二次型遞推關(guān)系數(shù)列的處理策略

李秀元 朱丹丹

摘 要：本文試圖將涉及數(shù)列的二次型遞推關(guān)系試題作大致分類(lèi)，以明確求解方向，供大家復(fù)習(xí)參考.

關(guān)鍵詞：遞推數(shù)列;二次型;均值型;圓型

中圖分類(lèi)號(hào)：G632 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ?文章編號(hào)：1008-0333（2020）10-0035-03

收稿日期：2020-01-05

作者簡(jiǎn)介：李秀元（1973.11-），男，湖北省黃岡人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

朱丹丹（1985.5-），女，湖北省黃岡人，碩士，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

數(shù)列的遞推關(guān)系有很多種，通過(guò)遞推關(guān)系可以研究數(shù)列的特點(diǎn)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.一般地，二次型遞推關(guān)系可分為二次函數(shù)型、均值型和圓型三大類(lèi).

一、二次函數(shù)型遞推關(guān)系

所謂二次函數(shù)型遞推關(guān)系，就是將數(shù)列的項(xiàng)表示成前一項(xiàng)的二次函數(shù).這類(lèi)遞推關(guān)系式，大致有下面三種考查角度.

1.考查數(shù)列的周期性

例1 已知數(shù)列an滿(mǎn)足a1=1，an=a2n-1-1（n>1），則a2019=，|an+an+1|=

.

解 由遞推關(guān)系可得，a1=1，a2=0，a3=-1，a4=0，a5=-1，則數(shù)列an除第一項(xiàng)外，構(gòu)成周期為2的周期數(shù)列.故a2019=a3=-1，|an+an+1|=1.

例2 已知數(shù)列an滿(mǎn)足a1=1，an+1=a2n-2an+1，則a2020=.

解 由遞推關(guān)系可得，a1=1，a2=0，a3=1，a4=0，則數(shù)列an是周期為2的周期數(shù)列，故2020=a2=0.

方法歸納 如果不是求特殊數(shù)列（如等差等比等）的較大項(xiàng)，一般是考查數(shù)列的周期性，通過(guò)遞推關(guān)系式，嘗試求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，以發(fā)現(xiàn)規(guī)律性.

2.考查邏輯判斷與數(shù)據(jù)處理

例3 （2019年浙江卷）設(shè)a，b∈R，數(shù)列an滿(mǎn)足a1=a，an+1=a2n+b，n∈N*，則（ ?）.

A.當(dāng)b=12時(shí)，a10>10

B.當(dāng)b=14時(shí)，a10>10.

C.當(dāng)b=-2時(shí)，a10>10

D.當(dāng)b=-4時(shí)，a10>10

分析 作為選擇壓軸題，這道題確實(shí)有些份量.由于遞推關(guān)系式?jīng)]有現(xiàn)成的處理模式，不知道考什么，很難切入.從4個(gè)選項(xiàng)來(lái)看，都是基于b的取值，確定a10>10.結(jié)論都是與a無(wú)關(guān)，即認(rèn)為是對(duì)實(shí)數(shù)a恒成立的問(wèn)題，而且，對(duì)數(shù)列的特性也未作說(shuō)明.若從數(shù)列an的特性來(lái)看，常數(shù)列是特殊的等差和等比（項(xiàng)非零）數(shù)列.因此，可以考慮以常數(shù)列為基準(zhǔn)，通過(guò)賦值a，構(gòu)建反例，進(jìn)行計(jì)算排除.

解 若數(shù)列an為常數(shù)列，設(shè)an+1=an=λ.

對(duì)于選項(xiàng)A，方程λ2-λ+12=0無(wú)實(shí)數(shù)根;

對(duì)于選項(xiàng)B，方程λ2-λ+14=0的根為λ=12，即an=a=12，顯然不滿(mǎn)足結(jié)論;

對(duì)于選項(xiàng)C，方程λ2-λ-2=0的根為λ=2或λ=-1，無(wú)論取an=a=2還是-1，都不滿(mǎn)足結(jié)論;

對(duì)于選項(xiàng)D，方程λ2-λ-4=0的根為λ=1±172，此時(shí)an=a=1±172<10，也不滿(mǎn)足結(jié)論.

因此，只能選A.

事實(shí)上，對(duì)于選項(xiàng)A，取a=0，則a1=0，a2=12，a3=34，a4=1716，a5=417256>1.6，a6>1.62+0.5>3，a7>32+0.5=9.5，a8>9.52+0.5>10，此時(shí)，a10>a9>a8>10.

3.考查二次式的配方與對(duì)數(shù)運(yùn)算

例4 （2006年山東卷）已知a1=2，點(diǎn)（an，an+1）在函數(shù)f（x）=x2+2x的圖象上，其中n=1，2，3，….

（1）證明數(shù)列l(wèi)g（1+an）是等比數(shù)列;

（2）設(shè)Tn=（1+a1）（1+a2）…（1+an），求Tn及數(shù)列an的通項(xiàng);

（3）記bn=1an+1an+2，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn，并證明Sn+23Tn-1=1.

解 依題意，有an+1=a2n+2an.

（1）因?yàn)閍1=2，所以an>1.

由an+1=a2n+2an，得an+1+1=（an+1）2，兩邊取對(duì)數(shù)，得lg（an+1+1）=2lg（an+1），而lg（a1+1）=lg3≠0，所以數(shù)列l(wèi)g（1+an）是首項(xiàng)為lg3，公比為2的等比數(shù)列.

（2）由（1）得lg（1+an）=2n-1lg3=lg32n-1，所以1+an=32n-1，an=32n-1-1.

Tn=（1+a1）（1+a2）…（1+an）=320+21+…+2n-1=32n-1.

（3）由an+1=a2n+2an，得1an+1=12（1an-1an+2），即1an+2=1an-2an+1.

所以bn=1an+1an+2=2（1an-1an+1），

Sn=b1+b2+…+bn=2（1a1-1an+1）=2（12-132n-1）=1-232n-1，Sn+23Tn-1=1.

例5 已知數(shù)列an滿(mǎn)足an+1=a2n+an+λ（λ為常數(shù)），且a1=2，數(shù)列bn滿(mǎn)足bn=1an+1，Sn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.

（1）若λ=-14，試證明數(shù)列l(wèi)g（an+12）為等比數(shù)列;

（2）若λ=0，求證Sn+1an+1=22.

證明 （1）λ=-14，an+1=a2n+an-14，an+1+12=（an+12）2.

因?yàn)閍1=2，所以an>0.對(duì)上式兩邊取對(duì)數(shù)，得lg（an+1+12）=2lg（an+12），而lg（a1+12）=lg（2+12）>0，所以數(shù)列l(wèi)g（an+12）是首項(xiàng)為lg（2+12），公比為2的等比數(shù)列.

（2）當(dāng)λ=0時(shí)，an+1=a2n+an，所以1an+1=1an-1an+1，則bn=1an+1=1an-1an+1.

因此Sn=b1+b2+…+bn=1a1-1an+1=22-1an+1，所以Sn+1an+1=22.

方法歸納 對(duì)原遞推關(guān)系式中的二次項(xiàng)配方，得到相同結(jié)構(gòu)的兩項(xiàng)的二次關(guān)系，明確項(xiàng)的符號(hào)后，對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，得到一個(gè)新數(shù)列的線(xiàn)性遞推關(guān)系，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng).

二、均值型遞推關(guān)系

所謂均值型遞推關(guān)系，即將數(shù)列的項(xiàng)用它的前一項(xiàng)的均值型表示.相對(duì)于簡(jiǎn)單的二次函數(shù)型遞推關(guān)系式，這類(lèi)遞推式處理起來(lái)就要麻煩得多，需要進(jìn)行兩次配方.

例6 已知數(shù)列xn滿(mǎn)足x2n+4=2xnxn+1.若x1=4，記an=lgxn+2xn-2，證明：數(shù)列an為等比數(shù)列，并求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式.

證明 由遞推關(guān)系知xn>0，所以xn+1=xn2+2xn，而x1=4，從而xn>2.

因?yàn)閤n+1+2=xn2+2xn+2=（xn+2）22xn，

xn+1-2=xn2+2xn-2=（xn-2）22xn，

兩式相除，得xn+1+2xn+1-2=（xn+2xn-2）2.

兩邊取對(duì)數(shù)，得lgxn+1+2xn+1-2=2lgxn+2xn-2，即an+1=2an，而a1=lg3≠0，所以數(shù)列an是以lg3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

從而an=lgxn+2xn-2=2n-1lg3=lg32n-1，則xn+2xn-2=32n-1，解得xn=2（32n-1+1）32n-1-1.

例7 已知函數(shù)f（x）=x2+x-1，α，β是方程f（x）=0的兩個(gè)根（α>β）.f ′（x）是f（x）的導(dǎo)數(shù)，設(shè)a1=1，an+1=an-f（an）f ′（an）.

（1）求α，β的值;

（2）證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，都有an>α;

（3）記bn=lnan-βan-α，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.

解 （1）α=-1+52，β=-1-52.

（2）因?yàn)閒 ′（x）=2x+1，

所以an+1=an-a2n+an-12an+1=a2n+12an+1=14（2an+1）+54×12an+1-12.

由a1=1，得an>0.

所以an+1=14（2an+1）+54×12an+1-12≥5-12=α，當(dāng)且僅當(dāng)an=5-12時(shí)取等號(hào)，而a1=1>5-12，所以an>α.

（3）f（an）=（an-α）（an-β），f ′（an）=2an+1.

an+1-β=an-f（an）f ′（an）-β=an-β2an+1（an+1+α）.

又α+β=-1，

所以an+1-β=（an-β）22an+1>0.

同理，an+1-α=（an-α）22an+1>0.

所以an+1-βan+1-α=（an-βan-α）2.

兩邊取對(duì)數(shù)，得lnan+1-βan+1-α=2lnan-βan-α，即bn+1=2bn，而b1=2ln3+52，所以數(shù)列bn是首項(xiàng)為2ln3+52，公比為2的等比數(shù)列，前n項(xiàng)和Sn=2（2n-1）ln3+52.

方法總結(jié) 通過(guò)兩次對(duì)遞推關(guān)系式左右兩邊加減相同常數(shù)，使得等式右邊分子為完全平方，兩式相除，即得類(lèi)型三.

三、圓型遞推關(guān)系

圓型遞推關(guān)系，即是數(shù)列相鄰兩項(xiàng)滿(mǎn)足圓的方程，也即點(diǎn)（an，an+1）在圓上.

例8 數(shù)列an中，an+1=2+4an-a2n，則a1+a2018的最大值為（ ?）.

A.2 ? B.4 ?C.4-22 ?D.4+22

解法1 由已知得0≤an≤4，且an+1≥2.

對(duì)an+1=2+4an-a2n變形，得

a2n+1-4an+1+2=-（a2n-4an+2）.

（1）若a21-4a1+2=0，即a1=2+2，或a1=2-2.

此時(shí)數(shù)列a2n-4an+2是常數(shù)列，且a2n-4an+2=0，所以an=2+2或an=2-2.前者使a1+a2018最大，后者使a1+a2018最小.

（2）若a21-4a1+2≠0，即a1≠2±2，則數(shù)列a2n-4an+2是公比為-1的等比數(shù)列.

此時(shí)a21-4a1+2+（a22018-4a2018+2）=0，

整理得4（a1+a2018）=a21+a22018+4.

所以4（a1+a2018）=a21+a22018+4>（a1+a2018）22+4（a1≠a2018）

解得4-22 ? ? 綜合可知4-22≤a1+a2018≤4+22，選D.

解法2 由遞推關(guān)系得4an-a2n≥0，且an+1≥2，即0≤an≤4且an+1≥2.

對(duì)an+1=2+4an-a2n將2移項(xiàng)兩邊平方，整理得（an+1-2）2+（an-2）2=4.

令an-2=2cosθ（θ∈[0，π]），an+1-2=2sinθ.

即an=2+2cosθ，an+1=2+2sinθ.

所以a1+a2018=4+2（sinθ+cosθ）=4+22sin（θ+π4）≤4+22.

（由于a1和a2018分別對(duì)應(yīng)數(shù)列的奇偶項(xiàng)，故它們使用了不同的表達(dá)式）

參考文獻(xiàn)：

[1]何成寶.八類(lèi)遞推數(shù)列通項(xiàng)公式全在這里[J].中學(xué)生數(shù)理化（高二），2016（10）：8-9.

[責(zé)任編輯：李 璟]