左（或右）平移變換，將其對(duì)稱(chēng)軸平移到和y軸重合，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象;同樣地，若y=g（x）的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為y軸，可以通過(guò)將y=g（x）的圖象向左（或右）平移變換，將其對(duì)稱(chēng)軸平移到和直線x=a重合，得到一個(gè)關(guān)于直線x=a成軸對(duì)稱(chēng)的函數(shù)的圖象.于是我們得到如下

命題2 函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng)的充要條件是函數(shù)y=f（x+a）為偶函數(shù).

例5 （2017年全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ文科試題）已知函數(shù)fx=lnx+ln2-x，則（ ?）.

A.fx在0，2單調(diào)遞增

B.fx在0，2單調(diào)遞減

C.y=fx的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)

D.y=fx的圖象關(guān)于點(diǎn)1，0對(duì)稱(chēng)

解 由f（x）=lnx+ln（2-x）得f（x）=lnx（2-x）.由于y=-x2+2x（0 ? ? 設(shè)g（x）=f（x+1）=ln（x+1）+ln（1-x）.由g（x）=g（-x）得g（x）為偶函數(shù)，所以由命題2得y=fx的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，選擇答案：C.

例6 （2017年新課標(biāo)Ⅲ理科試題）已知函數(shù)f（x）=x2-2x+a（ex-1+e-x+1）有唯一零點(diǎn)，則a=（ ?）.

A.-12 ?B.13 ?C.12 ?D.1

解 由f（x）=x2-2x+a（ex-1+e-x+1），設(shè)g（x）=f（x+1）=x2+a（ex+e-x）-1.由g（x）為偶函數(shù)及命題2得f（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng).由于函數(shù)f（x）有唯一零點(diǎn)，所以f（1）=2a-1=0，則a=12.

選擇答案：C.

例7 （2007年重慶理科試題）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）在（8，+∞）上為減函數(shù)，且函數(shù)y=f（x+8）為偶函數(shù)，則（ ?）.

A.f（6）>f（7） ? B.f（6）>f（9）

C.f（7）>f（9） D.f（7）>f（10）

解 因?yàn)閥=f（x+8）為偶函數(shù)，所以由命題2得f（x）的圖象關(guān)于x=8對(duì)稱(chēng)，于是f（7）=f（9）.因?yàn)閒（x）在（8，+∞）上為減函數(shù)，所以f（9）>f（10），即f（7）>f（10），故選擇答案：D.

例8 （2007年北京文科試題）對(duì)于函數(shù)①y=log2（x+4+2）（x>0），②f（x）=（x-2）2，③f（x）=cos（x-2），判斷如下兩個(gè)命題的真假：

命題甲：f（x+2）是偶函數(shù);

命題乙：y=4x-2x+2（x>1）在（-∞，2）上是減函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù);

能使命題甲、乙均為真的所有函數(shù)的序號(hào)是（ ?）.

A.①② B.①③ C.② D.③

解 因?yàn)閒（x+2）為偶函數(shù)，所以由命題2得f（x）的圖象關(guān)于x=2對(duì)稱(chēng)，①不正確，排除選擇支A、B.由于f（x）=（x-2）2滿(mǎn)足命題乙，故選擇答案：C.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)·必修第一冊(cè)（2019版）M.北京：人民教育出版社，2019：87.

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