從核心素養(yǎng)角度談高中數(shù)學(xué)最值問(wèn)題

張蓓媛

摘 要：深入踐行核心素養(yǎng)落地生根的過(guò)程中，我們必須鎖定學(xué)科價(jià)值和魅力的最大限度的達(dá)成，我們結(jié)合教學(xué)內(nèi)容中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)能力，鎖定滲透學(xué)生核心素養(yǎng)的策略，并落實(shí)在我們的課堂之中.筆者結(jié)合高中數(shù)學(xué)中的最值問(wèn)題，談?wù)勅绾螡B透學(xué)生核心素養(yǎng)的達(dá)成.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);最值;高中數(shù)學(xué)

一、借助最值問(wèn)題，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)

邏輯推理是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要能力，是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要構(gòu)成部分.為培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)，最值問(wèn)題教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的邏輯推理習(xí)慣，在推理時(shí)應(yīng)認(rèn)真審題，充分挖掘題干中的隱含條件，分析已知與未知條件的關(guān)聯(lián)，試圖尋找解題的突破口.同時(shí)，為保證推理的正確性，推理的過(guò)程中應(yīng)重視證據(jù)，實(shí)事求是，保證每一步推理結(jié)論的得出都有充分的數(shù)學(xué)依據(jù)，并且推理過(guò)程應(yīng)嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)、合理.另外，結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容，注重設(shè)計(jì)相關(guān)的最值問(wèn)題，要求學(xué)生思考解答，鞏固所學(xué)知識(shí)的同時(shí)，積累相關(guān)的解題經(jīng)驗(yàn)，更好地提升其邏輯推理素養(yǎng).

例1 設(shè)函數(shù)f（x）=cos（π2-πx）+（x+e）2x2+e2，則其最大值和最小值之和為（）.

A.1 B.-1 C.2 D.-2

求解最值的常規(guī)方法有：利用函數(shù)的單調(diào)性、借助函數(shù)導(dǎo)數(shù)求解.但題目中涉及的函數(shù)較為抽象，無(wú)法采用常規(guī)方法求解，因此需要認(rèn)真分析函數(shù)特點(diǎn)，運(yùn)用所學(xué)的函數(shù)知識(shí)進(jìn)行合理的推理和判斷.考慮到奇函數(shù)的最大值與最小值之和為零，因此該題能否從這一點(diǎn)進(jìn)行突破呢？對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行化簡(jiǎn)可知，f（x）=sinπx+2exx2+e2+1.設(shè)h（x）=sinπx+2exx2+e2，則h（x）=-h（-x），不難推理得出h（x）為奇函數(shù)，則f（x）max+f（x）min=h（x）max+h（x）min+2.又因?yàn)閔（x）max+h（x）min=0，因此，f（x）max+f（x）min=2.正確選項(xiàng)為C.

通過(guò)該題目的解答，拓展了學(xué)生求解最值問(wèn)題的思路，即，針對(duì)抽象函數(shù)可考慮運(yùn)用函數(shù)的奇偶性求解最值.同時(shí)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到解題過(guò)程中應(yīng)保證推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，學(xué)生通過(guò)對(duì)題目的審閱、分析，然后建立具體的數(shù)學(xué)函數(shù)模型，形成一個(gè)較為縝密的邏輯過(guò)程，促進(jìn)了題目問(wèn)題的順利解答，也促進(jìn)學(xué)生邏輯思維能力的逐漸提升.

二、借助最值問(wèn)題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

數(shù)學(xué)建模是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的重要體現(xiàn).高中數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型較多，主要有：函數(shù)模型、數(shù)列模型、基本不等式模型等.在講解最值問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)構(gòu)建相關(guān)的數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題.課堂上為學(xué)生分析數(shù)學(xué)模型與求解最值問(wèn)題之間的內(nèi)在關(guān)系，使學(xué)生掌握借助數(shù)學(xué)模型求解最值問(wèn)題的方法，給其解答問(wèn)題帶來(lái)良好的啟發(fā).同時(shí)，為更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，應(yīng)注重圍繞最值問(wèn)題，組織學(xué)生積極開(kāi)展相關(guān)的專(zhuān)題訓(xùn)練活動(dòng)，使學(xué)生親身體會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)模型求解最值問(wèn)題的過(guò)程，積累相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)其數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的提升.

例2 △ABC中存在一點(diǎn)M，且AB·AC=23，∠BAC=30°，定義f（M）=（m，n，p）中，m、n、p分別表示△MBC、△MCA、△MAB的面積，若f（M）=（12，x，y），則1x+4y的最小值為.

該題目較為抽象，解題的關(guān)鍵在于充分搞清題意，構(gòu)建對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.根據(jù)以往解題經(jīng)驗(yàn)可知該題需要構(gòu)建不等式模型.由AB·AC=23不難推導(dǎo)出|AB||AC|=4.由f（M）的定義可知△ABC的面積=12+x+y，而

S△ABC=12|AB||AC|sin30°=1，即x+y=12（x>0，y>0），則1x+4y=2（x+y）（1x+4y）=2（5+yx+4xy）≥18，當(dāng)且僅當(dāng)yx=4xy，即，y=2x=13時(shí)，等號(hào)成立.通過(guò)該題目的解答使學(xué)生認(rèn)識(shí)到，構(gòu)建基本不等式模型時(shí)，既要能夠正確找到參數(shù)之間的關(guān)系，又要注重取等號(hào)時(shí)是否滿足題意.

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心價(jià)值所在，在這個(gè)環(huán)節(jié)中，我們要通過(guò)具體的數(shù)學(xué)情境，引領(lǐng)學(xué)生建構(gòu)相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)思想與方法，取得授之以漁的效果，讓學(xué)生真正擁有帶的走、用得著的能力.

三、借助最值問(wèn)題，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)

直觀想象素養(yǎng)涉及的內(nèi)容較多，如建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型，探索解決問(wèn)題的思路.高中數(shù)學(xué)中講解最值問(wèn)題時(shí)應(yīng)注重認(rèn)真學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容，充分領(lǐng)悟直觀想象素養(yǎng)的內(nèi)涵，注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的講解，使學(xué)生提高數(shù)與形之間相互轉(zhuǎn)化的意識(shí)，尤其通過(guò)具體習(xí)題講解，使學(xué)生感受運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想求解最值問(wèn)題的便捷之處.同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中注重積累應(yīng)用率較高的數(shù)學(xué)圖形，如各種常見(jiàn)的函數(shù)圖象，圓錐曲線等，尤其應(yīng)注重相關(guān)習(xí)題的篩選，鍛煉學(xué)生求解最值問(wèn)題能力的同時(shí)，完成培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的目標(biāo).

例3 設(shè)在y=x2+1（x≥0）上存在一點(diǎn)P，在y=x-1（x≥1）上存在一點(diǎn)Q，則|PQ|的最小值為.

在同一坐標(biāo)系中繪出兩個(gè)函數(shù)的圖象，認(rèn)真觀察圖象不難發(fā)現(xiàn)兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng).又因?yàn)樵诤瘮?shù)y=x2+1（x≥0）上斜率為1的切點(diǎn)坐標(biāo)，不難求出該點(diǎn)，即，y′=2x=1，則該點(diǎn)坐標(biāo)為（12，54）.其到直線y=x的距離d=328.該距離的二倍即為|PQ|的最小值，即|PQ|min=2×328=324.該題目運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法能很好的找到解題突破口，并且能夠簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，提高學(xué)生解題效率的同時(shí)，有助于學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng).

綜上所述，高中數(shù)學(xué)最值問(wèn)題題型以及解題方法多種多樣.在當(dāng)前大力提倡核心素養(yǎng)培養(yǎng)的教學(xué)背景下，教學(xué)中應(yīng)注重核心素養(yǎng)內(nèi)容的滲透，既要注重基礎(chǔ)知識(shí)講解，使學(xué)生掌握通法通解，又要有針對(duì)性的對(duì)學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練，使其積累相關(guān)的解題經(jīng)驗(yàn)與解題技巧的同時(shí)，逐步的提升其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，以更好的滿足社會(huì)發(fā)展要求，實(shí)現(xiàn)終身受益.

參考文獻(xiàn)：

[1]沈子興.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育的教學(xué)設(shè)計(jì)——以“二項(xiàng)式定理”教學(xué)為例[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2017（12）：4-6，11.

[2]遲立祥.基于核心素養(yǎng)的中考二次函數(shù)試題命題分析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教育，2019（19）：21-25.

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