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    接觸式輪廓儀的自動標注數(shù)學模型

    2020-09-10 07:22:44崔煜
    江蘇廣播電視報·新教育 2020年42期
    關(guān)鍵詞:最小二乘法

    崔煜

    摘要:為2020年全國大學生數(shù)學建模競賽D題提供可行解法,針對探針沾污、探針缺陷、掃描位置不準導(dǎo)致的輪廓儀數(shù)據(jù)不準問題,利用matlab對數(shù)據(jù)進行分段處理,進而確定水平線軸線,擬合曲線段,斜線段,確定交點坐標、利用基本的數(shù)學知識建立模型求解出工件直線段各個參數(shù),用最小二乘法擬合和圓弧。針對有傾斜角的工件測量數(shù)據(jù),利用旋轉(zhuǎn)變換法將有傾斜角度的工件測量數(shù)據(jù)水平校正。

    關(guān)鍵詞:數(shù)據(jù)擬合;標注;最小二乘法;旋轉(zhuǎn)變換

    1.問題的提出

    輪廓儀是一種兩坐標測量儀器,它由工作平臺、夾具、被測工件、探針、傳感器和伺服驅(qū)動等部件組成。其工作原理是,探針接觸到被測工件表面并勻速滑行,傳感器感受到被測表面的幾何變化,在X和Z方向分別采樣,并轉(zhuǎn)換成電信號。該電信號經(jīng)放大等處理,轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號儲存在數(shù)據(jù)文件中。

    輪廓曲線理想狀況下是光滑的,但由于接觸式輪廓儀存在探針沾污、探針缺陷、掃描位置不準等問題,呈現(xiàn)出粗糙不平的情況,這給工件形狀的準確標注帶來影響。

    因此簡化問題,假設(shè)被測工件的輪廓線是由直線和圓弧構(gòu)成的平面曲線(見圖4)。請建立數(shù)學模型,根據(jù)附件1(工件1的水平和傾斜測量數(shù)據(jù))、附件2~附件4(工件2的多次測量數(shù)據(jù))所提供的輪廓儀測量數(shù)據(jù),研究下列問題:

    問題1是根據(jù)附件1中的工件1在水平狀態(tài)下的測量數(shù)據(jù)即表level,其輪廓線如圖4所示,請標注出輪廓線的各項參數(shù)值:槽口寬度、圓弧半徑、圓心之間的距離、圓弧的長度、水平線段的長度、斜線線段的長度、斜線與水平線之間的夾角和人字形線的高度。

    問題2是在同一工件在不同次測量時,由于工件放置的角度和位置不同,輪廓線參數(shù)的計算值也會存在差異。附件1中的表down給出了工件1在傾斜一個角度和有一些水平位移狀態(tài)下輪廓線的測量數(shù)據(jù)。請計算該工件測量時的傾斜角度,并作水平校正。在數(shù)據(jù)校正后,完成問題1的任務(wù),并比較兩種測量狀態(tài)下工件1各項參數(shù)計算值之間的差異。

    2.數(shù)據(jù)處理

    通過初步分析,發(fā)現(xiàn)附件1中原始較為完整,不存在缺失和重復(fù),數(shù)據(jù)精度比較高,到小數(shù)點后九位。而matlab中精度是小數(shù)點后四位,所以采用excel進行計算,采用matlab進行畫圖。

    將工件1中l(wèi)evel表格的數(shù)據(jù)導(dǎo)入matlab,利用畫圖函數(shù)可得如下圖1,為了更清楚明確的計算各個參數(shù),分別在圖中標注了各個分段點,同時也將數(shù)據(jù)按點分段。

    通過圖1可以看到水平線段有8段,圓弧有7段,人字高數(shù)據(jù)一段。

    3.問題一模型的建立與求解

    3.1模型的建立

    由于工件1輪廓線中水平線在放大后粗糙凹凸不平,不能夠直接從圖形中選取分段點。假設(shè)工件水平面光滑,統(tǒng)計數(shù)據(jù)分析,擬合各個水平線段的直線方程。再與各個曲線擬合的方程聯(lián)立求解得出交點。

    1、對于水平線,求8段數(shù)據(jù)的平均數(shù)

    其中為第段水平數(shù)據(jù)段的平均值。

    2、對于斜線建立直線模型

    其中對于參數(shù)的設(shè)定用數(shù)據(jù)擬合方法。

    3、由于水平線上拐角處凹凸不平,很難確定端點坐標,同時為了較為準確合理的求出工件的水平長度、夾角,利用曲線擬合數(shù)據(jù)來計算端點,對于每一條弧線假設(shè)滿足方程:

    4、類似中學數(shù)學中求點的坐標的方法,分別聯(lián)立水平線和2條斜線方程

    解方程可得的坐標。

    5、類似中學數(shù)學中求點的坐標的方法,分別聯(lián)立水平線和曲線方程

    解方程可得的橫坐標。

    6、因此可以計算得出槽口寬度

    7、為了方便求出夾角,三個鉛筆輪廓與水平線相交的上部分近似的看成直線段,擬合出直線段的直線方程

    8、鉛筆輪廓上半段直線、斜線與水平線之間的夾角的正切為,則斜線與水平線之間的夾角為

    9、斜線的方程(2)已給出,假設(shè)斜線段是直線斜線,其長度為

    10、對于工件中圓弧部分要求出圓心和半徑,建立圓的方程

    下面我們采用最小二乘法來進行擬合[5],因此設(shè)最小二乘圓的一般方程為

    擬合誤差的平方和為由最小二乘法原理求得的參數(shù)使得最小,必須讓、和通過對系數(shù)求偏導(dǎo)并令其導(dǎo)數(shù)為零,可得

    通過求解上述矩陣方程可得一般圓的方程系數(shù),通過圓的方程變換可得擬合圓的半徑和圓心坐標如下:

    11、圓心之間的距離

    12、對于圓弧長的求解,我們利用圓弧長公式

    其中是圓的半徑,為圓弧對應(yīng)的圓心角,當圓弧與水平面相交時(大小圓?。?,交點為。

    對于的求解利用余弦定理得出

    當圓弧不與水平面相交時(鉛筆輪廓),聯(lián)立圓的方程與直線方程得

    (17)

    解方程組可得圓弧左邊交點,圓弧右邊交點

    由弧與左右直線相交交點與圓心構(gòu)成等腰三角形,兩腰夾的角利用余弦定理可求得,公式如下:

    3.2模型的求解

    3.2.1槽口寬度求解

    如圖1所示,槽口寬度即兩個橫坐標之間的差值,只要把橫坐標求出來即可。要通過求交點求出橫坐標,則先把曲線的方程擬合出來,通過matlab工具箱cftool把工件1中10段曲線數(shù)據(jù)段和兩段直線數(shù)據(jù)段擬合出來,其中前三個凸出來的鉛筆頭輪廓,分成兩端進行擬合,是為了提高擬合精度,結(jié)果如下表:

    通過(4),(5)和(6)三個方程組通過解得的橫坐標如下表

    其中和為數(shù)據(jù)的起始點。

    利用水平端點的坐標數(shù)據(jù),橫坐標做差得到槽口寬度如表3

    3.2.2人字形高度及斜線長度求解

    兩條斜線之間的交點可以通過聯(lián)立兩直線方程

    可得兩直線的交點Z坐標(),人字形高可以通過減去水平線高。

    由excel軟件求解得人字形高位0.9868。

    對于斜線段得長度得求解,下端點分別為上端點坐標為()因此斜線段長度為:

    3.2.3斜線與水平線之間的夾角求解

    為了簡化計算,將三個鉛筆輪廓與水平線相交的上部分近似的看成直線段,數(shù)據(jù)上選取部分數(shù)據(jù)作直線擬合,而對于斜線段直接選取數(shù)據(jù)擬合,求出得8條直線方程、斜率和斜傾斜角如下表:

    3.2.4圓心、圓的半徑及弧長的求解

    首先由最小二乘法擬合出圓的方程如下表

    因此可以求出圓心距如下表

    利用matlab求解曲率為零的點,然后利用定積分求解每一段弧如下表

    4.問題二模型的建立與求解

    4.1模型的建立

    附件1中的表down給出了工件1在傾斜一個角度和有一些水平位移狀態(tài)下輪廓線的測量數(shù)據(jù),計算該工件測量時的傾斜角度,并作水平校正。

    對于工件1傾斜角角度的求解,從圖形中選取斜線段設(shè)

    對于傾斜輪廓線水平修正,建立圖形旋轉(zhuǎn)矩陣[4]模型,如圖所示

    圖2中旋轉(zhuǎn)角度為角,初始角度為,原坐標為,轉(zhuǎn)換后坐標為,原坐標距原點距離為,則

    根據(jù)正弦加法定理和余弦定理可知

    再進行逆運算可得

    即,其中為轉(zhuǎn)換矩陣,可以根據(jù)公式23對有傾斜角的輪廓線進行校正。

    4.2模型的求解

    根據(jù)公式(20)和(21),選取附件1中再傾斜直線上得數(shù)據(jù)進行擬合并計算可得角(弧度),。通過公式(23)計算并用matlab畫出如圖3所示。

    在數(shù)據(jù)校正后,采用與問題一同樣的計算方法,對上圖中的輪廓線相關(guān)參數(shù)進行求解。求得的結(jié)果與圖一中相關(guān)數(shù)據(jù)進行對比。

    4.2.1槽口寬度

    先對斜線,圓弧進行數(shù)據(jù)擬合,然后通過直線的方程和圓的方程計算出端點的橫坐標。

    利用水平端點的坐標數(shù)據(jù),橫坐標做差得到槽口寬度如表3

    4.2.2人字形高度及斜線長度求解

    由excel軟件求解得。對于斜線段的長度得求解,下斷點分別為,上端點坐標為()因此斜線段長度為:,。

    4.2.3斜線與水平線之間的夾角求解

    為了簡化計算,將三個鉛筆輪廓與水平線相交的上部分近似的看成直線段,數(shù)據(jù)上選取部分數(shù)據(jù)作直線擬合,而對于斜線段直接選取數(shù)據(jù)擬合,求出得8條直線方程、斜率和斜傾斜角如下表:

    4.2.4圓心、圓的半徑及弧長的求解

    首先由最小二乘法擬合出圓的方程如下表

    因此可以求出圓心距如下表

    利用matlab求解曲率為零的點,然后利用定積分求解每一段弧如下表

    5.結(jié)論

    本文對探針沾污、探針缺陷、掃描位置不準等問題帶來的數(shù)據(jù)不準問題,建立數(shù)學模型對工件形狀相關(guān)參數(shù)準確標注,建立模型所運用的數(shù)學知識簡單易懂,計算方法簡單易行。對于圓弧圓的半徑和圓心的求解,利用最小二乘法擬合,較為理想的確定圓的半徑和圓心,提高數(shù)據(jù)的準確性,實現(xiàn)輪廓線自動標定。對于有傾斜一個角度的工件數(shù)據(jù),采用旋轉(zhuǎn)變換實現(xiàn)數(shù)據(jù)調(diào)整為正常狀態(tài)。

    參考文獻:

    [1]趙琦,解琳琳,侯妙樂,劉浩宇.基于點云數(shù)據(jù)的雀替輪廓線參數(shù)信息自動化提取方法[J].地理信息世界,2018年,第25卷第5期

    [2]韓志國,李鎖印,馮亞南,趙琳.接觸式輪廓儀探針狀態(tài)檢查圖形樣塊的研制[J],微電子技術(shù),2019年第9期

    [3]陳十進,劉瑾,楊海馬,劉海珊,韋鈺,肖俊,解光耀.非接觸式鋼軌三維輪廓參數(shù)檢測系統(tǒng)研究[J].儀表技術(shù)與傳感器,2019年第5期

    [4]閆志剛,圖形學中繞任意軸旋轉(zhuǎn)矩陣的推廣[J].計算機時代,2009年第12期

    [5]楊旭東,大量程輪廓綜合測量系統(tǒng)研究[J].華中科技大學博士論文.2007年5月

    [6]司守奎,孫兆,數(shù)學建模算法與應(yīng)用[M].國防工業(yè)出版社.2015年4月(第二版)

    [7]姜啟源,數(shù)學模型[M],高等教育出版社,2008年3月(第三版)

    (浙江交通職業(yè)技術(shù)學院 人文學院?杭州?311112)

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